Problemi oko područja trga i još mnogo toga

Takav nevjerojatan i poznati trg. Simetrično je oko njegovog središta i sjekira koji su nacrtani duž dijagonala i kroz središta bočnih strana. I traženje područja trga ili njegovog volumena ne predstavlja mnogo poteškoća. Pogotovo ako je poznata duljina njegove strane.

Nekoliko riječi o liku i njegovim svojstvima

Prva dva svojstva odnose se na definiciju. Sve strane lika su međusobno jednake. Uostalom, kvadrat je pravi četverokut. I nužno je da su sve strane jednake, a kutovi imaju istu vrijednost, odnosno - 90 stupnjeva. Ovo je drugo svojstvo.

Treći se odnosi na duljinu dijagonala. Oni su također jednaki jedni drugima. I presijecaju se pod pravim kutovima i na srednjim točkama.

Formula u kojoj se koristi samo duljina bočne strane

Prvo o oznakama. Za duljinu bočne strane, uobičajeno je odabrati slovo "a". Tad kvadrat trga izračunava se sljedećom formulom: S = a².

Lako se dobiva iz onog poznatog za pravokutnik. U njemu se duljina i širina množe. Za kvadrat, ova dva elementa su jednaka. Stoga se kvadrat ove količine pojavljuje u formuli.

Formula u kojoj se pojavljuje duljina dijagonale

To je hipoteza u trokutu, čije su noge strane lika. Stoga možemo koristiti formulu Pitagoranskog teorema i izvući jednakost u kojoj se strana izražava kroz dijagonalu.

Izvođenje takvih jednostavnih transformacija, dobivamo da je trg kvadrata kroz dijagonale izračunat sljedećom formulom:

S = d² / 2. Ovdje slovo d označava dijagonalu kvadrata.

Formula oko perimetra

U takvoj situaciji potrebno je izraziti stranu preko perimetra i zamijeniti je u formuli područja. Od istoj strani na slici četiri, a obod će morati biti podijeljena 4. To će biti vrijednost za ruku, a zatim se mogu unijeti početni i računati područje trga.

Opća formula izgleda ovako: S = (P / 4)².

Zadaci nagodbe

1. Postoji trg. Zbroj dviju stranica je 12 cm. Izračunajte površinu trga i njegovog perimetra.

Rješenje. Budući da je zbroj dviju strana dana, morate znati duljinu jednog. Budući da su isti, poznati broj mora se jednostavno podijeliti na dva. To jest, strana ove figure iznosi 6 cm.

Tada se njezin perimetar i područje lako mogu izračunati iz gore navedenih formula. Prva je 24 cm, a druga 36 cm².

Odgovor.Obod trga je 24 cm, a površina je 36 cm².

2. Otkrijte područje kvadrata s obodom od 32 mm.

Rješenje. Dovoljno je zamijeniti perimetarsku vrijednost u gornju formulu. Iako najprije možete znati stranu trga, a zatim i njegovu površinu.

U oba slučaja postupci će se najprije podijeliti, a zatim potenciranje. Jednostavni izračuni vode do činjenice da je područje prikazanog trga 64 mm².

Odgovor. Potrebno područje je 64 mm².

Strana trga je 4 dm. Dimenzije pravokutnika: 2 i 6 dm. Koja od dvije figure ima više područja? Koliko?

Rješenje. Neka strana trga bude označena slovom a₁, zatim duljina i širina pravokutnika a₂ i u₂. Za određivanje područja kvadrata, vrijednost a₁ treba kvadrat, a pravokutnik pomnožen s a₂ i u₂ . Lako je.

Ispada da je kvadrat trga 16 dm², i pravokutnik - 12 dm². Očito je da je prvi lik veći od drugog. To je unatoč činjenici da su ravnopravni, tj. Oni imaju isti obod. Da biste provjerili, možete računati perimetre. Na trgu, stranu treba pomnožiti sa 4, ispada da je 16 dm. Na pravokutniku, preklopite strane i umnožite se s 2. Postoji isti broj.

U zadatku je još uvijek potrebno odgovoriti o tome koliko se područja razlikuju. Za to se manji broj oduzima od većeg broja. Razlika je 4 dm².

Odgovor. Područja su jednaka 16 dm² i 12 dm². Na trgu je više za 4 dm².

Problem dokaza

Stanje. Na nozi isosceles desni trokut izgradio je trg. Na njegovu hipotenuzu visina je izgrađena na kojoj je izgrađen drugi trg. Dokazati da je područje prve dvostruko veće od druge.

Rješenje. Uvodimo oznaku. Neka katet bude jednak a, i visina prema hipotenuzu, x. Područje prvog trga - S₁, drugi - S₂.

Kvadrat trga izgrađen na nozi je lako izračunati. Ispada da je jednaka a². S drugom vrijednošću, sve nije tako jednostavno.

Prvo morate znati duljinu hipotenuse. Da biste to učinili, bit će korisno formula Pitagorinog teorema. Jednostavne transformacije dovode do sljedećeg izraza: aradic-2.

Od visine u jednakostraničan trokut nacrtan na bazu, ujedno je i medijan i visina, ona dijeli veliki trokut na dva jednaka jednakokračnog pravokutnog trokuta. Stoga je visina polovica hipotenuse. To jest, x = (aradic-2) / 2. Stoga je lako pronaći područje S₂. Ispada da je jednaka a²/ 2.

Očigledno, zabilježene vrijednosti razlikuju se točno za dva faktora. A drugi je mnogo puta manji. Kao što je potrebno za dokazivanje.

Neobična zagonetka - tangram

Izrađen je s trga. Potrebno je rezati u različite oblike prema određenim pravilima. Ukupni broj komada mora biti 7.

Pravila pretpostavljaju da će se tijekom igre sve dobivene pojedinosti koristiti. Od ovih, morate napraviti druge geometrijske oblike. Na primjer, pravokutnik, trapezoid ili paralelogram.

No, to je još zanimljivije kada se siluete životinja ili predmeta dobivaju iz komada. I ispostavilo se da je područje svih izvedenih likova jednako onom na početnom kvadratu.