Što je kvadrat? Kako pronaći vertices, sekciju, ravninu, jednadžbu, volumen, bazu i kut trga?

Odgovori na pitanje o tome što je trg može biti puno. Sve ovisi o tome kome ste se obratili ovom pitanju. Glazbenik će reći da je trg 4, 8, 16, 32 barova ili jazz improvizacija. Dijete je igra s kuglicom ili dječjim časopisom. Pisač će vas poslati da proučite kugle fontova, a tehničar - razne profile valjanja metalnog materijala.

Mnoga druga značenja ove riječi, ali danas ćemo postaviti pitanje matematici. Dakle ...

Postupno ćemo se nositi s ovom likom, od jednostavnih do složenih, i započeti s poviješću trga. Kako je došlo, kako su to ljudi shvatili, znanstvenici različitih zemalja i civilizacija?

Povijest proučavanja trga

Drevni svijet percipira trg, uglavnom kao četiri strane svijeta. Općenito, unatoč mnogim četverokutama, to je trg koji ima glavni broj - četiri. Za asirce i peruane, trg je cijeli svijet, tj. Predstavlja četiri glavna pravca, smjer svijeta.

Čak je i svemir bio zastupljen kao trg, također podijeljen na četiri dijela - to je vizija stanovnika Sjeverne Amerike. Za Kelte, svemir je čak tri kvadrata ugniježđena jedna u drugu, a četiri (!) Rijeke teče iz središta. Egipćani su općenito obožavali ovu figuru!

Po prvi put, kvadrat je opisan pomoću matematičkih formula Grka. Ali za njih ovaj poligon imao je samo negativne karakteristike. Pitagore obično nije volio ni brojeve, gledajući u njima slabost i ženstvenost.

Čak iu religijama postoji trg. U Islamu, Kaaba - pupak na Zemlji - nema neku sferičnu, već kubičnu formu.

U Indiji je glavni graphe koji prikazuje Zemlju, ili simbol zemlje, prekriženi trg. Opet, govorimo o četiri strane svijeta, četiri regije zemlje.

U Kini je trg mir, sklad i red. Kaos je porazio izgradnjom trga Vary. I kvadrat upisan u krug temelj je vizije svijeta, simbolizirajući jedinstvo i vezu Kozmosa i Zemlje.

Paganska Rusija - Svarog trg. Taj se simbol naziva Zvijezda Svarog ili Zvijezda Rusije. To je prilično složeno, jer se sastoji od presječenih i zatvorenih crta. Svarog - Bog kovač, najvažniji kreator, kreator i sam nebo u predstavljanju Rusicha. U ovom simbolu postoji romb, koji opet govori o Zemlji i njegovim četirima smjerovima. I zvijezda s četiri zrake - 4 strane svijeta, 4 lica Svarog - njegovo sveznanje. I sjecište zraka je fokus.

Zanimljivo je oko trga

Najpopularniji izraz koji dolazi u obzir naš glavni lik je "Crni trg".

Slikarstvo Malevich je još uvijek vrlo popularan. Sam autor nakon njegove kreacije bio je dugo mučen zbog pitanja o tome što je, i zašto jednostavni crni kvadrat na bijeloj pozadini privlači pažnju na sebe.

Ali ako pomno pogledate, primijetit ćete da ravnina trga nije glatka, au pukotinama crne boje postoji mnogo višebojnih nijansi. Očigledno, u početku je postojao određeni sastav koji autor nije volio, a on ga je zatvorio s našim očima. Crni kvadrat poput ničega - crna rupa, samo čarobni kvadratni oblik. I praznina, kao što znate, privlači ...

Ipak, vrlo popularni su "čarobni kvadratići". Zapravo, ovo je stol, naravno, kvadrat, ispunjen brojevima u svakom stupcu. Zbroj tih brojeva je isti u svim redcima, stupcima i dijagonalama (zasebno). Ako su dijagonale isključene iz ravnopravnosti, kvadrat je polu-magičan.

Albrecht Durer 1514. godine stvorio je sliku "Melankolije I", koji je prikazivao magični trg 4x4. U njemu zbroj brojeva svih stupaca, redaka, dijagonala i čak unutarnjih kvadrata je trideset četiri.

Na temelju tih tablica pojavio se vrlo zanimljive i popularne zagonetke - "Sudoku".

