Aksiomatska metoda: opis, faze formacije i primjeri

Aksiomatska metoda je metoda konstruiranja znanstvenih teorija koje su već uspostavljene. Temelj se temelji na argumentima, činjenicama, izjavama koje ne zahtijevaju dokaz ili opovrgavanje. Zapravo, ova verzija znanja predstavljena je u obliku deduktivne strukture koja u početku uključuje obrazloženje sadržaja temelja - aksioma.

Ova metoda ne može biti otvaranje, već samo klasifikacijski koncept. Pogodnije je za podučavanje. U srži postoje početne pretpostavke, a preostale informacije slijede kao logična posljedica. Gdje je aksiomatska metoda konstruiranja teorije? Leži u strukturi najsuvremenijih i utvrđenih znanosti.

Formiranje i razvoj koncepta aksiomatske metode, definicija riječi

Prije svega, ovaj koncept nastao je u staroj Grčkoj zahvaljujući Euklidu. Postao je utemeljitelj aksiomatske metode u geometriji. Danas je uobičajeno u svim znanostima, ali najčešće u matematici. Ova se metoda formira na temelju utvrđenih izjava, a sljedeće teorije izvedene su logičkom konstrukcijom.

To se objašnjava kako slijedi: postoje riječi i pojmovi koji su definirani drugim pojmovima. Kao rezultat toga, istraživači su došli do zaključka da postoje osnovni zaključci koji su opravdani i trajni - osnovni, tj. Aksiomi. Na primjer, kada dokazuju teorem, obično se oslanjaju na činjenice koje su već uspostavljene i ne zahtijevaju opovrgavanje.

Ali prije toga su morali biti opravdani. U tom se procesu ispostavlja da se neizravna izjava uzima kao aksiom. Na temelju skup konstanti, dokazuju drugi teoremi. Oni čine osnovu planimetrije i logičnu su strukturu geometrije. Utvrđeni aksiomi u ovoj znanosti definiraju se kao predmeti bilo koje prirode. Oni zauzvrat imaju svojstva koja su naznačena u stalnim konceptima.

Daljnja istraživanja aksioma

Metoda je bila idealna do devetnaestog stoljeća. Logička sredstva za traženje osnovnih pojmova nisu bila proučavana u tim vremenima, ali u Euklidskom sustavu može se promatrati struktura dobivanja značajnih posljedica iz aksiomatske metode. Istraživački znanstvenik je pokazao ideju kako dobiti kompletan sustav geometrijskog znanja na temelju čisto deduktivnog puta. Njima je ponuđen relativno mali broj odobrenih aksioma, koji su pravi vizualni.

Meritum starih grčkih misli

Euklid je pokazao mnoge koncepte, od kojih su neke opravdane. Međutim, većina ih pripisuje Pitagore, Demokrita i Hipokrata. Potonji je sastavio kompletan tijek geometrije. Međutim, kasnije je u Aleksandriji izašla zbirka "The Beginning", čiji je autor Euklid. Zatim je preimenovan u "Elementarnu geometriju". Nakon nekog vremena kritiziran je zbog nekih razloga:

• sve su vrijednosti izrađene samo uz pomoć vladara i kompasa;
• Geometrija i aritmetika bili su razdvojeni i dokazani uz dužno poštovanje razumnih brojeva i koncepata;
• aksiomi, od kojih su neki, osobito peti postulat, predloženi da budu izbrisani s općeg popisa.

Kao rezultat toga, neeuklidska geometrija nastaje u devetnaestom stoljeću, u kojem nema objektivno istiniti postulat. Ova akcija potaknula je daljnji razvoj geometrijskog sustava. Tako su matematički istraživači došli do deduktivnih metoda gradnje.

Razvoj matematičkih znanja utemeljenih na aksiomima

Kad se novi sustav geometrije počeo razvijati, aksiomatska se metoda također promijenila. U matematici su se počeli češće okrenuti čisto deduktivnoj konstrukciji teorije. Kao rezultat toga, u suvremenoj numeričkoj logici pojavila se čitav sustav dokaza, što je glavna grana čitave znanosti. Matematička struktura počela je razumjeti potrebu za opravdanjem.

