Russellov paradoks: pozadina, primjeri, tekst

Russellov paradoks predstavlja dvije međusobno ovisne logičke antinomije.

Dva oblika Russellovog paradoksa

Najčešće objašnjeni oblik je kontradikcija u logici skupova. Čini se da neki skupovi mogu biti članovi sebe, a drugi - ne. Skup svih setova sama je skup, stoga se čini da se odnosi na sebe. Zero ili prazno, međutim, ne bi smjeli biti članovi sebe. Stoga, skup svih skupova, poput nula, ne ulazi u sebe. Paradoks nastaje u pitanju je li skup sam član. To je moguće ako i samo ako to nije tako.

Drugi oblik paradoksa je kontradikcija u vezi s svojstvima. Čini se da neka svojstva pripadaju sebi, a neke ne. Imovina vlasništva sama po sebi je imovina, dok imovina mačke nije njezina imovina. Razmislite o vlasništvu vlasništvo imovine koja se ne odnosi na sebe. Je li primjenjivo na sebe? Opet, iz svake pretpostavke slijedi suprotno. Paradoks je dobio ime po Bertrand Russell (1872-1970), koji je otvorio 1901.

priča

Russellovo otkriće dogodilo se tijekom svog rada na "Načela matematike". Iako je sam otkrio paradoks, postoje dokazi da su drugi matematičari i razvijatelji teorije skupova, uključujući Ernst Zermelo i David Hilbert, znao je o prvoj verziji kontradikcije pred njim. Russell je, međutim, bio je prvi koji je objašnjeno u detalje paradoks u svojim objavljenim radovima, prvo je pokušao formulirati rješenja, a prvi u potpunosti cijeniti njen značaj. Cijeli poglavlje „Načela” bio je posvećen raspravi o tom pitanju, a program je posvećen teoriji vrsta, koja je Russell predložio kao rješenje.

Russell je otkrio "lažnjak paradoks", s obzirom na Cantorov teorem koji postavlja da je snaga bilo kojeg seta manja od skupova svojih podskupova. Barem u domeni treba postojati onoliko podskupova koliko u njemu postoje elementi, ako je za svaki element jedan podskup skup koji sadrži samo taj element. Osim toga, Cantor je dokazao da broj elemenata ne može biti jednak broju podskupova. Ako bi imali isti broj, onda bi trebala postojati funkcija ƒ koja bi mapirala elemente njihovim podskupovima. Istodobno se može dokazati da je to nemoguće. Neki se elementi mogu prikazati funkcijom ƒ na podskupovima koji ih sadrže, dok drugi ne mogu.

Razmislite o podskupu elemenata koji ne pripadaju njihovim slikama u koje su mapirani. To je samo podskup elemenata, pa stoga funkcija ƒ morala ga je mapirati nekom elementu domene. Problem je u tome što se postavlja pitanje da li ovaj element pripada podskupu na koji je mapiran. To je moguće samo ako ne pripada. Russellov paradoks može se smatrati primjerom iste linije razmišljanja, samo pojednostavljen. Koje su postavke ili podskupovi setova? Čini se da bi trebalo biti više skupova, budući da su svi podskupovi setova sami skupovi. Ali ako je Cantorov teorem istinit, onda mora postojati više podskupova. Russell smatra jednostavno prikazati seta na sebi i primjenjivati ​​kantoriansky pristup s obzirom na skup svih tih elemenata, izvan seta u kojem su prikazane. Karta Russell postaje skup svih setova koji ne ulaze u sebe.

Greška pogreške

"Paradoks lažljivca" imao je duboke posljedice za povijesni razvoj skupne teorije. Pokazao je da je koncept univerzalnog skupa izrazito problematičan. Također je postavio pitanje ideju da za svaku definiranu uvjet ili predikata može pretpostaviti postojanje mnoštva samo one stvari koje zadovoljavaju taj uvjet. Opcija paradoks u pogledu svojstava - prirodni nastavak na verziju setovima - izazvalo ozbiljnu sumnju da li je moguće raspravljati o objektivnom postojanju imovine ili univerzalni sukladnosti na svako određeno stanje, odnosno predikata.