Egipćani su prvi koji vode linije međusobnog povezivanja brojeva (datum rođenja) i kvalitete lika, sposobnosti i talenata osobe. Pitagora je to preuzeo, promijenio ga nekoliko puta i stavio ga ravno. Ispalo je Trgu Pitagore.

To je već odvojeni smjer numerologije. Od datuma rođenja osobe, dodatkom, izračunavaju se četiri temeljna broja, koji se smještaju u psihoterapiju (kvadrat). Stoga postavite sve tajne podatke o vašoj energiji, zdravlju, talentu, sreći, temperamentu i drugim stvarima na policama. U prosjeku, prema anketi, pouzdanost iznosi 60% -80%.

Što je kvadrat?

Kvadrat je geometrijska figura. Oblik trga je četverokutnik koji ima jednaku stranu i kutove. Preciznije, ovaj četverokut se naziva ispravnim.

Trg ima svoje znakove. To su:

• strane jednake duljine;
• Jednaki kutovi su ravni (90 stupnjeva).

Zbog tih značajki i mogućnosti, krug se može upisati na kvadrat i opisati oko njega. Kružni krug dodiruje sve svoje vrhove, upisan - sredinu svih njegovih strana. Njihov centar će se podudarati s središtem trga i podijeliti sve njegove dijagonale na pola. Potonji, zauzvrat, su međusobno jednaki i podijele uglove trga na jednakim dijelovima.

Jedna dijagonala dijeli kvadrat u dva isosceles trokut, oboje - četiri.

Dakle, ako je duljina stranice kvadrata t, polumjer kružnog kruga je R, a ispisana dužina je r, a zatim

• područje podnožja trga ili područje kvadrata (S) bit će S = t²= 2R²= 4r²;
• obrub kvadrata P trebao bi biti izračunat formulom P = 4t = 4radic-2R = 8r;
• duljina polumjera opsega kružnice R = (radic-2/2) t;
• upisano - r = t / 2.

Područje baze trga i dalje može biti izračunato, znajući njegovu stranu (a) ili duljinu dijagonale (c), formula će izgledati ovako: S = a² iS = 1 / 2c².

Što je trg, saznali smo. Uzmimo bliže pojedinosti, jer je kvadrat lik najsličnija četverostrana. Ima pet osi simetrije, jedan (četvrti red) prolazi kroz središte i okomita je na ravninu samog trga, a ostala četiri su simetrične osi drugog reda, od kojih su dvije paralelne sa stranama, a dvije prolaze kroz dijagonale kvadrata.

Načini izgradnje trga

Na temelju definicija, čini se da ništa nije lakše nego izgraditi pravi trg. To je istina, ali pod uvjetom da imate sve mjerne instrumente. A ako nešto nije dostupno?

Pogledajmo postojeće načine koji će nam pomoći izgraditi ovu figuru.

Mjerenje ravnala i gon su glavni alati s kojima se trg može jednostavno konstruirati.

Prvo, označite točku, recimo A, iz njega ćemo izgraditi bazu trga.

Pomoću ravnala postavite udaljenost jednaku duljini bočne strane od njega udesno, recimo 30 mm, i postavite točku B.

Sada s obje točke, pomoću kvadrata, izrađujte okomice od po 30 mm. Na krajevima okomitih stavljamo točke B i D, koje povezujemo jedni s drugima, pomoću ravnala - sve, trg ABHG sa strane od 30 mm je spreman!

Uz pravokutnik i kutnik također je vrlo lako izgraditi trg. Započnite, kao u prethodnom slučaju, iz točke, recite H, od nje odgodite vodoravni segment, na primjer 50 mm. Postavite točku O.

Sada spojite središte kutnjaka na točku H, označite vrijednost kuta 90⁰, preko njega i točka H konstruira vertikalni segment od 50 mm, na svom kraju stavlja točku P. Na taj način, na sličan način, konstruira treći segment od točke O do kuta 90⁰, jednako 50 mm, pustite da završi s točkom P. Povežite točke P i P. Imate kvadrat NORP-a s duljinom stranice od 50 mm.

Možete izgraditi trg pomoću samo kompasa i vladara. Ako je veličina kvadrata važna za vas, a duljina stranice poznata, trebat će vam i kalkulator.

Dakle, stavite prvu točku E - to će biti od vrhova trga. Zatim navedite mjesto na kojem se nalazi suprotni vrh G, tj. Zadržite dijagonale Ježa vaše figure. Ako gradite kvadrat veličine, a zatim s dužom stranom, izračunajte duljinu dijagonale prema formuli:

d = radic-2 * a, gdje a je duljina stranice.

