Nezavisivi problemi: Navier-Stokesova jednadžba, Hodgeova pretpostavka, Riemannova hipoteza. Milenijski ciljevi

Nerješivi zadaci su 7 zanimljivih matematičkih problema. Svaki od njih je pravovremeno predložio poznati znanstvenik, u pravilu, u obliku hipoteza. Desetljećima, zbog svoje odluke, razbijali su glave matematike širom svijeta. Oni koji će uspjeti biti će nagrađeni milijun dolarom koju nudi Clay Institut.

prapovijest

U 1900 veliki njemački matematičar David Gilbert, predstavio je popis od 23 problema.

Studije provedene za njihovo rješavanje imale su ogroman utjecaj na znanost 20. stoljeća. U ovom trenutku, većina njih već prestala biti zagonetke. Među neriješenim ili riješenim djelomično ostao:

• dosljednost aritmetičkih aksioma;
• opći reciprocitetni zakon o prostoru bilo kojeg broja polja;
• matematičko proučavanje fizičkih aksioma;
• Proučavanje kvadratnih oblika za proizvoljne koeficijente algebarskog broja;
• Problem rigorozne opravdanja geometrije kalkulatora Fedora Schuberta;
• i drugima.

Sljedeće su neočekivane: problem proširenja na bilo koju algebarsku domenu racionalnost poznatog Kroneckerovog teorema i Riemannova hipoteza.

Clay Institute

Pod tim nazivom poznata je privatna neprofitna organizacija čija je sjedište u Cambridgeu, Massachusetts. Osnovali su ga 1998. godine Harvardov matematičar A. Jeffey i poslovni čovjek L. Clay. Svrha Instituta je popularizirati i razvijati matematičko znanje. Da bi to postigla, organizacija dodjeljuje nagrade znanstvenicima i sponzorima obećavajućim istraživanjima.

Početkom 21. stoljeća Clay Mathematical Institute ponudio je nagradu onima koji rješavaju probleme koji su poznati kao najteži nerješivi problemi, pozivajući ih na popis Milenijskih nagradnih problema. Iz "Popis Hilberta" ušao je samo hipoteza Riemann.

Milenijski ciljevi

Popis Clay Instituta izvorno je uključivao:

• hipoteza o Hodgeovim ciklusima;
• jednadžbe teorije kvantne Yang-Mills;
• pretpostavka Poincare;
• problem jednakosti razreda P i NP;
• Riemannova hipoteza;
• Navier Stokesove jednadžbe, postojanje i glatkoća svojih rješenja;
• Problem Birch-Swinnerton-Dyer.

Ovi otvoreni matematički problemi su od velikog interesa, jer oni mogu imati mnogo praktičnih implementacija.

Ono što je dokazalo Grigory Perelman

Godine 1900. poznati filozof Henri Poincaré sugerirao je da je svaki jednostavno povezani kompaktni 3-dimenzionalni razdjelnik bez granica homeomorfan za trodimenzionalnu sferu. Njezin dokaz u općem slučaju nije bio za stoljeće. Samo u razdoblju od 2002. do 2003. godine Petersburgski matematičar G.Perelman objavio je niz članaka s rješenjem problema Poincare. Oni su proizveli učinak bombe koja je eksplodirala. U 2010. godini, Poincaré nagađanje je isključena iz popisa „neriješen problem” Clay Instituta, te da Perelman je bio pozvan da se znatan naknadu zbog njega, a potonji je odbio bez objašnjavajući razloge za svoju odluku.

Najviše razumljivo objašnjenje onoga što bi moglo dokazati da ruski matematičar, može se dati, pod uvjetom da je krafna (torus), povucite gumeni disk, a zatim pokušati povući rub svog opsega u jednom trenutku. Očito je to nemoguće. Druga stvar je ako napravite ovaj eksperiment s loptom. U tom slučaju, čini se da je trodimenzionalna sfera, dobivamo iz opsega diska strapped do točke hipotetski kabel je trodimenzionalna u razumijevanju prosječnog čovjeka, ali dvodimenzionalna u smislu matematike.

Poincare je sugerirao da je trodimenzionalna sfera jedini trodimenzionalni "objekt" čija se površina može povući u jednu točku, a Perelman je to dokazao. Dakle, popis "Nerješivih zadataka" danas se sastoji od 6 problema.

Teorija Yang-Mills

Ovaj matematički problem predložili su njezini autori 1954. godine. Znanstvena formulacija teorije ima sljedeću formu: za svaku jednostavnu skupinu kompaktnih mjerila, teorija kvantne prostorije koju stvara Yang i Mills postoji i istovremeno ima nedostatak nulte mase.

Govoreći jezik razumio od strane običnog čovjeka, interakcija između prirodnih predmeta (. Čestice, tijela, valovi, itd) su podijeljene u 4 skupine: elektromagnetska, gravitacijska, slabe i jake. Već dugi niz godina fizičari pokušavaju stvoriti opću teoriju polja. To bi trebao biti alat za objašnjenje svih tih interakcija. Teorija Yang-Mills je matematički jezik, uz pomoć kojeg je moguće opisati 3 od 4 temeljne sile prirode. Ne odnosi se na gravitaciju. Stoga se ne može pretpostaviti da su Yangu i Mills uspjeli stvoriti teoriju polja.