Tako su do kraja stoljeća stvoreni jasni zadaci i konstrukcija složenih koncepata, koji su iz složenog teorema bili svedeni na najjednostavniju logičku tvrdnju. Stoga je neeuklidska geometrija potaknula čvrsti temelj za nastavak postojanja aksiomatske metode, kao i za rješavanje općih problema matematičkih konstrukcija:

• dosljednost;
• potpunost;
• neovisnost.

U procesu se pojavio i uspješno razvio metodu interpretacije. Ova metoda je opisana na sljedeći način: za svaki izlazni koncept, matematički je objekt stavljen u teoriju, čija se ukupnost naziva polje. Izjava o navedenim elementima može biti lažna ili istinita. Kao rezultat toga, tvrdnje su dane nazive, ovisno o zaključcima.

Pojedinosti teorije tumačenja

U pravilu, polje i svojstva također se ispituju u matematičkom sustavu, i to, pak, može postati aksiomatski. Tumačenje dokazuje izjave u kojima postoji relativna dosljednost. Dodatna mogućnost je broj činjenica u kojima teorija postaje proturječna.

U stvari, stanje se ispunjava u brojnim slučajevima. Kao rezultat, ispada da ako u izjavama jedne od tvrdnji postoje dva lažna ili istinska pojma, onda se smatra negativnim ili pozitivnim. Ovom metodom dokazana je dosljednost euklidske geometrije. Metodom tumačenja moguće je riješiti problem neovisnosti sustava aksioma. Ako je neophodno opovrgnuti teoriju, dovoljno je dokazati da jedan od pojmova nije izveden iz drugog i da je pogrešan.

Međutim, uz uspješne izjave, metoda ima neke slabosti. Dosljednost i neovisnost sustava aksioma se rješavaju kao pitanja koja primaju rezultate koji su relativni u prirodi. Jedino važno dostignuće tumačenja je otkriće uloge aritmetičke strukture u kojoj se pitanje konzistentnosti svodi na niz drugih znanosti.

Suvremeni razvoj aksiomatske matematike

Aksiomatska metoda počela se razvijati u radu Gilberta. U svojoj školi, sam pojam teorije i formalnog sustava bio je profinjen. Kao rezultat toga, nastao je zajednički sustav, a matematički objekti su postali precizni. Osim toga, postalo je moguće riješiti pitanja opravdanja. Dakle, formalni sustav konstruira se po točnoj klasi u kojoj se nalaze podsustavi formula i teorema.

Za izgradnju ove strukture trebate voditi samo tehnički objekti, jer nemaju semantičko opterećenje. Mogu biti upisani znakovima, simbolima. To je, zapravo, sam sustav izgrađen na takav način da se formalna teorija može primijeniti adekvatno i cjelovito.

Kao rezultat toga, određeni matematički cilj ili problem ulijeva se u teoriju na temelju stvarnog sadržaja ili deduktivnog obrazloženja. Jezik numeričke znanosti preveden je u formalni sustav, u tom procesu svaki konkretni i smislen izraz određen je formulom.

Metoda formalizacije

U prirodnom stanju stvari takva metoda može riješiti takva globalna pitanja kao dosljednost, a također graditi pozitivnu suštinu matematičkih teorija na izvedenim formulama. I u osnovi sve to će biti riješeno formalnim sustavom koji se temelji na dokazanim izjavama. Matematičke teorije su stalno komplicirane opravdanjima, a Gilbert je predložio istražiti ovu strukturu koristeći konačne metode. Ali ovaj program nije uspio. Gödelovi rezultati već u dvadesetom stoljeću doveli su do sljedećih zaključaka:

• prirodna konzistencija nije moguća zbog činjenice da formalizirana aritmetika ili druga slična znanost iz ovog sustava neće biti potpuna;
• postojale su nerješive formule;
• tvrdnje su nepobitne.

Prave prosudbe i razumnu finitu doradu smatraju se formaliziranima. Imajući to na umu, aksiomatska metoda ima jasne i jasne granice i mogućnosti unutar okvira ove teorije.

