Primjeri indukcije. Metoda matematičke indukcije: primjeri rješenja

Pravo znanje u svako doba temeljilo se na uspostavljanju pravilnosti i dokazu njegove istinitosti u određenim okolnostima. Za tako dugo razdoblje postojanja logičkog rasuđivanja, pravila su formulirana, a Aristotel je čak sastavio i popis "ispravnih obrazloženja". Povijesno gledano, zajedničko je podjelu svih zaključaka u dvije vrste - od betona do množine (indukcija) i obratno (odbitak). Treba napomenuti da vrste dokaza od privatnog do općeg i od općeg do posebnog postoje samo u odnosu i ne mogu se koristiti međusobno.

Indukcija u matematici

Pojam "indukcija" ima latinski korijene i doslovno je preveden kao "smjernica". Uz bliske studije, možemo razlikovati strukturu riječi, naime, latinski prefiks - u (označava usmjerenu akciju unutar ili unutar nje) i uvod - uvod. Treba napomenuti da postoje dvije vrste - potpuna i nepotpuna indukcija. Kompletan obrazac karakteriziraju zaključci izvedeni iz proučavanja svih predmeta određene klase.

Nepotpuni - zaključci primijenjeni na sve predmete klase, ali napravljeni na temelju studije samo nekoliko jedinica.

Kompletna matematička indukcija je zaključak koji se temelji na općem zaključku o cijeloj skupini objekata koji su funkcionalno povezani odnosima prirodnog broja brojeva na temelju spoznaje ove funkcionalne veze. Proces dokazivanja prolazi kroz tri faze:

• prvi dokazuje točnost položaja matematičke indukcije. Primjer: f = 1, ovo je osnova indukcija;
• Sljedeća faza temelji se na pretpostavci valjanosti položaja za sve prirodne brojeve. To jest, f = h, ovo je indukcijska hipoteza;
• treća faza dokazuje valjanost pozicije za broj f = h + 1, na temelju ispravnosti položaja prethodne točke - to je indukcijska tranzicija ili korak matematičke indukcije. Primjer je tzv "Domino princip": ako prva kost pada u red (osnovi), tada će sve kosti u redu (prijelaz) pasti.

I za zabavu i ozbiljno

Za jednostavnost percepcije, primjeri rješavanja metodom matematičke indukcije izloženi su u obliku problema šala. Ovo je zadatak "pristojnog skretanja":

• Pravila ponašanja zabranjuju muškarcu da se okrene pred ženom (u takvoj situaciji, ona je prošla naprijed). Polazeći od ove izjave, ako je zadnji u redu čovjek, onda su ostali muškarci.

Napadljiv primjer metode matematičke indukcije je problem "leta bez dimenzija":

• Potrebno je dokazati da je bilo koji broj ljudi smješten u minibusu. Istina je da se jedna osoba može smjestiti u transport bez ikakvih poteškoća (osnova). Ali bez obzira koliko je mali minibus zauzet, jedan putnik će uvijek stati u nju (indukcijski korak).

Poznati krugovi

Često se susreću primjeri rješenja matematičkim indukcijama problema i jednadžbi. Kao ilustraciju ovog pristupa možemo razmotriti sljedeći problem.

stanje: na ravnini postoje h kruži. Potrebno je dokazati da za bilo kakav raspored likova kartica koju čine mogu biti pravilno obojene dvjema bojama.

Rješenje: za h = 1 istinitost tvrdnje je očigledna, pa će se dokaz temeljiti na broju krugova h + 1.

Pretpostavljamo da je izjava valjana za svaku karticu, a krugovi h + 1 dani su na ravnini. Ako uklonite jedan od krugova od ukupnog broja, možete dobiti pravu boju s dvije boje (crno-bijele) karte.

Prilikom vraćanja izbrisane kružnice, boja svake regije mijenja se suprotno (u ovom slučaju unutar kruga). Dobivena je karta, pravilno obojena s dvije boje, koja je trebala biti dokazana.

