Površine 2. reda: primjeri

S površinama drugog reda učenik se najčešće nalazi u prvoj godini. U početku, problemi na ovoj temi mogu se činiti jednostavnijim, ali dok proučavate veću matematiku i produbite se na znanstvenoj strani, konačno možete prestati kretati se onim što se događa. Da bi se to nije dogodilo, nužno je ne samo zapamtiti i shvatiti kako da biste dobili jedan ili drugi površinu, kao promjena čimbenika ga i njegov položaj u odnosu na izvornu koordinatnom sustavu i utječe kako pronaći novi sustav (onaj u kojem njegovo središte podudara s početkom koordinate i osi simetrije

definicija

Površina reda 2 naziva se HMT, čije koordinate zadovoljavaju opću jednadžbu sljedećeg oblika:

F (x, y, z) = 0.

Jasno je da svaka točka koja pripada površini mora imati tri koordinate na bilo kojoj određenoj osnovi. Iako u nekim slučajevima lokus bodova može degenirati, na primjer, u ravninu. To samo znači da je jedna od koordinata konstantna i jednaka nuli u cijelom rasponu dopuštenih vrijednosti.

Cijeli obojeni oblik jednakosti spomenutog ovako izgleda ovako:

₁₁x²+₂₂y²+₃₃z²+2A₁₂xy + 2A₂₃yz + 2A₁₃xz + 2A₁₄x + 2A₂₄y + 2A₃₄z + A₄₄= 0.

_nm - neke konstante, x, y, z - varijable koje odgovaraju afinim koordinatama točke. Istodobno, barem jedna od konstante faktora mora biti nerazvijena, tj. Ne svaka točka odgovara jednadžbi.

U velikom broju primjera, mnogi brojčani čimbenici su i dalje jednako nuli, a jednadžba je uvelike pojednostavljena. U praksi, određivanje točke pripadnosti površini nije teško (dovoljno je zamijeniti svoje koordinate u jednadžbi i provjeriti da li se promatra identitet). Ključna točka u ovom radu je smanjenje potonjeg u kanonskom obliku.

Gore opisana jednadžba definira bilo koje (sve naznačeno ispod) površine reda 2. Primjeri će se dalje razmotriti.

Vrste površina reda 2

Jednadžbe površina reda 2 razlikuju se samo u vrijednostima koeficijenata A_nm. Iz općeg stajališta za određene vrijednosti konstanti mogu se dobiti različite površine klasificirane na sljedeći način:

1. Cilindri.
2. Eliptički tip.
3. Hiperbolni tip.
4. Konični tip.
5. Parabolični tip.
6. Plane.

Svaka od navedenih vrsta ima prirodni i imaginarni oblik: u imaginarnom obliku, geometrijsko mjesto stvarnih točaka degenerira se u jednostavniju sliku ili potpuno odsutno.

cilindri

Ovo je najjednostavniji tip, jer relativno složena krivulja leži samo u bazi, koja djeluje kao vodič. Staze za oblikovanje su ravne, okomite na ravninu u kojoj leži bazu.

Graf prikazuje kružni cilindar - poseban slučaj eliptičnog cilindra. XY ravnini je elipsa njegova projekcija (u našem slučaju - krug), - vodič i XZ - pravokutnik - kao osi usporedne Z. kako bi ga dobila od opće jednadžbe, koeficijenti moraju se dati sljedeća značenja:

Umjesto uobičajenih oznaka X koriste se Yorksh, Z, X brojevi s serijskim brojem - nije važno.

Zapravo, 1 / a² a ostale ovdje prikazane konstante su isti koeficijenti navedeni u općoj jednadžbi, ali uobičajeno ih je upisati upravo u ovom obliku - to je kanonski prikaz. Tada će se koristiti samo ovaj zapis.

Ovako se daje hiperbolički cilindar. Shema je ista - vodič će biti hiperbola.

y²= 2px

Parabolički cilindar je određen nešto drugačije: njegov kanonski oblik uključuje koeficijent p, nazvan parametar. U stvari, koeficijent je q = 2p, ali je uobičajeno podijeliti ga s dva predstavljena faktora.

Postoji još jedna vrsta cilindra: imaginarna. Takav cilindar ne pripada ni jednoj stvarnoj točki. On opisuje jednadžbu eliptičnog cilindra, ali umjesto jednog košta -1.

