Jednadžba ravnine: kako sastaviti? Vrste ravnina jednadžbi

U prostoru, avion može biti definiran na različite načine (jedna točka i vektor, dvije točke i vektor, tri točke itd.). S tim u vidu, jednadžba ravnine može imati različite vrste. Isto tako, ako su zadovoljeni određeni uvjeti, zrakoplove mogu biti paralelni, okomiti, presjeci itd. O ovom i razgovoru u ovom članku. Naučit ćemo kako napraviti opću jednadžbu aviona, a ne samo.

Normalan oblik jednadžbe

Pretpostavimo da postoji prostor R₃, koji ima pravokutni koordinatni sustav XYZ. Postavite vektor alfa, koji će biti oslobođen od početne točke O. Kroz kraj vektora Nacrtajmo ravninu Π, koja će biti okomita na nju.

Označavamo pomoću Π proizvoljne točke Q = (x, y, z). Potpisujemo polumjer vektora točke Q slovom p. Duljina vektora alfa je jednak p = Ialfa-I i Ʋ = (cosalpha-, cosbeta-, cosgamma-).

Ovo je jedinstveni vektor koji je usmjeren na stranu, poput vektora alfa. alfa, beta i gama- su kutovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca osovina razmaka x, y, z, respektivno. Projekcija neke točke QεP na vektor Ʋ je konstanta koja je jednaka p: (p, Ʋ) = p (pge-0).

Gornja jednadžba je značajno kada je p = 0. Jedini ravnina P u ovom slučaju, križnim O (alfa = 0), koja je izvor, i jedinica za vektor Ʋ, oslobođen iz točke O biti okomita na P, ali njegov smjer, što znači da je vektor određuje Ʋ do znaka. Prethodna jednadžba je naša ravnina P, izražen u vektorskom obliku. No, u pogledu njegovih koordinata je:

P je veći ili jednak 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.

Opća jednadžba

Ako se jednadžba u koordinatama pomnoži s bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobivamo jednaku jednadžbu od datog, što određuje istu ravninu. To će izgledati ovako:

Ovdje A, B, C brojevi su istodobno nerazvrstani. Ova se jednadžba naziva jednadžbom ravnine općeg oblika.

Jednadžbe zrakoplova. Posebni slučajevi

Jednadžba u općem obliku može se modificirati uz prisutnost dodatnih uvjeta. Razmotrimo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je dano ravnina paralelna s datom os Oksom. U ovom slučaju, oblik jednadžbe će se promijeniti: Boo + Cz + D = 0.

Slično tome, oblik jednadžbe će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će biti dokaz paralelnosti osi OO.
• Drugo, ako je C = 0, tada se jednadžba pretvara u Ax + Boo + D = 0, što će govoriti o paralelizmu s određenom osi Oz.
• Treće, ako je D = 0, jednadžba će izgledati kao Ax + Boo + Cz = 0, što znači da ravnina križa O (podrijetlo).
• Četvrto, ako je A = B = 0, tada će se jednadžba promijeniti na Cz + D = 0, što će se dokazati paralelno s Oxy.
• Peto, ako B = C = 0, tada jednadžba postaje Ax + D = 0, što znači da je avion za Oyz paralelan.
• Šesto, ako A = C = 0, tada će jednadžba dobiti oblik Boo + D = 0, to jest, izvješće će paralelno s Oxzom.

Vrsta jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednadžbe (0) može biti sljedeći:

x / a + y / b + z / c = 1,

u kojima a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

Kao rezultat, dobivamo jednadžbu ravnine u segmentima. Treba napomenuti da će ova ravnina presijecati os Ox na točki s koordinatama (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) i Oz - (0,0, c).

Uzevši u obzir jednadžbu x / a + y / b + z / c = 1, nije teško vizualno prikazati raspored ravnine u odnosu na zadani koordinatni sustav.

Koordinate normalnog vektora

Normalan vektor n na ravninu Π ima koordinate koeficijenata opće jednadžbe dane ravnine, tj. N (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normalnog n, dovoljno je znati opću jednadžbu dane ravnine.