Rezultati razvoja aksioma u spisima matematičara

Unatoč činjenici da su neke odluke opovrgnute i nisu primile pravilan razvoj, metoda stalnih koncepata igra značajnu ulogu u formiranju temelja matematike. Osim toga, interpretacija i aksiomatska metoda u znanosti otkrila su temeljne rezultate konzistentnosti, neovisnosti izbornih izjava i hipoteza u teoriji množine.

U rješavanju problema dosljednosti glavna je stvar primijeniti ne samo uspostavljene pojmove. Također ih treba dopuniti idejama, konceptima i sredstvima konačnog dovršetka. U ovom slučaju razmatraju se različiti pogledi, metode, teorije, koje bi trebale uzeti u obzir logičko značenje i obrazloženje.

Konzistentnost formalnog sustava ukazuje na sličnu aritmetiku, koja se temelji na indukciji, broju, transfinitnom broju. U znanstvenom polju, aksiomatizacija je najvažniji alat, s neodgovornim konceptima i izjavama koje se uzimaju kao osnova.

Bit početnih izjava i njihove uloge u teorijama

Procjena aksiomatske metode pokazuje da u svojoj biti leži određena struktura. Ovaj sustav je izgrađen s identifikacijom temeljnog koncepta i temeljnih izjava koje se ne mogu otkriti. Isto se događa s teoremima koji se smatraju inicijalnim i usvojeni bez dokaza. U prirodnim znanostima za takve izjave su pravila, pretpostavke, zakoni.

Zatim slijedi proces utvrđivanja utvrđenih osnova za zaključivanje. U pravilu je odmah naznačeno da se drugi izlazi iz jednog položaja, dok se ostatak izlaže u procesu koji se, u suštini, podudara s deduktivnom metodom.

Značajke sustava u modernim vremenima

Kao dio aksiomatskog sustava su:

• logični zaključci;
• pojmovi i definicije;
• djelomično netočne izjave i koncepti.

U modernoj znanosti ova je metoda izgubila apstraktnost. U Euklidovoj geometrijskoj aksiomatizaciji intuitivni i istinski položaji bili su u središtu. Teorija je interpretirana na jedinstven i prirodan način. Danas je aksiom položaj koji je sam po sebi očigledan, ali sporazum, bilo koji, može djelovati kao početni koncept koji ne zahtijeva opravdanje. Kao rezultat toga, izvorne vrijednosti mogu biti daleko od jasnog. Ova metoda zahtijeva kreativni pristup, poznavanje odnosa i izvornu teoriju.

Osnovni principi zaključivanja zaključaka

Deduktivni metod aksiomatski - to je znanstvena spoznaja, u izgradnji u određenom obrascu, koji se temelji na dobro informirane hipoteze da sadašnje izjave o empirijskim činjenicama. Ovaj zaključak temelji se na logičkim strukturama, putem teškog uklanjanja. Aksiomi su u početku nepobitne tvrdnje koje ne zahtijevaju dokaz.

Na odbitku početnih pojmova primjenjuju se određeni zahtjevi: dosljednost, potpunost, neovisnost. Kao što pokazuje praksa, prvi uvjet temelji se na formalno-logičkom znanju. To jest, u teoriji, ne smije postojati nikakva istina i neistina, jer više neće imati nikakvog značenja ili vrijednosti.

Ako se takvo stanje ne promatra, onda se smatra nespojivo i u njemu se izgubi bilo koji smisao, jer se semantičko opterećenje između istine i laži gubi. Odvodno, aksiomatska metoda je metoda konstruiranja i dokazivanja znanstvenih spoznaja.

Praktična primjena metode

Aksiomatska metoda konstruiranja znanstvenog znanja ima praktičnu primjenu. Zapravo, ova metoda utječe i pokazuje globalno značenje na matematici, iako je to znanje već dostiglo svoj vrhunac. Primjeri aksiomatske metode su sljedeći:

• affine zrakoplovi imaju tri izjave i definiciju;
• teorija ekvivalencije ima tri dokaza;
• Binarni odnosi podijeljeni su na sustav definicija, koncepata i dodatnih vježbi.

Ako je potrebno formulirati inicijalnu vrijednost, onda je neophodno upoznati prirodu skupova i elemenata. Zapravo, aksiomatska metoda bila je osnova za razna područja znanosti.