Primjeri s prirodnim brojevima

U nastavku je jasno prikazana primjena metode matematičke indukcije.

Primjeri rješenja:

Dokazati da za bilo koju h postoji sljedeća ravnopravnost:

1²+2²+3²+hellip- + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

rješenje:

1. Neka h = 1, a zatim:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Iz toga slijedi da je za h = 1 tvrdnja točna.

2. Pretpostavljajući da je h = d dobivamo jednadžbu:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Pretpostavljajući da je h = d + 1, dobivamo:

R_{d + l}= (d + l) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + l}= 1²+2²+3²+hellip- + d²+(d + l)²= d (d + l) (2d + l) / 6 + (d + l)²= (d (d + l) (2d + l) + 6 (d + l)²) / 6 = (d + l) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + l) (2d²+7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Stoga se dokazuje valjanost jednakosti za h = d + 1, stoga je tvrdnja istina za bilo koji prirodni broj, koji je prikazan u primjeru rješenja matematičkom indukcijom.

zadatak

stanje: potrebno je dokazati da za bilo koju vrijednost h izraz 7^h-1 je djeljiv s 6 bez ostatka.

Rješenje:

1. Pretpostavimo, h = 1, u ovom slučaju:

R₁= 7¹-1 = 6 (tj. Djeljiv s 6 bez ostatka)

Dakle, za h = 1 izjava je valjana;

2. Pretpostavimo da je h = d i γ^d-1 je djeljiv s 6 bez ostatka;

3. Dokaz o valjanosti tvrdnje za h = d + 1 je formula:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7 ∙ 7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

U tom je slučaju prvi izraz podijeljen s 6 prema pretpostavci prve točke, a drugi je jednak 6. Pretpostavka da je 7^h-1 je djeljiv s 6 bez ostatka za bilo koji pozitivni cijeli broj h - vrijedi.

Pogreška prosuđivanja

Često se u argumentima koristi pogrešno obrazloženje, zbog netočnosti korištene logičke konstrukcije. U osnovi, to se događa kada se krši struktura i logika dokaza. Primjer pogrešnog razmišljanja može poslužiti kao ilustracija.

zadatak

stanje: Potrebna vam je dokaz da nijedan hrpa kamenja nije gomila.

Rješenje:

1. Pretpostavimo, h = 1, u ovom slučaju u kamenu 1 kamen i izjava istinita (osnova);

2. Pretpostavimo da je za h = d istina da hrpa kamenja nije hrpa (pretpostavka);

3. Neka h = d + 1, što znači da kada dodate još jedan kamen, set neće biti hrpa. Zaključak je da pretpostavka vrijedi za sve prirodne h.

Pogreška je u činjenici da nema definicije koliko kamena gomila hrpa. Takav propust naziva se hitan generalizacija u metodi matematičke indukcije. Primjer koji jasno pokazuje.

Indukcija i zakoni logike

Povijesno gledano, da primjeri indukcije i odbitaka uvijek "šetati ruku pod ruku." Takve znanstvene discipline poput logike i filozofije opisuju ih u obliku suprotnosti.

S točke gledišta logike zakona u induktivne definicije može se vidjeti odmara na činjenicama i istini prostora ne utvrdila ispravnost nastalog gubitka. Često se dobivaju zaključci s određenom vjerojatnosti i vjerodostojnosti, što, naravno, treba provjeriti i potvrditi dodatnim istraživanjima. Primjer indukcije u logici može biti izjava:

U Estoniji - suša, u Latviji - suša, u Litvi - suša.

Estonija, Latvija i Litva su baltičke države. U svim baltičkim zemljama suša.

Iz primjera se može zaključiti da se nova informacija ili istina ne mogu dobiti metodom indukcije. Sve što se može računati je neka vjerojatnost zaključaka. Štoviše, istina prostora ne jamči iste zaključke. Međutim, ova činjenica ne znači da indukcija vegetira na marginama odbitka: veliki je broj odredbi i znanstvenih zakona opravdan metodom indukcije. Primjer je isti matematika, biologija i druge znanosti. To je uglavnom zbog metode potpune indukcije, ali u nekim slučajevima primjenjivo je i djelomično.