Kada pomoću jednadžbe u segmentima, koji ima oblik x / a + y / b + z / c = 1, kao i kada se koristi opću jednadžbu može biti napisana koordinate bilo normalno vektora dani ravnine: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Važno je napomenuti da normalan vektor pomaže u rješavanju različitih zadataka. Najčešći problemi uključuju problem dokazivanja perpendicitosti ili paralelizma zrakoplova, problema pronalaženja kutova između ravnina ili kutova između ravnina i crta.

Oblik jednadžbe ravnine prema koordinatama točke i normalnog vektora

Nenektor vektor n okomito na zadanu ravninu zove se normalno (normalno) za određenu ravninu.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravokutni koordinatni sustav) Oxyz dana:

• Točka Mₒ s koordinatama (xₒ, yₒ, zₒ);
• nula vektor je n = A * i + B * j + C * k.

Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine koja će proći točku Mₒ okomito na normalan n.

U prostoru odabiremo bilo koju proizvoljnu točku i označimo ga M (xy, z). Neka radijusa vektor svake točke M (x, y, z) bude r = X * i + y * j + z * k i radijus vektor od točke Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Točka M će pripadati danoj ravnini ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapišimo stanje ortogonalnosti pomoću skalarnog proizvoda:

[M +, n] = 0.

Budući da MₒM = r-rₒ, vektorska jednadžba ravnine izgledat će ovako:

[r - r, n] = 0.

Ova jednadžba može imati još jedan oblik. Da bismo to učinili, koristimo svojstva skalarnog proizvoda, a lijeva strana jednadžbe se transformira. [r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ako [rₒ, n] označen kao S, dobiva se prema sljedećoj jednadžbi: [r, n] - a = 0 ili [D, n] = a, koji izražava konstantnost ispupčenja na normalnog vektora od polumjera-vektora traženih točaka koje pripadaju ravninu.

Sada mogu dobiti u koordinatnom tip snimanja ravnina naš vektor jednadžbe [r - rₒ, n] = 0. Kako r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) + j + (z-zₒ) + k, i n = A * i + B * j + C * k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku okomito na normalan n:

A * (x - xₒ) + B * (y - yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Oblik ravninske ravnine prema koordinatama dviju točaka i vektoru, kolinearnoj ravnini

Definiramo dvije arbitrarne točke M `(x`, y `, z`) i M "(x", y ", z"), kao i vektor a (a `, a ", a).

Sada možemo sastaviti jednadžbu dane ravnine koja će proći kroz dostupne točke M `i M ", kao i bilo koju točku M s koordinatama (x, y, z) paralelno s danim vektorom a.

Time M`M vektori {X-X`-Y-Y `= z-Z `}, a M`= {x M `y` "- h -u`-Z", Z "treba biti} koplanarni s vektorom a = (a `, a ", a), što znači da (M`M, M" M, a) = 0.

Dakle, naša jednadžba aviona u svemiru će izgledati ovako:

Oblik jednadžbe ravnine koja presijeca tri boda

Recimo imamo tri točke: (x `y`, z `), (x`, y `z`), (x ‴ Have ‴, z ‴), koji ne pripadaju istoj liniji. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke. teorija geometrije tvrdi da je ova vrsta avion ne postoji, to je samo jedan i jedini. Budući da je ovaj avion presijeca točku (x „y”, z „), njegov oblik jednadžba će biti:

Ovdje A, B, C su oba nula. Također, navedena ravnina presijeca još dvije točke: (x ", y", z ") i (x ‴, y ‴, z ‴). S tim u vezi, moraju se ispuniti sljedeći uvjeti:

Sada možemo napraviti homogeni sustav jednadžbe (linearne) s nepoznatim u, v, w:

U našem slučaju, x, y ili z je proizvoljna točka koja zadovoljava jednadžbu (1). S obzirom na jednadžbi (1) i sustav jednadžbi (2) i (3) da sustav jednadžbi označene na slici gore, za vektorsku zadovoljava N (A, B, C), koji je svaki bitan. Zato je determinanta tog sustava nula.

