Riemannova hipoteza. Raspodjela primesa

Godine 1900., jedan od najvećih znanstvenika prošlog stoljeća David Gilbert

Jedini problem koji se ispostavilo da je među oba popisa zagonetki, koji je već stoljećima uznemirujućih znanstvenika, Riemannova hipoteza. I dalje čeka svoju odluku.

Kratka biografska bilješka

Georg Friedrich Bernhard Riemann rođen je 1826. u Hanoveru, u velikoj obitelji siromašnog župnika i živio je samo 39 godina. Uspio je objaviti 10 radova. Međutim, tijekom svog života Riemann se smatralo nasljednikom njegovog učitelja Johannesom Gaussom. U dobi od 25 godina, mladi znanstvenik branio je tezu "Temelji teorije funkcija složene varijable". Kasnije je formulirao svoju hipotezu, koja je postala poznata.

Premijerni brojevi

Matematika se pojavila kad je osoba naučila računati. Istodobno su se pojavile prve ideje o brojevima, koje su kasnije pokušale klasificirati. Uočeno je da neki od njih imaju zajednička svojstva. Konkretno, među prirodnim brojevima, tj. Korištenima u brojanju (numeriranju) ili određivanju broja objekata, izdvojena je skupina onih koji su podijeljeni samo u jedan i na sebe. Pozvani su jednostavno. Euklid je u svojim "Elementima" davao elegantan dokaz teorema beskonačnosti skupa takvih brojeva. Trenutačno se njihovo pretraživanje nastavlja. Konkretno, najveći od već poznatih je broj 2^{74 207 281} - 1.

Eulerova formula

Zajedno s konceptom beskonačnosti skupova primjera, Euklid je također definirao drugi teorem o jedini mogućoj premijernoj faktorizaciji. Prema njemu, svaki pozitivni cijeli broj je proizvod samo jednog niza primesa. Godine 1737. veliki njemački matematičar Leonard Euler izražavao je Euklidov prvi teorem o beskonačnosti u formuli prikazanom dolje.

Zove se zeta funkcija, gdje je s konstanta, a p uzima sve jednostavne vrijednosti. Euklidova tvrdnja o jedinstvenosti dekompozicije također prati izravno iz njega.

Riemann zeta funkcija

Eulerova formula na bliže ispitivanje prilično je iznenađujuća jer određuje omjer jednostavnih i cjelobrojnih brojeva. Uostalom, u lijevoj strani množe beskrajno mnogo izraza koje ovise samo o jednostavnim, a pravo iznos je povezana sa svim pozitivnih integers.

Riemann je otišao dalje od Eulera. Kako bi pronašao ključ problema distribucije brojeva, predložio je određivanje formule za stvarne i složene varijable. Kasnije je zvan Riemann zeta. Godine 1859. znanstvenik je objavio članak pod nazivom "O broju premijera koji ne prelaze određenu vrijednost", gdje je sažeti sve njegove ideje.

Riemann je predložio korištenje Eulerove serije, konvergentne za sve stvarne s> 1. Ako je ista formula se koristi za složene S, serija će se spojiti na bilo koju vrijednost od varijable sa stvarnim dio je veći od 1. Riemann koristio analitički nastavak postupka proširivanjem definicije zeta (e) za sve kompleksnih brojeva, ali „bacanje” jedinicu. Isključen je, jer s = 1 zeta funkcija povećava se do beskonačnosti.

Praktično značenje

Postavlja se logično pitanje: ono što je zanimljivo i važno je zeta funkcija, koja je ključna u Riemannovom radu na nul-hipotezu? Kao što je poznato, u ovom trenutku nema jednostavnog uzorka koji bi opisao distribuciju premijera među prirodnim brojevima. Riemann je uspio otkriti da se broj pi (x) primarnih brojeva koji nije prekoračio x izražava raspodjelom netrivijalnih nula zeta funkcije. Štoviše, Riemannova hipoteza nužan je uvjet za dokazivanje vremenskih procjena izvedbe nekih kriptografskih algoritama.

Riemannova hipoteza

Jedna od prvih formulacija ovog matematičkog problema, koja još nije dokazana do danas, zvuči ovako: ne trivijalne 0 zeta funkcije su kompleksni brojevi s realnim dijelom jednakima frac12-. Drugim riječima, oni se nalaze na ravnoj liniji Re s = frac12-.

Postoji također i generalizirana Riemannova hipoteza, koja je ista izjava, ali za generalizaciju zetafunkcija, koje se obično nazivaju Dirichlet L-funkcije (vidi sliku u nastavku).

U formuli chi- (n) je neki brojčanik (modulo k).

Riemannijska izjava smatra se takozvanom nultom hipotezom, budući da je provjerena konzistentnost s već dostupnim uzorcima podataka.

Kao što je Riemann razmišljao

Napomenu njemačkog matematičara izvorno je formulirana prilično ležerno. Činjenica je da je znanstvenik u to doba dokazao teorem o raspodjeli premijera, a u tom kontekstu ova hipoteza nije imala posebno značenje. Međutim, njegova je uloga u rješavanju mnogih drugih pitanja ogromna. Zbog toga je pretpostavka Riemanna u ovom trenutku od strane mnogih znanstvenika prepoznata kao najvažnija neprovencijskih matematičkih problema.

