Brojni sustavi. Primjer neodređenih brojčanih sustava

Brojni sustavi - što je to? Čak i ako ne znamo odgovor na to pitanje, svatko od nas željno - nikada u našem životu koristi numeričke sustave i ne sumnja u to. Točno, u množini! To nije jedno, već nekoliko. Prije nego što damo primjere nepreciznih numeričkih sustava, pogledajmo ovo pitanje, razgovarajmo o položajnim sustavima.

Potreba za računom

Od davnih vremena ljudi su imali potrebu za računom, tj. Intuitivno su shvatili da nekako treba izraziti kvantitativnu viziju stvari i događaja. Mozak je predložio da morate koristiti stavke za račun. Najprikladniji su uvijek bili prsti na rukama, i to je razumljivo, jer su uvijek dostupni (uz rijetke iznimke).

Stoga je drevnim predstavnicima ljudske rase bilo potrebno da savijati prste u doslovnom smislu - da označi broj ubijenih mamuta, na primjer. Imena takvih elemenata računa još nisu postojala, ali samo vizualna slika, usporedba.

Moderni sustavi pozicijskog broja

Brojni sustav je metoda (metoda) za prikaz kvantitativnih vrijednosti i količina pomoću određenih znakova (simbola ili slova).

Potrebno je shvatiti što je pozicijsko i nepozicionalno na računu, prije navođenja primjera nepostupnih numeričkih sustava. Pozivni brojni sustavi su mnogi. Sada se koristi u raznim područjima kako slijedi: binarni (samo na dva glavna dijela: 0 i 1) šestorni (broj znakova - 6), oktalni (znamenaka - 8) duodecimalan (dvanaest znakova), Hex (uključuje šesnaest znakova). I svaka serija znakova u sustavima počinje od nule. Moderna računalna tehnologija temelji se na korištenju binarnih kodova - binarnog broja pozicijskog sustava.

Decimalni broj sustava

Pozitivnost je prisutnost u različitim stupnjevima značajnih pozicija na kojima se nalaze znakovi broja. To se najbolje može demonstrirati primjerom decimalnog broja sustava. Uostalom, koristili smo ga od samog djetinjstva. Znakovi u ovom sustavu su deset: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Uzmite broj 327. Ima tri znaka: 3, 2, 7. Svaki od njih nalazi se u svom položaju mjesto). Sedam zauzima položaj koji je dodijeljen jednoj vrijednosti (jedinica), dvojka - desetke, a trostruki - stotine. Budući da je broj tri vrijednosti, stoga postoje samo tri pozicije.

Iz gore navedenog, takav troznamenkasti decimalni broj može se opisati na sljedeći način: tri stotine, dvije desetine i sedam jedinica. I važnost (važnost) položaja broji se s lijeva na desno, od slabog položaja (jedinice) do jačih (stotina).

Osjećamo se ugodno u sustavu decimalnog položaja. Imamo i deset prsta na rukama. Pet plus pet - pa, zahvaljujući prstima, od djetinjstva smo lako zamisliti desetak. Zato je lako za djecu da nauče tablicu umnažanja za pet i deset. I tako je lako naučiti kako računati novčane note, koje su često višekratne (tj. Podijelite bez ostatka) za pet i deset.

Ostali sustavi pozicioniranja

Na iznenađenje mnogih, mora se reći da ne samo da naš mozak je navikao raditi neke izračune u decimalnog brojanje sustava. Do sada je čovječanstvo koristilo šest i dvanaestoznamenkasti brojčani sustav. To jest, u tom sustavu postoji samo šest znakova (na šestorni): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Na svojoj dvanaest duodecimalan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A, B, gdje je A - je broj 10 - broj 11 (od znak treba biti jedan).

Sudite za sebe. Mislimo da je vrijeme šest, zar ne? Jedan sat - šezdeset minuta (šezdeset), jedan dan - to je dvadeset i četiri sata (dva puta dvanaest) godina - dvanaest mjeseci, i tako dalje ... Svi termini lako uklopiti u šest i duodecimalan brojeva. Ali toliko smo naviknuti da ne razmišljamo ni o broju vremena.

Brojni sustavi bez položaja. predznak

Potrebno je utvrditi što je to - ne-pozicijski brojčani sustav. To je takav sustav znakova, u kojem nema mjesta za znakove broja, ili princip "čitanja" broja iz položaja ne ovisi. Ima i vlastita pravila za snimanje ili računanje.

Dajmo primjere sustava brojčane pozicije. Vratimo se u antiku. Ljudi su imali potrebu za računom i došli su do najjednostavnijeg izuma - čvorova. Sustav bez pozicioniranja je čvorni sustav. Jedna stvar (vreća riže, bika, plast itd.) bili su brojeći, na primjer, prilikom kupnje ili prodaje i vezali čvor na nizu.

Kao rezultat toga, na konopcu se ispostavilo toliko čvorova, koliko je vrećica riže kupila (kao primjer). Ali također može biti urez na drvenom štapiću, na kamenu ploču itd. Takav numerički sustav postao je poznat kao čvorni sustav. Ima drugo ime - jednodijelno ili pojedinačno ("uno" znači "jedan" na latinskom).