Ubrzo su pronađene kontradikcije i problemi u radu logičara, filozofi i matematičari koji su dali slične pretpostavke. Godine 1902. Russell otkrili su da je varijanta paradoksa može izraziti u logičan sustav, razvijen u Volume I. Gottlob Frege je „Temelji aritmetike”, jedan od glavnih radova na logici krajem XIX - početkom XX stoljeća. U filozofiji Fregea, skup se shvaća kao "ekspanzija" ili "značenje" koncepta. Koncepti su najbliži korelaciji s svojstvima. Pretpostavlja se da postoje za svaku pojedinu državu ili predikat. Dakle, postoji pojam skupa koji ne spada u njegov definirani koncept. Postoji i klasa koja je definirana ovim konceptom i spada pod definicijski koncept samo ako nije.

Russell je pisao Fregeu o ovoj proturječnosti u lipnju 1902. godine. Korespondencija je postala jedna od najzanimljivijih i raspravljana u povijesti logike. Frege je odmah prepoznao katastrofalne posljedice paradoksa. Međutim, istaknuo je kako je verzija proturječnosti koja se odnosi na svojstva u svojoj filozofiji riješena razlikovanjem razine koncepata.

Koncept Fregea shvaćen je kao funkcija prijelaza od argumenata do vrijednosti istine. Koncepti prve razine prihvaćaju objekte kao argumente, koncepti druge razine uzimaju ove funkcije kao argumente i tako dalje. Dakle, koncept se nikada ne može uzeti kao argument, a paradoks o svojstvima ne može se formulirati. Unatoč tome, Frege je shvatio da su postavke, proširenja ili pojmovi pripadali istom logičkom tipu kao i svi ostali predmeti. Zatim za svaki skup postavlja se pitanje je li riječ o konceptu koji ga definira.

Kada je Frege primio Russellovo prvo pismo, drugi je volumen "Temelji aritmetičke" već završio. Bio je prisiljen brzo pripremiti aplikaciju koja bi odgovarala Russellovom paradoksu. Fregeovi primjeri sadržavali su niz mogućih rješenja. Ali je došao do zaključka da je oslabio pojam apstrakcije skupa u logičkom sustavu.

U izvorniku je bilo moguće zaključiti da objekt pripada skupu ako i samo ako padne pod koncept koji ga određuje. U revidiranom sustavu može se zaključiti samo da objekt pripada setu ako i samo ako spada u pojam definiranog skupa, a ne na taj skup. Russellov paradoks ne pojavljuje se.

Međutim, odluka nije zadovoljila Fregea. I to je bio razlog. Nekoliko godina kasnije, za revidirani sustav, pronađen je složeniji oblik kontradikcije. No, čak i prije nego što se to dogodilo, Frege napustio odluke i čini se da dolaze do zaključka da je njegov pristup bio jednostavno neupotrebljive, a to logika će morati učiniti bez ikakvih setovima.

Ipak, predložene su druga, relativno uspješnija alternativna rješenja. Njima se raspravlja u nastavku.

Vrsta teorije

Gore je spomenuto da je Frege imao odgovarajući odgovor na paradokse postaviti teoriju u inačici formuliranom za svojstva. Fregeov je odgovor prethodio najčešće riješenom rješenju ovog oblika paradoksa. Temelji se na činjenici da svojstva ulaze u različite tipove i da vrsta imovine nikada nije ista kao elementi na koje se odnosi.

Stoga se ne postavlja pitanje je li imovina primjenjiva na sebe. Logični jezik koji razdvaja elemente iz takve hijerarhije koristi teoriju tipa. Iako je Frege već koristio, Russell je u potpunosti objasnio i opravdavao u Dodatku načela. Teorija tipova bila je potpuna od razlike između razine Fregea. Odvojio je svojstva ne samo u različite logičke vrste, već i postavke. Teorija tipova riješila je kontradikciju u Russellovom paradoksu kako slijedi.

