Monti Hall Paradox

Pokušajmo iznijeti dugotrajni problem koji je objavljen prije 23 godine u časopisu "Parade Magazine" i postao vrsta odjeka poznate američke emisije "Let`s make a deal" (prijevodom). Temelji problema bili su paradoks Monti Hall.

Pokušajmo vratiti opisane događaje. Zamislite sebe kao sudionika u emisiji. Vodite na tri vrata i dobivate priliku da navedete samo jedan, a upozoravate da su iza svake vrata skrivene nagrade. Glavna nagrada su ključevi šikovog automobila koji ćete poduzeti ako otvorite "pravo" vrata, iza preostalih vrata skrivene utješne nagrade, ili bolje - na kozu. Naravno, utješna nagrada neće vam se svidjeti - zainteresirani ste za glavnu nagradu.

Nakon duge meditacije, neodlučno ukazujte na jedno od vrata (recimo, prvi). O tome što predstavlja paradoks Monti Hall, naravno, ne znate, ali zato što se jednostavno oslanjate na činjenicu da se čuda još uvijek događaju ponekad.

Ali domaćin iz nekog razloga otvara pogrešna vrata, koju ste odlučili istaknuti, a drugi (on točno zna gdje su ključevi skriveni). I otvori vrata za kojima se koza skriva. Reci, treći. Facilitator olakšava zadatak, dajući sada samo dva vrata za odabir. Štoviše, on sugerira da ponovno razmišlja i dopušta vam da nazovete druga vrata ako imate sumnje.

Hoće li se prilika za podizanje ključeva povećati ako promijenite odluku i ukazate na druga vrata? Razmisli trenutak. Na kojem stajalištu?

Ispravan odgovor: otvaranje drugih vrata, povećavate šanse za dobivanje ključeva na pola. Sumnja? Mnogi sumnjaju. Ali upravo je paradoks Monti Hall.

Objašnjenje paradoksa je kako slijedi. Pretpostavimo da sada odabirete prva vrata. Zamislite vrata u obliku dviju vrijednosti (vrijednosti). Vrijednost A označava prvu (odabranu) vrata, a vrijednost B - preostala vrata. Vjerojatnost dobivanja ključeva u A je 1/3, a mogućnost dobivanja ključeva u drugoj vrijednosti B jednaka je 2/3. Slažete li se? Dalje. Ako ste imali priliku otvoriti druga i treća vrata, naslanjajući se na vrijednost B, tada bi šanse za vožnju bile dvostruko više.

Razmotrite to bliže. Sigurni ste da vrijednost B vjerojatno ima kozu (barem jedan) i moguće tipke. Otvaranje jednoga vrata posebno se ne mijenja: postoje još dvije mogućnosti: pobjeda automobila i pobjeda koze. Ali, zaustavljanje po vrijednosti B, vjerojatnost dobitka još se povećava na 2/3, jer za vrijednost A vjerojatnost je samo 1/3.

Još jedan, već shematski primjer:

d1 d2 d3 promjena izbora bez mijenjanja odabira
do f ff
ж к ж к ж
ж ж к к ж

gdje su d1 prva vrata, d2 je druga vrata, d3 je treća vrata, g je životinja (koza), k je ključ (auto).

Neki ne shvaćaju ozbiljno paradoks Monti Hall, tvrdeći da je vjerojatnost dobivanja ključeva još uvijek 50/50 ("or-or"). No, ponovna iskoristivost još uvijek potvrđuje: teorija ima svoje opravdano pravo postojanja i radi u 2/3 svih slučajeva. Recimo, od trideset predstavljenih prilika za igranje moći ćete pronaći pravi odgovor na dvadeset. I ovo je prilično visok postotak.

Često je paradoks Monti Hall-a koji igrači koriste kada se klade na ruletu ili igraju karte. Zašto onda gube? Odgovor je očigledan: uništava pohlepu. Ili uzbuđenja. Kao što vam se sviđa. Povlačenjem banke, igrač više ne može zaustaviti bijesan osjećaj i čini još jednu okladu, već zaboravljajući o teoriji. No, napokon, nitko nije otkazao gubitak. Radi se o postotku pobjede koja je izgubila.

Paradoks Monti Halla dokazuje: nakon otvorenih vrata s kacigama, uvijek je profitabilnije promijeniti početni izbor jer se šanse još povećavaju. To su paradoksi teorije vjerojatnosti.

Ako vam objašnjenje ostane nerazumljivo, pokušajte zanemariti te argumente i statistički provjeriti teoriju (ili, ako želite, eksperimentalno, u nizu eksperimenata). Takva matematika je uvijek fascinantna. Sretno!