Osim toga, nelinearnost predloženih jednadžbi čini ih izuzetno teško riješiti. Za male konstante vezanja mogu se približno riješiti u obliku niza perturbacijskih teorija. Međutim, još nije jasno kako se ove jednadžbe mogu riješiti snažnim spojem.

Navier-Stokesove jednadžbe

Pomoću ovih izraza opisani su postupci poput strujanja zraka, protok tekućina i turbulencija. U nekim slučajevima već su pronađena analitička rješenja Navier-Stokesove jednadžbe, ali nitko još nije uspio to učiniti generalu. Istodobno, numeričko modeliranje specifičnih brzina, gustoće, tlaka, vremena i tako dalje omogućava postizanje odličnih rezultata. Nadamo se da će netko moći primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe u suprotnom smjeru, tj. Izračunati parametre koristeći ih ili dokazati da nema metode rješavanja.

Problem Birch-Swinnerton-Dyer

Kategorija "Neriješeni problemi" također uključuje hipotezu koju su predložili engleski znanstvenici sa Sveučilišta Cambridge. Još prije 2300 godina drevni grčki znanstvenik Euclid davao je kompletan opis rješenja jednadžbe x2 + y2 = z2.

Ako izračunamo broj bodova na krivulji prema njegovom modulu za svaki od prvih brojeva, dobivamo beskonačni skup cjelobrojnih brojeva. Ako konkretan način da se „ljepilo” je na 1 funkcija kompleksne varijable, a zatim dobiti zeta funkciju Hasse-Weil za treću krivulje reda, označen je slovom L. Ona sadrži informacije o ponašanju modulom svi nagrada koje odmah.

Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer hipotezuju o eliptičnim krivuljama. Prema njemu, struktura i broj racionalnih rješenja povezani su s ponašanjem L-funkcije u jedinici. Pretpostavka Birch-Swinnerton-Dyer, koja još nije prikazana, ovisi o opisu algebarskih jednadžbi trećeg stupnja i jedina je relativno jednostavna opća metoda za izračunavanje ranga eliptičkih krivulja.

Da bismo shvatili praktičnu važnost ovog zadatka, dovoljno je reći da se u suvremenoj kriptografiji cijela skupina asimetričnih sustava temelji na eliptičnim krivuljama, a njihova se upotreba temelji na domaćim standardima za digitalne potpise.

Jednakost klasa p i np

Ako su preostali "Milenijski izazovi" čisto matematički, onda se to odnosi na trenutnu teoriju algoritama. Problem koji se odnosi na jednakost klasa p i np, također poznat kao problem Cook-Levin, može se formulirati na jasan jezik na sljedeći način. Pretpostavimo da se pozitivan odgovor na određeno pitanje može provjeriti prilično brzo, to jest u polinomnom vremenu (PV). Tada je izjava ispravljena da se odgovor na njega može naći vrlo brzo? Čak i lakše ovaj zadatak zvuči ovako: Je li stvarno lakše potvrditi problem nego pronaći? Ako je jednakost klasa p i np ikada dokazana, onda se svi problemi odabira mogu riješiti za PV. U ovom trenutku, mnogi stručnjaci sumnjaju u istinitost ove tvrdnje, iako ne mogu dokazati suprotno.

Riemannova hipoteza

Do 1859. godine nije pronađena nikakva pravilnost koja bi opisala kako se jednostavni brojevi distribuiraju među prirodnim brojevima. Možda je to bilo zbog činjenice da je znanost angažirana u drugim pitanjima. Međutim, do sredine 19. stoljeća situacija se promijenila i postali su jedan od najvažnijih, što se matematika počela baviti.

Riemannova hipoteza koja se pojavila u tom razdoblju pretpostavka je da postoji odreena regularnost u raspodjeli primesa.

Danas mnogi moderni znanstvenici vjeruju da će, ako se to dokazuje, morati ponovno razmotriti mnoga temeljna načela suvremene kriptografije koja čini temelj mnogih mehanizama e-trgovine.

Prema Riemannovoj pretpostavci, priroda raspodjele primesa može se značajno razlikovati od onoga što bi trebalo biti u ovom trenutku. Činjenica je da do sada nije otkriven niti jedan sustav u raspodjeli premijera. Na primjer, postoji problem "blizanaca", razlika između kojih je jednaka 2. Ti su brojevi 11 i 13, 29. Ostali primari formiraju klastere. To su 101, 103, 107, itd. Znanstvenici su već dugo sumnjao da takvi klasteri postoje među vrlo velikim premijernim brojevima. Ako se nađu, bit će u pitanju otpornost modernih kriptotipova.

Hipoteza o ciklusima Hodgea

Ovaj neriješeni problem formuliran je 1941. Hodgeova hipoteza sugerira mogućnost približavanja oblika bilo kojeg objekta "lijepljenjem" jednostavnim tijelima veće dimenzije. Ova je metoda bila poznata i uspješno korištena dulje vrijeme. Međutim, nije poznato u kojoj se mjeri može pojednostavniti.

Sada znate koji neriješivi problemi trenutačno postoje. Oni su predmet istraživanja tisuća znanstvenika širom svijeta. Ostaje se nadati da će se u bliskoj budućnosti riješiti i njihova praktična primjena pomaže čovječanstvu da uđe u novi krug tehnološkog razvoja.