Jednadžba (1), koju smo dobili, ovo je jednadžba ravnine. Nakon 3 boda definitivno prolazi i lako je provjeriti. Da biste to učinili, mi proširiti odrednicu od elemenata u prvom redu. Od postojećih svojstva determinante slijedi da je naš avion istovremeno siječe tri prvobitno određenu točku (x `y`, z „), (x "y" z„), (x ‴, y ‴, z ‴). To jest, riješili smo zadatak postavljen pred nama.

Dvostrani kut između ravnina

Dvostrani kut predstavlja prostornu geometrijsku figuru koju čine dvije polu-ravnine koje proizlaze iz jedne ravne linije. Drugim riječima, to je dio prostora koji je ograničen na te polu-avione.

Pretpostavimo da imamo dva ravnina sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N = (A, B, C) i Nsup1 - = (Asup1-, Bsup1-, Csup1-) okomiti na navedene ravnine. S tim u vezi, kut phi između vektora N i Nsup1- je jednak kutu (dvostrani) koji se nalazi između tih ravnina. Skalarni proizvod ima oblik:

NNsup1- = | N || Nsup1- | cos phi-,

upravo zbog toga

cosphi- = NNsup1- / | || N Nsup1- | = (+ AAsup1- VVsup1- SSsup1 + -) / ((radic- (A² + V² + s²)) + (radic- (Asup1-) ² + (Vsup1- ) ² + (Ssup1-) ²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0-phi-le-pi-.

Zapravo, dva zrakoplova koji se presijecaju tvore dva kuta (dvostrana): phi-₁ i phi-₂. Njihov je zbroj pi- (fenil-₁+ phi-₂= pi-). Što se tiče njihovih kosina, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po znaku, to jest cos phi-₁= -cos phi-₂. Ako zamijenimo A, B i C s brojevima -A, -B i -C, u jednadžbi (0), tada jednadžba koja dobivamo određuje tu istu ravninu, jedini kut phi- u jednadžbu cos phi- = NN¹/ | N || N¹| | zamijenit će se pi - phi-.

Jednadžba okomite ravnine

Okomite su ravnine između kojih je kut 90 stupnjeva. Koristeći gore opisani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine okomito na drugu. Pretpostavimo da imamo dva ravnina: Ax + Boo + Cz + D = 0 i Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + D = 0. Možemo tvrditi da će oni biti okomiti ako cosphi = 0. To znači da NNsup1- = AAsup1- + BBsup1- + CCsup1- = 0.

Jednadžba paralelne ravnine

Paralelno su dvije ravnine koje ne sadrže zajedničke točke.

stanje paralelizam zrakoplova (Njihova jednadžbe su isti kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori i N Nsup1-, koje su okomite na njih, kolineame. A to znači da su zadovoljeni sljedeći uvjeti razmjernosti:

A / Asup1 = B / Bsup1- = C / Csup1-.

Ako se prostorni uvjeti proširuju - A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1- = DDsup1-,

to znači da se te ravnine podudaraju. To znači da je jednadžba Ax + By + Cz + D = 0 i Asup1-x + y + Vsup1-Ssup1-z + Dsup1- = 0 opisati jednu ravninu.

Udaljenost do ravnine od točke

Pretpostavimo da imamo avion Π, koji se daje jednadžbom (0). Potrebno je prije nje pronaći udaljenost od točke s koordinatama (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. Da bismo to učinili, moramo smanjiti jednadžbu ravnine Π u normalni oblik:

(rho, v) = p (pge-0).

U ovom slučaju rho- (x, y, z) je radijus vektor našeg točka Q, koja se nalazi na n-r - n je duljina okomice, koji je izdan od nulte točke, v - je jedinica vektor, koji je postavljen u smjeru s.

razlika rho-rho-ordm je radijalni vektor bilo koje točke Q = (x, y, z) koji pripada II, kao i radijus vektor dane točke Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) je vektor čija apsolutna projekcija na v je jednaka udaljenosti d koja se mora naći iz Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) do Π:

D = | (rho-rho-⁰,v) |, ali

(Rho - rho-⁰,v) = (rh, v) - (rho-⁰,v) = p- (rho-⁰,v).