Da bi bila filozofski primjerena, prihvaćanje teorije tipa za svojstva zahtijeva razvoj teorije o prirodi svojstava na takav način da se može objasniti zašto se ne mogu primijeniti na sebe. Na prvi pogled, ima smisla predicirati vašu vlastitu imovinu. Imovina da je samo-identična, čini se, također je samo-identična. Imovina ugodnog izgleda ugodno. Slično tome, čini se da je lažno reći da je vlasništvo mačke mačka.

Ipak, razni mislioci opravdavali su podjelu vrsta na različite načine. Russell je čak dao različita objašnjenja u različitim vremenima njegove karijere. S njegove strane, dokaz Fregeove podjele različitih razina pojmova proizlazi iz njegove teorije nezasićenosti pojmova. Koncepti, kao funkcije, bitno su nepotpuni. Kako bi pružili vrijednost, trebaju argument. Ne možemo jednostavno predikirati jedan koncept konceptom istog tipa, jer još uvijek zahtijeva njezin argument. Na primjer, iako je moguće da se korijen kvadratni korijen broja, ne možete samo koristiti kvadratni korijen funkciju trga funkciju korijena i dobiti rezultat.

O konzervativizmu svojstava

Drugo moguće rješenje paradoksa svojstva jest negacija postojanja imovine u skladu s bilo kojim uvjetima ili dobro oblikovanim predikatom. Naravno, ako netko odbaci metafizička svojstva kao objektivne i neovisne elemente općenito, onda ako prihvatimo nominalizam, paradoks se može potpuno izbjeći.

Međutim, kako biste riješili antinomiju, ne morate biti tako ekstremni. Logika višega reda sustavi razvijeni Frege i Russell, sadrži ono što se naziva konceptualni načelo prema kojemu svaka otvorena formula bez obzira na to koliko je složen postoji kao dio imovine ili koncept na primjer, samo one stavke koje odgovaraju formulu. Primijenjeni su na atribute bilo kojeg mogućeg skupa uvjeta ili predikata, bez obzira koliko su bili složeni.

Ipak, bilo je moguće da se strože metafizike svojstva, dajući pravo na objektivno postojanje jednostavnih svojstava, uključujući, na primjer, kao što su crvene boje, čvrstoće, ljubaznost i tako dalje. D. Možete čak i neka ta svojstva vrijede za sebe, kao što su ljubaznost može biti ljubazan.

A isto stanje za složene atributa može biti odbijen, na primjer, kao „svojstva” kao vlasništvo sedamnaest glava, biti napisan u vodi i slično. D. U tom slučaju, ne predodređeno stanje ne zadovoljava svojstvo, shvatiti kao odvojeno Postojeći element koji ima svoje osobine. Tako se može poreći postojanje jednostavnih svojstava biti-imovine-da-ne-primjenjuje za sebe i izbjeći paradoks primjenom konzervativnije metafizičke svojstva.

Russellov paradoks: rješenje

Napomenuto je gore da je na kraju svoga života Frege potpuno napustio logiku setova. To je, naravno, jedno rješenje antinomije u obliku skupova: jednostavni poricanje postojanja takvih elemenata kao cjeline. Osim toga, tu su i druga popularna rješenja, čije su glavne pojedinosti prikazane u nastavku.

Teorija tipova za setove

Kao što je ranije spomenuto, Russell je zagovarao potpuniju teoriju tipova koja bi razdvojila ne samo svojstva ili pojmove u različite tipove, nego i postavke. Russell je podijelio setove u skupove pojedinačnih objekata, setova skupova pojedinih predmeta itd. Setovi se ne smatraju objektima, a skupovi setova bili su skupovi. Komplet nikad nije imao tip koji dopušta da sebi postane član. Stoga, ne postoji skup svih skupova koji nisu pravilni pojmovi, jer je za bilo kakvo postavljanje pitanje da li je član sam po sebi kršenje tipa. Opet, ovdje je problem razjasniti metafiziku skupova kako bismo objasnili filozofske osnove podjele na vrste.

stratifikacija

Godine 1937. VV Quine predložio je alternativno rješenje, na neki način slično teoriji tipova. Osnovne informacije o njemu su kako slijedi.