Časna godina indukcije dopustila joj je prodrijeti gotovo svim sferama ljudske aktivnosti - to je znanost, ekonomija i svakodnevni zaključci.

Indukcija u znanstvenom okruženju

indukcija metoda zahtijeva savjestan odnos, jer previše ovisi o broju istraživanih pojedinostima cjeline: Što je veći broj proučavao, više pouzdan rezultat. Na temelju tih pojedinih znanstvenih zakona dobivenih indukcije, dugo ček na razini vjerojatnosti pretpostavki za izolaciju i proučavanja svih mogućih strukturnih elemenata, veza i utjecaja.

U znanosti, indukcija se temelji na značajnim znakovima, osim slučajnih pozicija. Ova je činjenica važna u vezi s specifičnostima znanstvenog znanja. Ovo se jasno vidi u primjerima indukcije u znanosti.

Postoje dvije vrste indukcije u znanstvenom svijetu (u vezi s metodom studija):

1. odabir indukcije (ili odabir);
2. indukcija je iznimka (eliminacija).

Prvi se tip razlikuje metodican (skrupulozan) odabir uzoraka klase (podrazreda) iz njenih različitih područja.

Primjer indukcije ove vrste je sljedeći: srebro (ili srebrne soli) pročišćava vodu. Zaključak se temelji na dugoročnim promatranjima (vrsta odabira potvrda i odbijanja - odabir).

Druga vrsta indukcije temelji se na zaključcima koji uspostavljaju uzročne odnose i isključuju okolnosti koje ne zadovoljavaju njegova svojstva, naime, univerzalnost, poštivanje vremenskog slijeda, nužnost i nedvosmislenost.

Indukcija i odbitak sa stajališta filozofije

Ako pogledate povijesnu retrospektivu, pojam "indukcija" prvi put spominje Sokrat. Aristotel je opisao primjere indukcije u filozofiji u približnom terminološkom rječniku, ali pitanje nepotpune indukcije ostaje otvoreno. Nakon progona aristotelovskog silogizma, induktivna metoda postala je priznata kao plodna i jedina je moguća u prirodnoj znanosti. Otac indukcije kao nezavisna posebna metoda smatra se Baconom, ali nije odvojio, kako to zahtijeva suvremenik, indukcija iz deduktivne metode.

Daljnji razvoj indukcije učinio je J. Mill, koji je smatrao da je indukcijska teorija od položaja četiri osnovne metode: pristanak, razlika, ostaci i odgovarajuće promjene. Nije iznenađujuće da su ove metode, kada se detaljno razmatraju, deduktivne.

Svijest o nedosljednosti teorija Bacona i Milla vodila je znanstvenike da prouče probabilističku osnovu indukcije. Međutim, ovdje također nije bilo bez ekstrema: pokušali su se smanjiti indukcija na teoriju vjerojatnosti sa svim posljedicama koje slijede.

Glasovanje o indukciji povjerenja dobiva se u praktičnoj primjeni u određenim područjima i zbog točnosti metričke induktivne osnove. Primjer indukcije i odbitka filozofije može se smatrati zakonom univerzalne gravitacije. U vrijeme otkrića zakona Newton je uspio provjeriti točnost od 4 posto. I kad se provjerava nakon više od dvjesto godina, ispravnost je potvrđena u roku od 0,0001 posto, iako je test proveden istim induktivnim generalizacijama.

Moderna filozofija plaća više pozornosti na odbitak koji diktira logičkog željom da se povuče iz već poznatog novog znanja (ili istine), bez pribjegavanja iskustva, intuicije i pojmovi „čista” rasuđivanje. Kada se govorimo o pravim premisama u deduktivnoj metodi, u svim slučajevima izlaz je istinska izjava.