Postaje očito da je ovaj brojni sustav ne-položajan. Uostalom, kakvi se položaji mogu pojaviti kada je (pozicija) samo jedan! Čudno što se može činiti, u nekim dijelovima Zemlje još uvijek postoji neuobičajeni sustav bez broja pozicija u tijeku.

Također za sustave koji nisu pozicionirani su:

• Roman (za pisanje brojeva, slova se koriste - latinski simboli);
• Drevni egipatski (slično rimskim, također korištenim simbolima);
• abecedni (slova abecede su korištene);
• Babilonska (ĉarna forma - rabljena ravna i obrnuta "klin");
• Grčki (također se naziva abecednim redom).

Rimski brojčani sustav

Drevno rimsko carstvo, kao i njegova znanost, bilo je vrlo progresivno. Rimljani su svijetu davali mnoge korisne izume znanosti i umjetnosti, uključujući i vlastiti računovodstveni sustav. Prije dvije stotine godina, rimski brojevi su se odnosili na iznose u poslovnim dokumentima (na taj način izbjegavajući krivotvorenje).

Rimska numeracija je primjer sustava bez pozicioniranja, sada nam je poznata. Također se aktivno koristi rimski sustav, ali ne i za matematičke izračune, već za usko usmjerene akcije. Na primjer, pomoću rimskih brojeva uobičajeno je označiti povijesne datume, dob, broj volumena, poglavlja i poglavlja u izdanjima knjiga. Često koristite rimske znakove za ukrašavanje brojčanika satova. A rimska numeracija je primjer nebrojanog broja sustava.

Rimljani su označavali brojeve na latinskim slovima. I brojeve koje su napisali određenim pravilima. Postoji popis ključnih simbola u rimskom brojevnom sustavu, uz pomoć kojih su svi brojevi zabilježeni bez iznimke.

Pravila za sastavljanje brojeva

Potrebni broj je dobiven dodavanjem znakova (latinično slovo) i izračunavanjem njihovog iznosa. Razmotrite kako su simboli u rimskom sustavu simbolički napisani i kako ih "čitati". Navedimo osnovne zakone formiranja brojeva u rimskom sustavu bez broja pozicija.

1. Broj četiri - IV, sastoji se od dva znaka (I, V - jedan i pet). Dobiva se oduzimanjem manjeg znaka od većeg ako je lijevo. Kada se manji znak nalazi na desnoj strani, potrebno je dodati, tada će se dobiti broj šest - VI.
2. Potrebno je dodati dva identična znaka koji stoje jedan do drugog. Na primjer: CC je 200 (C-100) ili XX-20.
3. Ako je prvi znak broja manji od drugog, treći u ovoj seriji može biti simbol čija je vrijednost čak i manja od prve. Kako se ne bi zbunili, dajemo primjer: CDX-410 (u decimalnom).
4. Neki od većih brojeva može se prikazati na različite načine, što je jedan od nedostataka rimske brojanje sustava. Evo nekih primjera: MVM (rimski sustav) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (decimalni sustav) ili MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. I to nije sve.

Metode aritmetike

Brojni sustav bez pozicioniranja ponekad je složen skup pravila za formiranje brojeva, njihovu obradu (akcije na njima). Aritmetička operacija u sustavima bez pozicija nije jednostavna za suvremene ljude. Ne zavidite drevnim rimskim matematičarima!

Primjer dodavanja. Pokušajmo dodati dva broja: XIX + XXVI = XXXV, ovaj zadatak se izvodi u dva koraka:

1. Prvo, uzimamo i dodamo manje frakcije brojeva: IX + VI = XV (I nakon V i I prije X "uništiti" jedni druge).
2. Drugo, dodamo velike dijelove dva broja: X + XX = XXX.

Oduzimanje je nešto složenije. Iscrpan broj treba razbiti u kompozitne elemente, a potom duplicirani simboli se smanjuju u smanjenju i oduzimaju. Iz broja 500 oduzimamo 263:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Množenje rimskih brojeva. Usput, valja napomenuti da Rimljani nisu imali znakove aritmetičkih operacija, već ih jednostavno označavaju riječima.

Pomnožiti množenje bilo je potrebno za svaki pojedini simbol množitelja, što je rezultiralo u nekoliko radova koji su trebali biti dodani. Na taj se način izvodi umnožavanje polinoma.

S obzirom na podjelu, taj proces u rimskom brojevnom sustavu bio je i ostaje najsloženiji. Ovdje se koristio drevni rimski abak - abakus. Da bi surađivao s njim, ljudi su bili posebno obučeni (a ne svaka osoba je uspjela ovladati takvom znanjem).

Na nedostatke sustava bez pozicije

Kao što je već rečeno, u sustavima bez pozicija postoje neki nedostaci, neugodnosti u upotrebi. Unary je dovoljno jednostavan za jednostavno brojanje, ali nije prikladan za aritmetičke i složene izračune.

U rimskoj nema jedinstvenih pravila za formiranje velikih brojeva i postoji konfuzija, a vrlo je teško izračunati u njemu. Osim toga, veliki broj, koje su drevni Rimljani mogli snimiti uz pomoć svoje metode, bio je 100.000.