Kao što je već rečeno, dokazati teorem o raspodjeli punom Riemann hipoteza nije potrebno, a sasvim logično dokazati da je pravi dio svakog ne-trivijalne nule funkcije zeta je između 0 i 1. Ova nekretnina podrazumijeva da je zbroj svih 0-m Zeta funkcije, koje se pojavljuju u točnoj formuli dane gore, konačna su konstanta. Za velike vrijednosti x, to može biti potpuno izgubljeno. Jedini član formule koji ostaje nepromijenjen čak i za vrlo veliko x je x sam. Preostali složeni termini u usporedbi s njom asimptološki nestati. Dakle, ponderirani iznos sklon je x. Ta se okolnost može smatrati potvrdom istine teorema o raspodjeli premijera. Stoga zerovi Riemann zeta-funkcije imaju posebnu ulogu. Sastoji se od dokazivanja da takve vrijednosti ne mogu značajno doprinijeti formuli za proširenje.

Sljedbenici Riemann

Tragična smrt tuberkuloze nije dopustila ovom znanstveniku da dovede svoj program do logičkog zaključka. Međutim, preuzet je iz bataljuna Sh. De la Valle Poussin i Jacques Hadamard. Neovisno jedan o drugome, izvedeni su teorem o raspodjeli premijera. Hadamard i Poussin uspjeli su dokazati da su sve ne trivijalne 0 zeta funkcije u kritičnom području.

Zahvaljujući radu tih znanstvenika, pojavio se novi smjer u matematici - analitička teorija brojeva. Kasnije su drugi istraživači dobili nešto više primitivnih dokaza teorema nad kojim je Riemann radio. Konkretno, Pal Erdez i Atle Selberg otkrili su i vrlo složeni logički lanac koji je potvrdio, što nije zahtijevalo korištenje složene analize. Međutim, po ovom vremenu već nekoliko važnih teorema već je dokazano Riemannovom idejom, uključujući približavanje mnogih funkcija teorije brojeva. S tim u vezi, novi rad Erdosa i Atle Selberga gotovo da nije imao nikakvog učinka.

Jedan od najjednostavnijih i najljepših dokaza o problemu pronašao je 1980. godine Donald Newman. Temelji se na poznatom teoremu Cauchyja.

Je li Riemannova hipoteza ugrozila osnove moderne kriptografije?

Šifriranje podataka nastalo je pojavom hijeroglifa, točnije, oni se mogu smatrati prvim kodovima. Trenutno postoji cijela linija digitalne kriptografije koja se razvija enkripcijski algoritmi.

Jednostavan i "polukružni" brojevi, tj. Oni koji dijele samo dva druga brojeva iz iste klase, u središtu su sustava javnog ključa poznatog kao RSA. Ima najširu primjenu. Konkretno, koristi se pri generiranju elektroničkog potpisa. Ako govorimo u terminima dostupnim "čajevima", Riemannova hipoteza tvrdi postojanje sustava u raspodjeli premijera. Stoga je značajno smanjena stabilnost kriptografskih ključeva na kojima ovisi sigurnost online transakcija u području elektroničke trgovine.

Ostali neriješeni matematički problemi

Da bi dovršili članak vrijedi, posvetivši nekoliko riječi drugim zadacima tisućljeća. To uključuje:

• Jednakost razreda P i NP. Problem je formuliran na sljedeći način: ako se provjerava pozitivan odgovor na određeno pitanje za vrijeme polinoma, je li istina da se sam odgovor na to pitanje može brzo pronaći?
• Hodgeova hipoteza. U jednostavnim uvjetima može se reći kako slijedi: za neke vrste projektivnim algebarskih mnogostrukosti (razmaka) Hodge ciklusi su kombinacije objekata koji imaju geometrijsku interpretaciju, odnosno algebarski ciklusa ...
• Pretpostavka Poincare. Ovo je jedini od tisućljetnih zadataka koji su dokazani do danas. Prema njemu, svaki 3-dimenzionalni objekt koji ima specifična svojstva 3-dimenzionalne sfere mora biti sfera do deformacije.
• Tvrdnja kvantne teorije Yang-Mills. Potrebno je dokazati da je kvantna teorija koju su ti znanstvenici napredovali za prostor R ⁴, postoji i ima 0-tnu masu grešaka za svaku jednostavnu malu kompaktnu skupinu G.
• Pretpostavka Birch-Swinnerton-Dyer. Ovo je još jedan problem koji se odnosi na kriptografiju. Radi se o eliptičnim krivuljama.
• Problem postojanja i glatkoće rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi.

Sada znate Riemannovu hipotezu. Jednostavnim riječima, formulirali smo i neke druge zadaće tisućljeća. Činjenica da će biti riješeni ili će se dokazati da nemaju rješenje je pitanje vremena. I malo je vjerojatno da će to morati čekati predugo, jer matematika sve više koristi računalne mogućnosti računala. Međutim, nije sve podložno tehnologiji, a prije svega je potrebno rješavanje znanstvenih problema, intuicija i kreativnosti.