Ova vrlo važna karakteristika ne bi trebala zasjeniti vrijednost induktivne metode. Budući da je indukcija, temeljena na postignućima iskustva, postaje sredstvo njegove obrade (uključujući generalizaciju i sistematizaciju).

Indukcija u gospodarstvu

Indukcija i odbitak dugo su korišteni kao metode istraživanja gospodarstva i predviđanja njegovog razvoja.

Spektar uporabe indukcijske metode je vrlo širok: studija provedbe pokazatelja prognoze (dobit, amortizacija, itd ...) i ukupnu ocjenu stanja predpriyatiya- stvaranja učinkovite politike za promicanje poduzetništva na temelju činjenica i njihovih odnosa.

Ista metoda indukcije upotrijebljena je u "Shewhart grafikonima", gdje se pretpostavlja odvajanje procesa u upravljanim i neupravljanim procesima, tvrdimo da je opseg kontroliranog procesa neaktivan.

Treba napomenuti da su znanstveni zakoni opravdano i potvrđeno metoda indukcije, a kako ekonomija je znanost, često koriste matematičku analizu, teoriju rizika i statistike, ne čudi prisutnost indukcije u osnovnom popisu metoda.

Sljedeća situacija može poslužiti kao primjer indukcije i odbitka u gospodarstvu. Povećanje cijene prehrambenih proizvoda (iz košarice potrošača) i osnovnih dobara potiču potrošača na razmišljanje o visokim troškovima u državi (indukcija). Međutim, iz činjenice da su visoki troškovi korištenja matematičkih metoda može biti izvedena stope rasta cijena za određene proizvode ili skupine proizvoda (olakšice).

Najčešće se odnosi na metodu indukcije, menadžera, menadžera, ekonomista. Da bi mogli iskreno dovoljno predvidjeti razvoj poduzeća, ponašanje na tržištu, učinci konkurencije, treba induktivni-deduktivni pristup analizi i obradi informacija.

Jasni primjer indukcije u gospodarstvu, koji se odnosi na pogrešne prosudbe:

• Dobit tvrtke pala je za 30%
  Natjecateljska tvrtka proširila je svoju liniju proizvoda -
  ništa se drugo nije promijenilo;
• proizvodna politika konkurentske tvrtke uzrokovala je smanjenje dobiti od 30%;
• stoga je potrebno provesti istu proizvodnu politiku.

Primjer je šarolika ilustracija kako neučinkovita upotreba metode indukcije pridonosi uništenju poduzeća.

Odbitak i indukcija u psihologiji

Budući da postoji metoda, onda, logično, postoji i pravilno organizirani razmišljanje (za korištenje metode). Psihologija kao znanost koja proučava mentalne procese, njihovo oblikovanje, razvoj, međusobne odnose, interakcije, obraća pozornost na "deduktivno" razmišljanje, kao jedan od oblika manifestacije odbitka i indukcije. Nažalost, na stranicama psihologije na internetu praktički nema dokaza integriteta deduktivno-induktivne metode. Iako se profesionalni psiholozi vjerojatnije susreću s indukcijom, ili bolje - pogrešnim zaključcima.

Primjer indukcije u psihologiji, kao ilustraciju pogrešne presude može poslužiti kao govoreći: moja majka - obmanjuje, dakle, sve žene - lažljivce. Još se više može naučiti iz "pogrešnih" primjera indukcije iz života:

• student nije sposoban ni za što ako je dobio matricu u matematici;
• on je budala;
• on je pametan;
• Mogu sve učiniti;

- i mnoge druge vrednovane prosudbe izvedene na apsolutno slučajnim i ponekad beznačajnim obećanjima.