Eliptički tip

Elipsoid se može protezati duž jedne osi (duž koje ovisi o vrijednostima konstanta a, b, c, gore navedenom, jasno je da će veća osi odgovarati većem koeficijentu).

Tu postoji i imaginarni elipsoid - pod uvjetom da je zbroj koordinata pomnožen koeficijentima -1:

hiperboloida

Kada se minus pojavi u jednoj od konstanti, elipsoidna jednadžba postaje jednadžba hiperboloida jednog lista. Potrebno je razumjeti da se ova minus ne mora smjestiti prije koordinate x₃! Ona samo određuje koji je od osi osovina rotacije hiperboloida (ili paralelna s njom, budući da se na trgu pojavljuju dodatni pojmovi (na primjer, (x-2)²) središte slike je pomaknuto, kao posljedica, površina se kreće paralelno s koordinatnim osi). To vrijedi za sve površine reda 2.

Osim toga, moramo shvatiti da su jednadžbe prikazani u kanonskom obliku, a mogu se mijenjati promjenom konstante (očuvanje znak!) - sa svojim stavovima (hyperboloid, konus, itd) ostaju isti.

Takva jednadžba daje dvoslojni hiperboloid.

Konusna površina

U jednadžbi konusa, ne postoji jedinica - jednakost na nulu.

Konus je samo omeđena konusna površina. Sljedeća slika pokazuje da će graf biti dva takozvana čaša.

Važna promatranja: u svim kanonskim jednadžbama koje se razmatraju, konstante se prema zadanim postavkama smatraju pozitivnim. Inače, znak može utjecati na konačni grafikon.

Koordinatni zrakoplovi postaju ravnine simetrije konusa, središte simetrije nalazi se u podrijetlu.

U jednadžbi imaginarnog konusa, pripadaju samo plusi, ima jednu stvarnu točku.

paraboloidi

Površine drugog reda u prostoru mogu imati različite oblike čak i sa sličnim jednadžbama. Na primjer, paraboloidi su dvije vrste.

x²/ a²+y²/ b²= 2z

Eliptični paraboloid, kada je osi Z okomita na crtež, projicirat će se u elipsu.

x²/ a²-y²/ b²= 2z

Hipara: u presjeku ravnine usporedne sa ZY ćemo dobiti parabolu, au poprečnom presjeku ravnine usporedne sa XY - pretjerivanje.

Prijelazne ravnine

Postoje slučajevi kada se površine drugog reda degeneriraju u ravnini. Ti se zrakoplovi mogu organizirati na različite načine.

Prvo razmislite o presjecima ravnina:

x²/ a²-y²/ b²= 0

S ovim izmjeni kanonska jednadžbe dobivaju samo dva presijecajuću avion (imaginarno!) - sve stvarne točke koje se nalaze na osi koordinata nedostaje u jednadžbi (u kanonski - os Z).

Paralelni zrakoplovi

y²= a²

U prisutnosti samo jedne koordinate, površine drugog reda degeneriraju se u par paralelnih ravnina. Ne zaboravite, umjesto igre može biti bilo koja druga varijabla, tada će se dobiti ravnine paralelne s drugim sjekirama.

y²= minus-a²

U tom slučaju postaju zamišljeni.

Povezujući zrakoplovi

y²= 0

S takvom jednostavnom jednadžbom, par zrakoplova degenerira se u jedan - oni se podudaraju.

Ne zaboravite da u slučaju trodimenzionalne osnove, gornja jednadžba ne specificira pravu liniju y = 0! U njemu nema još dvije varijable, ali to samo znači da je njihova vrijednost konstantna i nula.

zgrada

Jedna od najtežih zadataka za učenika je izgradnja površina 2. reda. Još je teže premjestiti iz jednog koordinatnog sustava na drugi, uzimajući u obzir padove krivulje u odnosu na osi i pomicanje središta. Ponavljamo kako odrediti budućnost crteža na analitički način.

Za izgradnju površine reda 2 potrebno je:

• smanjiti jednadžbu prema kanonskom obliku;
• odrediti vrstu površine koju treba ispitati;
• graditi na temelju vrijednosti koeficijenata.