Nakon što naučite duljinu dijagonale, nacrtajte dio EH ove vrijednosti. Iz točke E nacrtajte polukrug uz pomoć kompasa u smjeru točke Ж. Nasuprot tome, od točke - polukrug je u pravcu točke Ε s radijusom Ε Ε. Kroz točke raskrižja tih polukruga, pomoću ravnala, konstruirajte segment ZI. HZ i ZI presijecaju pod pravim kutom i dijele se na budućem trgu. Spajanjem točaka EI, IZH, LZ i ZE pomoću ravnala dobivate upisani kvadrat EIZHZ.

Druga mogućnost je izgraditi trg pomoću jednog vladara. Što je kvadrat? Ovo je dio zrakoplova omeđen presječenim segmentima (linije, zrake). Slijedom toga možemo izgraditi kvadrat u odnosu na koordinate svojih vrhova. Prvo, nacrtajte koordinate osi. Strani trga može ležati na njima, ili sjecište dijagonala centru podudara s ishodištem - to ovisi o vašoj želji ili problema uvjetima. Možda će vaš lik biti razmaknut od sjekira na nekoj udaljenosti. U svakom slučaju, prvo označite dvije točke numeričkim vrijednostima (proizvoljno ili uvjetno), tada ćete znati duljinu stranice trga. Sada možemo izračunati koordinate preostalih dvaju vrhova, sjetivši se da su stranice kvadrata jednake i paralelne jedna s drugom. Posljednji korak je povezivanje svih točaka u nizu jedni s drugima pomoću vladara.

Koji su trgovi?

Trg je dobro definirana figura i kruto je omeđena definicijama, pa se vrste kvadrata ne razlikuju po različitosti.

U neeuklidskoj geometriji, trg se percipira šire - to je četverokut s jednakim stranama i kutovima, ali stupanj kutova nije dan. To znači da kutovi mogu biti 120 stupnjeva ("konveksni" kvadrat) i, na primjer, 72 stupnja ("konkavni" kvadrat).

Ako pitate koji je kvadrat, s geometrom ili računalnom znanost, reći će vam da je to potpuni ili planarni grafikon (grafikoni s K₁ K₄). A ovo je apsolutno točno. Grafikon ima vrhove i rubove. Kada dođu u naručeni par, nastaje grafikon. Broj vrhova je red grafikona, broj rubova je njegova veličina. Dakle, kvadrat je planarni grafikon s četiri vrška i šest rubova, ili K₄: 6.

S druge strane trga

Jedan od glavnih uvjeta za postojanje kvadrata - prisutnost jednakih strana duž duljine - čini stranu vrlo važnu za različite izračune. Ali, istodobno, daje mnogo načina da se duljina stranice kvadrata izračunava u prisutnosti vrlo različitih početnih podataka.

Dakle, kako pronaći vrijednost stranice trga?

• Ako znate samo duljinu dijagonale kvadrata d, tada možete izračunati stranu prema sljedećoj formuli: a = d / radic-2.
• Promjer upisanog kruga jednak je bočnoj strani trga i, prema tome, na dva polumjera, to jest: a = D = 2R.
• Polumjer ograničenog kruga također može pomoći u izračunavanju što je strana trga jednaka. Možemo polumjera R saznati promjer D, koji se, pak, jednak dijagonale kvadrata d i formulu strane kvadrata kroz dijagonalu znamo: a = D / Radić-2 = D / Radić-2-2R / Radic 2 ,
• Iz ravnopravnosti strana može se poznavati strana trga (a) s njegovim perimetrom P ili područjem S: a = radic-S = P / 4.
• Ako znamo duljinu linije koja ide od ugla trga i prelazi u sredini bočnih strana C, mi također moći saznati što je duljina strani trga: a = 2C / Radić-5.

Toliko je načina da shvatimo takav važan parametar kao duljina stranice trga.

Svezak kvadrata

Sam je izraz apsurd. Što je kvadrat? To je ravna figura s samo dva parametra - duljina i širina. I volumen? Ovo je kvantitativna karakteristika prostora koji objekt zauzima, tj. Može se izračunati samo za trodimenzionalna tijela.

Trodimenzionalno tijelo, sa svim njegovim lica kvadrata, je kocka. Unatoč golemoj i temeljnoj razlici, školska djeca prilično često pokušavaju izračunati volumen kvadrata. Ako netko uspije, Nobelovu nagradu je zajamčena.

