Što je fraktal? Fraktali u prirodi

Često briljantna otkrića, počinjena u znanosti, mogu drastično promijeniti naše živote. Na primjer, izum cjepiva može spasiti puno ljudi, a stvaranje novog oružja dovodi do ubojstva. Doslovno jučer (u mjerilu povijesti) osoba je "privodila" električnu energiju i danas ne može zamisliti svoj život bez njega. Međutim, tu su i takva otkrića koja, kako kažu, ostaju u sjeni i usprkos činjenici da imaju i neki utjecaj na naše živote. Jedno od takvih otkrića bilo je fraktal. Većina ljudi nije ni čula za ovaj koncept i neće moći objasniti njegovo značenje. U ovom članku ćemo pokušati razumjeti pitanje što je fraktal, razmotriti značenje ovog pojma iz položaja znanosti i prirode.

Red u kaosu

Da bismo razumjeli što je fraktal, treba započeti analizu leta sa položaja matematike, ali prije nego što egzaktne znanosti, mi smo pomalo filozofski. Svaka osoba ima prirodnu znatiželju kroz koju poznaje svijet oko sebe. Često u svojoj potrazi za znanjem pokušava raditi s logikom u svojim prosudbama. Dakle, analizirajući procese koji se događaju oko sebe, on pokušava izračunati odnose i izvesti određene zakonitosti. Najveći umovi planeta bave se rješavanjem tih problema. Uglavnom govoreći, naši znanstvenici traže obrasce u kojima ne postoje i ne bi trebali biti. Pa ipak, čak iu kaosu, postoji veza između tih ili onih događaja. Ovo je veza koja je fraktalna. Kao primjer, razmislite o slomljenoj grani koja leži na putu. Ako ga pomno pogledamo, vidjet ćemo da je to poput stabla sa svim granama i čvorovima. Ova sličnost zasebnog dijela s jednom cjelinom svjedoči o takozvanom principu rekurzivne samosličnosti. Fraktali u prirodi mogu se naći vrlo često, jer se mnogi anorganski i organski oblici formiraju slično. To su oblaci, morske školjke, školjke puževa i drvene krune, pa čak i krvožilni sustav. Popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ti slučajni oblici lako opisuju fraktalni algoritam. Ovdje smo došli da razmotrimo što je fraktal iz položaja egzaktnih znanosti.

Nekoliko sušnih činjenica

Već sama riječ "fraktal" na latinskom se prevodi kao "djelomična", "podijeljena", "fragmentirana", a što se tiče sadržaja tog pojma, nema formulacije kao takve. Obično se tretira kao samosličan skup, dio cjeline, koji se ponavlja po svojoj strukturi na mikro razini. Ovaj pojam izumio je sedamdesetih dvadesetog stoljeća Benoit Mandelbrot, kojeg je prepoznao njegov otac fraktalna geometrija. Danas, pojam fraktala podrazumijeva grafički prikaz strukture koja će, poput povećane veličine, biti slična samoj sebi. Međutim, matematička osnova za stvaranje ove teorije postavljena je i prije samog rođenja Mandelbrota, ali nije se mogla razviti sve dok se ne pojave elektronička računala.

Povijesna referenca, ili kako je sve počelo

Na prijelazu iz 19. i 20. stoljeća proučavanje prirode fraktala bilo je epizodno. To je zbog činjenice da matematičari preferiraju proučavanje predmeta koji se mogu proučavati na temelju općih teorija i metoda. 1872. godine njemački matematičar K. Weierstrass konstruirao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, ta je konstrukcija bila potpuno apstraktna i teško je opaziti. Tada je otišao švedski Helge von Koch, koji je 1904. izgradio kontinuiranu krivulju, koja nigdje nema tangente. Prilično je lako crtati, a kako se ispostavilo, karakterizira fraktalna svojstva. Jedna od varijanti ove krivulje imenovana je u čast svog autora - "Koch snježne pahuljice". Nadalje, ideja samozavršenosti likova razvila je budući instruktor B. Mandelbrota, francuskog Paul Levya. Godine 1938. objavio je članak "Ravne i prostorno krivulje i površine koje se sastoje od dijelova poput cjeline". U njemu je opisao novu vrstu - Levyjeva C-krivulja. Sve gore navedene brojke uvjetno su vezane za oblik, kao geometrijske fraktale.