Treba napomenuti da kada se pogreška ljudske prosudbe dolazi do apsurda, rad prednji dolazi terapeutu. Jedan od primjera indukcije na imenovanju specijalista:

"Pacijent je apsolutno siguran da crvena boja nosi za sobom samo opasnost u svim manifestacijama. Kao posljedica toga, osoba je isključila iz svog života ovu shemu boja - što je više moguće. U kućnom okruženju postoje mnoge mogućnosti za udoban život. Možeš napustiti sve objekte crvene boje ili ih zamijeniti analognim napravama u drugoj shemi boja. Ali na javnim mjestima, na poslu, u trgovini - to je nemoguće. Stjecanje stresa, pacijent svaki put iskusuje "plimu" potpuno različitih emocionalnih stanja, što može biti opasno za druge. "

Ovaj primjer indukcije, nesvjesno, zove se "fiksne ideje". U slučaju da se to dogodi mentalno zdrave osobe, može se govoriti o nedostatku organizacije aktivnosti misli. Elementarni razvoj deduktivnog razmišljanja može postati način da se riješite kompulzivnih stanja. U drugim slučajevima, psihijatri rade s takvim pacijentima.

Rezultirajući primjeri indukcije svjedoče da "neznanje zakona ne oslobađa od posljedica (pogrešne presude)".

Psiholozi, koji rade na temu deduktivnog razmišljanja, sastavili su popis preporuka osmišljenih kako bi pomogli ljudima da ovladaju tom metodom.

Prva stvar je rješavanje problema. Kako je moguće da bi taj oblik indukcije, koji se koristi u matematici, on se može smatrati „klasičnim” i koristite ovu metodu promovira „disciplinu” uma.

Slijedeći uvjet za razvoj deduktivnog zaključivanja je proširiti horizonte (koji očito misli, on jasno kaže). Ova preporuka ima za cilj da „boluje” u Skarbnitsya znanosti i informacijskih (knjižnica, web stranice, obrazovnim inicijativama, putovanja i tako dalje. D.).

Točnost je sljedeća preporuka. Uostalom, iz primjera korištenja metoda indukcije jasno je da je u mnogim aspektima jamstvo istinitosti izjava.

Nije poštedio i fleksibilnost uma, što podrazumijeva mogućnost korištenja različitih načina i pristupa rješavanju problema, kao i uzimajući u obzir varijabilnost događaja.

I, naravno, promatranje, što je glavni izvor akumulacije empirijsko iskustvo.

U odvojenoj mjeri treba spomenuti tzv. "Psihološku indukciju". Taj se termin, iako nerijetko, može naći na internetu. Svi izvori ne daju ni kratak formulaciju definicije tog pojma, ali se odnosi na „stvarnom životu primjera”, dajući novu vrstu indukcije prijedlog, neki oblici mentalnih bolesti, ekstremni stanje ljudske psihe. Iz svega toga jasno je da je pokušaj da se „novi pojam” pozivajući se na lažne (a često i neistinitim) slanje osuđuje experimenter za lažno (ili brzopleti) odobrenje.

Treba napomenuti da je odnos prema pokusima u 1960. (bez navođenja mjesto, imena eksperimente uzorku ispitanika i što je najvažnije - Cilj eksperimenta) izgleda, blago rečeno, neuvjerljivo, a tvrdnja da mozak percipira informacije bez prolazi kroz sve organe percepcije (izraz "Doživljavanje utjecaja" u ovom slučaju bi se uklopilo u više organski), razmišlja o vjerodostojnosti i nekritikalnosti autora izjave.

Umjesto zaključivanja

Kraljica znanosti - matematika, svjesno koristi sve moguće rezerve metode indukcije i odbitka. Razmatrani primjeri dopuštaju zaključiti da površna i nesposobna (bezumni, kao što kažu) primjena čak i najpreciznijih i pouzdanijih metoda vodi uvijek pogrešnim rezultatima.

U masovnoj svijesti, metoda odbitka povezana je s poznatim Sherlock Holmesom koji u svojim logičkim konstrukcijama češće koristi primjere indukcije, u nužnim situacijama pomoću odbitka.

U članku su ispitani primjeri primjene ovih metoda u različitim znanostima i sferama ljudske aktivnosti.