I kako bi saznali volumen kocke V, dovoljno je pomnožiti sva tri njegova ruba - a, b, c: V = a * b * c. A budući da su po definiciji jednake, formula može izgledati drugačije: V = a³.

Vrijednosti, dijelovi i karakteristike

Kvadrat, kao i svaki poligon, ima vrhove - to su točke na kojima se njezine stranice presijecaju. Vrhovi kvadrata leže na kružnici oko njega. Dijagonalni prolaz kroz vrh do središta kvadrata, koji je također bisectrix i polumjer ograničenog kruga.

Budući da je kvadrat ravni lik, nemoguće je izrezati i konstruirati presjek trga. Ali to može biti rezultat sjecišta mnogih volumenskih tijela ravninom. Na primjer, cilindar. Aksijalni dio cilindra je pravokutnik ili kvadrat. Čak i ako prijeđete tijelo s avionom pod arbitrarnim kutom, možete dobiti kvadrat!

No, trg ima još jedan odnos prema odjeljku, a ne na bilo koji, ali u Zlatni odjel.

Svi znamo da je Zlatni omjer udio u kojem se jedna vrijednost odnosi na drugu, kao i njihov iznos do veće vrijednosti. U općenitim postotnim terminima izgleda ovako: izvorna vrijednost (iznos) podijeljena je s 62 i 38 posto.

Zlatni dio je vrlo popularan. Koristi se u dizajnu, arhitekturi i bilo gdje, čak iu gospodarstvu. Ali to uopće nije jedini razlog za koji piše Pitagora. Postoji, na primjer, još jedan izraz "radic-2". Na temelju njih izrađuju se dinamični pravokutnici, koji su zauzvrat osnivači formata A (A6, A5, A4 itd.). Zašto je došlo do dinamičkih pravokutnika? Jer njihova izgradnja počinje s kvadratom.

Da, prvo morate izgraditi trg. Njegova će strana biti jednaka manjoj strani budućeg pravokutnika. Zatim je potrebno nacrtati dijagonale ovog kvadrata i, koristeći kompas, dužina ove dijagonale treba odgoditi na produžetku stranice trga. Iz točke dobivene na raskrižju, izgradimo pravokutnik, u kojem ćemo ponovno izgraditi dijagonale i odgoditi njegovu duljinu na produžetku strane. Ako nastavite koristiti ovu shemu, dobit ćete one iste dinamičke pravokutnike.

Omjer dugačke strane prvog pravokutnika na kratak će biti 0,7. To je gotovo 0,68 u Zlatnom odjeljku.

Kutovi trga

Zapravo, nešto što je svježe reći o uglovima već je teško. Sva svojstva, one su atribute kvadrata, koje smo naveli. Što se tiče kutova, ima ih četiri (kao u svakom kvadrantu), svaki kut na trgu je ravna crta, tj. Ima dimenziju od devedeset stupnjeva. Prema definiciji, postoji samo pravokutni kvadrat. Ako su kutovi većih ili manjih veličina već neki drugi lik.

Dijagonalni dijelovi trga podijele su kutove na pola, tj. Oni su bisectors.

Jednadžba kvadrata

Ako je potrebno, za izračunavanje vrijednosti različitih vrijednosti kvadrata (područje, perimetar, duljina bočne strane ili dijagonalni) koristite različite jednadžbe izvedene iz svojstava kvadrata, osnovnih zakona i pravila geometrije.

1. Kvadratna jednadžba kvadrata

Iz jednadžbi za izračunavanje područja kvadrilaterala znamo da je (površina) jednaka proizvodu duljine i širine. Budući da su strane kvadrata iste duljine, njezino područje će biti jednako duljini bilo koje strane podignute u drugom stupnju

S = a².

Korištenjem Pitagoranskog teorema, možemo izračunati površinu kvadrata, znajući duljinu njegove dijagonale.

S = d²/ 2.

2. Jednadžba perimetra kvadrata

Obod kvadrata, poput svih četverokuta, jednak je zbroju duljina njezinih strana, i budući da su svi isti, onda možemo reći da obod kvadrata jednaka je duljini stranice pomnožena s četiri

P = a + a + a + a = 4a.

Opet, Pitagoranski teorem će nam pomoći da pronađemo perimetar kroz dijagonalu. Potrebno je umnožiti duljinu dijagonale dvama korijenima od dva

P = 2radic-2d

3. Jednadžba dijagonale kvadrata

Dijagonalni dijelovi trga su jednaki, presijecaju se pod pravim kutom i podijeljeni su s točkom raskršća na pola.