U nastavku su sve vrste razmatranja:

Za fiksaciju ćemo detaljno opisati jedan primjer ove vrste zadataka.

primjeri

Pretpostavimo da postoji jednadžba:

3 (x²-2x + 1) + 6y²+2z²+60y + 144 = 0

Smanjujemo ga u kanonskom obliku. Izdvajamo potpune kvadrate, tj. Sastavljamo postojeće summete na takav način da su raspadanje kvadrata zbroja ili razlike. Na primjer: ako (a + 1)²= a²+2a + 1, a zatim a²+2a + 1 = (a + 1)². Provest ćemo drugu operaciju. Rodene u ovom slučaju nisu potrebne za otkrivanje, budući da će to samo komplicirati izračune, ali je potrebno napraviti zajednički množitelj od 6 (u zagradama s kvadratnim kvadratom):

3 (x-1)²+6 (y + 5)²+2z²= 6

Varijabilni zet pojavljuje se u ovom slučaju samo jednom - još ga ne možete dodirnuti.

Analiziramo jednadžbu u ovoj fazi: prije svih nepoznanica postoji znak plus - kada je podijeljen sa šest, postoji jedan. Prema tome, imamo jednadžbu koja definira elipsoid.

Imajte na umu da se 144 raspala na 150-6, nakon čega je -6 pomaknuta udesno. Zašto je to bilo potrebno? Očito je da je najveći podgrupa u ovom primjeru, -6, dakle, da je nakon podjele to pravo preostalih jedinica mora biti „izdvojena” od 144 je 6 (koji bi trebao biti pravi jedinicu, kaže prisutnost slobodnog izraza - konstante, a ne množe do nepoznatog).

Podijelimo po šest i dobijemo kanonsku jednadžbu elipsoida:

(X-1)²/ 2 + (y + 5)²/ 1 + z²/ 3 = 1

U klasifikaciji površina reda 2 koja se prije upotrebljava, smatra se poseban slučaj kada je središte slike u porijeklu. U ovom je primjeru pristran.

Vjerujemo da je svaka zagrada s nepoznatim novom varijablom. To je: a = x-1, b = y + 5, c = z. U novim koordinatama, središte elipsoida podudara se s točkom (0,0,0), dakle, a = b = c = 0, odakle: x = 1, y = -5, z = 0. U izvornim koordinatama, središte slike leži na točki (1, -5,0).

Elipsoid će se dobiti iz dvije elipse: prva u XY ravnini i druga u XZ ravnini (ili YZ - to ne smeta). Koeficijenti kojima su podijeljene varijable stoje u kanonskoj jednadžbi na kvadratu. Stoga, u gornjem primjeru, to bi bilo ispravnije podijeliti s korijenom dva, jednom i korijenom tri.

Manja osi prvog elipsa, paralelna s osi Y, jednaka su dvije. Glavna osi paralelna s X osi dva su korijena. Manja osi druge elipse, paralelne s Y-osi, ostaju ista - ona je jednaka dva. I glavna osi paralelna sa Z-osi jednaka su dva korijena tri.

Koristeći dobivenu od izvorne jednadžbe pretvaranjem u kanonski oblik podataka, možemo nacrtati elipsoid.

Ukratko

Tema koja je obuhvaćena u ovom članku je dosta opširna, ali zapravo, kao što sada možete vidjeti, nije baš komplicirana. Njegovo majstorstvo zapravo završava u trenutku kada naučite imena i jednadžbe površina (i, naravno, kako izgledaju). U gornjem primjeru detaljno smo razmotrili svaki korak, ali smanjenje jednadžbe u kanonskom obliku zahtijeva minimalno znanje u višoj matematici i ne bi trebalo uzrokovati poteškoće za učenika.

Analiza budućeg grafikona o postojećoj jednadžbi već je teži zadatak. No, za svoje uspješno rješenje dovoljno je razumjeti kako su konstruirane odgovarajuće krivulje drugog reda - elipse, parabole i drugi.

Slučajevi degeneracije su još jednostavniji dio. Zbog odsutnosti određenih varijabli, pojednostavljeni su ne samo izračuni već spomenutih već i sama konstrukcija.

Nakon što s povjerenjem navedete sve vrste površina, promijenite konstante, pretvarajući grafikon u jednu ili drugu figuru - tema će se savladati.

Uspjeh u učenju!