Tako se ispostavlja,

d = | (rho-⁰,v) -p |.

Sada se vidi da izračunava udaljenost d od Q₀ na ravnine P, potrebno je koristiti normalne oblik jednadžbe ravnine, pomak na lijevo od p, i zadnji mjesto x, y, z zamjena (hₒ, uₒ, zₒ).

Dakle, nalazimo apsolutnu vrijednost dobivenog izraza, tj. Željenog d.

Koristeći parametarski jezik dobivamo očito:

d = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / radic- (² + ² + ²).

Ako je navedena točka Q₀ nalazi se na drugoj strani ravnine II, poput podrijetla, a zatim između vektora ro - rho-⁰ i v tmurni kut, dakle:

d = - (rho-rho-⁰,v) = (rho-⁰,v) p> 0.

U slučaju kada točka Q₀ zajedno s podrijetlom koordinata nalazi se na istoj strani II, tada je stvoreni kut oštar, to jest:

d = (rho-rho-⁰,v) = p- (rho-⁰, v)> 0.

Kao rezultat, ispada da je u prvom slučaju (rho-⁰,v)> p, u drugom (rho-⁰,v)

Tangentna ravnina i njena jednadžba

Ravnina koja je tangentna na površinu na točki kontakta Mordm- je ravnina koja sadrži sve moguće tangente na krivulje izvučene kroz ovu točku na površini.

Ovaj oblik površine jednadžbe F (x, y, z) = 0 u jednadžbi tangencijalna ravnina tangencijalne točke Mordm- (hordm-, uordm-, zordm-) će biti:

F_x(xordm-, ùordm-, zordm-) (х-хordm -) + F_x(hordm-, ùordm-, zordm-) (ù-ùordm-) + F_x(xordm-, uordm-, zordm-) (z-zordm-) = 0.

Ako postavimo površinu u eksplicitni oblik z = f (x, y), tangentna ravnina će biti opisana jednadžbom:

z-zordm- = f (xordm-, uordm-) (x-hordm-) + f (hordm-, uordm-) (y -ordm-).

Sjecište dvaju ravnina

U trodimenzionalni prostor To je koordinatni sustav (pravokutni) Oxyz, s obzirom na dvije ravnine P „i P” koje se preklapaju i ne poklapaju. Jer bilo ravnini, koja je u pravokutni koordinatni sustav definiran općom jednadžbom, pretpostavljamo da n „i n„su definirani jednadžbi A`x + V`u S`z + D”= 0 i A" + B x `+ y s "D" + z = 0. U ovom slučaju imamo normalno N `(A`, B `C`) od ravnine P `i "normalne n (A", B "C") od ravnine P`. Kao što je naš avion nisu paralelni i ne podudaraju, onda ti vektori nisu kolinearno. Koristeći jezik matematike, mi smo to stanje može se zapisati kao: n`ne- n " (A `, B`, C `) ne- (lambda- * A ", lambda- * B", lambda- * C "), lambda-εR. Neka linija koja se nalazi na sjecištu Π `i Π "biti označena slovom a, u kojem slučaju a = Π` kap-P ".

i - linija se sastoji od više točaka (uobičajeni) ravnina P „i P”. To znači da su koordinate bilo koje točke pripada linije a istovremeno mora zadovoljavati jednadžbe A`x + V`u S`z + D `= 0 i A „x + B` + C `y z + D" = 0. To znači da su koordinate točke biti će posebno rješenje od sljedećih jednadžbi:

Rezultat toga je da je rješenje (ukupni) ovog sustava jednadžbi će odrediti koordinate svake od točaka na crti koja će djelovati kao sjecišta P „i P”, i odrediti liniju u sustavu koordinatnom Oxyz (pravokutni) prostora.