Razdvajanje elementom, skupovima i sl. Obavlja se na takav način da je pretpostavka pronalaženja skupa sama po sebi uvijek pogrešna ili beznačajna. Skupovi mogu postojati samo pod uvjetom da uvjeti koji ih definiraju nisu kršenje tipova. Dakle, za Quine, izraz "x nije član x" je važna tvrdnja, koja ne sugerira postojanje skupa svih elemenata x koji zadovoljavaju taj uvjet.

U tom sustavu skup postoji neko otvoreni formule A ako i samo ako je stratificirani, t, E. Ako su varijable su dodijeljeni prirodnih brojeva tako da za svaku karakteristiku pojavu više od prethodnih to varijable dodijeljen zadatak jedinica manji od varijabli, nakon njega. To blokira Russellov paradoks, jer formula koristi za određivanje set problema, tu je isti prije i poslije varijabla članstvo znak što ga unstratified.

Međutim, ostaje utvrditi da li je rezultirajući sustav, koji Quine naziva "Nova osnova matematičke logike", konzistentan.

odbacivanje

U Zermelo-Fraenkelovoj skupnoj teoriji (ZF) usvojen je sasvim drugačiji pristup. Ovdje se također uspostavlja ograničenje postojanja skupova. Umjesto toga, pristup „odozgo prema dolje” od Russella i Frege, koji je u početku mislio da je za sve koncepte, svojstva ili stanja može sugerirati postojanje skupa svih stvari s ovog objekta ili u susret takvo stanje, u ZF-teoriji, sve počinje „odozdo prema gore”.

Pojedini elementi i prazni set čine skup. Stoga, za razliku od ranijih sustava Russell i Frege, FT ne pripada univerzalnom setu, koji uključuje sve elemente, pa čak i sve setove. FT postavlja stroga ograničenja na postojanje skupova. Mogu postojati samo one za koje je izričito pretpostavljeno ili koje se mogu sastaviti pomoću iterativnih procesa i tako dalje.

Zatim, umjesto koncepta apstrakcije naivne set u kojem se navodi da je određeni element koji je uključen u set, ako i samo ako ispunjava uvjete u načelu razdvajanja koristi DF, odvajanje ili „sortiranje”. Umjesto pretpostavku postojanje skupa svih elemenata koji su bez iznimke zadovoljavaju određeni uvjet, za svaki postojeći set Aussonderung ukazuje na postojanje podskup svih elemenata u originalnom setu koji zadovoljava uvjet.

Tada dolazi apstrakcija princip: ako postoji skup A, onda, za sve x na A, x pripada podskupini A, koji zadovoljava uvjet ako i samo ako je x zadovoljava uvjet C. Ovaj pristup rješava paradoks Russell, jer ne možemo jednostavno pretpostaviti to je skup svih setova koji nisu članovi sebe.

Imajući set setova, možemo ga razlikovati ili podijeliti u skupove koji su sami, a oni koji nisu, ali budući da ne postoji univerzalni set, nismo povezani skupom svih skupova. Bez pretpostavke Russellovog problema, proturječnost se ne može dokazati.

Ostala rješenja

Osim toga, tu su naknadne proširenja ili izmjene ovih rješenja, kao što je teorija vilica tipa iz „principa matematike” izgradnje sustava „matematička logika” Quine, kao i novijih zbivanja u teoriji skupova, napravio Bernays, Gödel i von Neumann. Pitanje hoće li se odgovor na nerazumni paradoks Bertranda Russella naći još uvijek je pitanje rasprave.