Možete ih pronaći na temelju gore navedenih jednadžbi područja i perimetra kvadrata

d = radic-2 * a, d = radikali-2S, d = P / 2 -radic-2

Postoje i načini da saznate koliko je duljina dijagonale kvadrata. Polumjer upisanog kruga je polovica dijagonale, stoga

d = radic-2D = 2radic-2R, gdje D je promjer, a R je polumjer upisane kružnice.

Poznavajući polumjer ograničenog kruga, još je lakše izračunati dijagonale, jer je promjer, to jest, d = D = 2R.

Također je moguće izračunati duljinu dijagonale, znajući duljinu linije koja se pojavljuje od ugla do središta bočne strane trga C: d = radic-8/5 * C.

Ali nemojte zaboraviti da je kvadrat dio dionice zrakoplova omeđenog s četiri presječene crte.

Za linije (i njihove oblike), postoje dovoljno jednadžbi koje ne trebaju dodatni opis, ali linija je beskonačna. Poligoni su omeđeni presjekom linija. Za njih možete koristiti linearne jednadžbe, Kombinirano u sustavu koji definira ravne linije. No, potrebno je odrediti dodatne parametre i uvjete.

Međutim, za definiranje poligona potrebno je sastaviti jednadžbu koja ne bi opisala liniju, već zasebni proizvoljni segment bez intervencije dodatnih uvjeta i opisa.

[x / x_ja ] * [x_ja/ x] * y_ja - ovo je posebna jednadžba za poligone.

Kvadratna zagrada u njoj označava uvjet za isključivanje frakcijskog dijela broja, tj. Moramo ostaviti samo cijeli broj. y_ja - funkcija koja se izvodi u rasponu parametara od x do x_ja.

Pomoću ove jednadžbe možemo izvući nove jednadžbe za izračun segmenata i redaka koji se sastoje od nekoliko segmenata. To je osnovno, univerzalno za poligone.

Sjeti se da je kvadrat - to je dio ravnine, tako da je njegova opis tipa y = f (x) može se prikazati, najčešće samo kao multi-vrijednosti funkcije, koji se, pak, može se očitovati na nedvosmislen ako ih predstaviti parametarski, koja je ovisna o bilo kojeg parametra t:

x = f (t), y = f (t).

Dakle, ako u skupini koristimo univerzalnu jednadžbu i parametarski prikaz, onda je stvarno moguće izvući jednadžbu za izraz poligona:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * Cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * Grijeh (L),

gdje

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P] - A2 = [2 / [T / P]] * [[T / P] / 2] - A3 = [3 / [T / P] [T / P] / 3] - A4 = [4 / [T / P]] * [[T / P] / 4] - A5 = TP * [T / P]

gdje je P dijagonalna pravokutnika, L je kut nagiba prema horizontalnoj dijagonalnoj P, T je parametar koji varira od P do 5P.

Ako je L = 3,14 / 4, tada će jednadžba opisati kvadrate različitih vrijednosti, ovisno o veličini dijagonalne P.

Primjena kvadrata

U suvremenom svijetu, tehnologija vam omogućuje da različitim materijalima dajete kvadratni oblik, točnije kvadratni dio.

To je mnogo isplativije, jeftinije, izdržljivije i sigurnije. Dakle, sad radim četvrtastih cijevi, pilote, žice (žice), pa čak i četvrtaste niti.

Glavne su prednosti očite, dolaze iz elementarne geometrije. S istom količinom upisane kružnice kvadratnom prostoru manjem od područja u kojem je ušao, a time i protok ili potrošnju energije od četverokutne cijevi kvadrata žice da će biti veći nego da od analoga okruglih.

Često materijali četvrtog dijela su više estetski i praktičniji u uporabi, montaži i pričvršćivanju.

Prilikom odabira ovih materijala važno je točno izračunati poprečni presjek kvadrata tako da žica ili cijev izdrže potrebni teret. U svakom pojedinom slučaju, naravno, takvi parametri kao što su struja ili tlak, ali bez osnovnih geometrijskih pravila kvadrata neće biti potrebni. Iako veličine kvadratnih dijelova nisu toliko izračunate, koliko ih je odabrano iz zadanih parametara iz tablica koje je postavio GOST za različite industrije.