Dinamički ili algebarski fraktali

Ovaj razred uključuje Mandelbrotov set. Prvi istraživači tog smjera bili su francuski matematičari Pierre Fatou i Gaston Julia. Godine 1918. Julia je objavila rad na temelju proučavanja iteracija racionalnih kompleksnih funkcija. Ovdje je opisao obitelj fraktala koji su usko povezani s Mandelbrotovim setom. Unatoč činjenici da je ovaj rad slavio autor među mathematicians, to je brzo zaboravljena. I samo pola stoljeća kasnije, zahvaljujući računalima, Julijin rad dobio je drugi život. Računala su dopustila da svima vidimo ljepotu i bogatstvo svijeta fraktala koji bi mogli "vidjeti" matematičare, prikazujući ih kroz funkcije. Mandelbrot je bio prvi koji je koristio računalo za izvođenje izračuna (takav se volumen ne može ručno obaviti), što je omogućilo izradu slike tih slika.

Čovjek s prostornom maštom

Mandelbrot je započeo svoju znanstvenu karijeru u IBM istraživačkom centru. Proučavajući mogućnosti prijenosa podataka na velike udaljenosti, znanstvenici su se suočili s činjenicom velikih gubitaka koji su nastali uslijed smetnji buke. Benoit je tražio načine kako riješiti ovaj problem. Gledajući rezultate mjerenja, skrenuo je pozornost na neobičan uzorak, naime: grafikoni buke izgledali su isti u različitim vremenskim mjerilima. Slična slika promatrana je tijekom jednog dana, i to sedam dana ili sat vremena. Benois Mandelbrot je često rekao da ne radi s formulama, već igra sa slikama. Ovaj se znanstvenik razlikovao od figurativnog razmišljanja, prevedio je bilo koji algebarski problem u geometrijsku domenu, gdje je točan odgovor jasan. Stoga ne čudi, da takva osoba, naznačen bogat prostorno razmišljanje, i postao je otac fraktalne geometrije. Uostalom, svijest o toj slici može doći tek kad proučavate crteže i razmisli o smislu tih čudnih pletiva koji čine obrazac. Fraktalni uzorci nemaju identične elemente, ali imaju sličnost u bilo kojem mjerilu.

Julia - Mandelbrot

Jedan od prvih crteža ove figure bio je grafičko tumačenje skupa, koji je nastao zahvaljujući djelima Gaston Julije i promijenio ga je Mandelbrot. Gaston je pokušao zamisliti kako izgleda komplet, izgrađen na temelju jednostavne formule, koja je izgubljena povratnim petljom. Pokušajmo objasniti ono što je rečeno ljudskom jeziku, tako da kažem, na prstima. Za određenu numeričku vrijednost, pomoću formule, nalazimo novu vrijednost. Zamjenjujemo ga u formulu i pronađemo sljedeće. Kao rezultat toga, veliki numerički slijed. Za predstavljanje takvog skupa, potrebno je izvršiti ovu operaciju ogromnim brojem puta: stotine, tisuće i milijun. To je ono što je Benoit učinio. Obradio je slijed i prenio rezultate u grafički obrazac. Zatim je naslikao rezultirajuću figuru (svaka boja odgovara određenom broju iteracija). Ova je grafička slika imenovana "Mandelbrot Fractal".

L. Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda

Teorija fraktala brzo je pronašla praktičnu primjenu. Budući da je vrlo usko povezan s vizualizacijom samonosivih slika, prvi su usvojiti načela i algoritme za izgradnju tih neobičnih oblika umjetnici. Prvi od njih bio je budući osnivač Pixar studija Lauren Carpenter. Radivši se na prezentaciji prototipova zrakoplova, pomislio mu je da koristi sliku planine kao pozadinu. Danas takav zadatak može nositi gotovo svaki korisnik računala, a sedamdesetih godina prošlog stoljeća, računala nisu u stanju provoditi takve procese, kao i slike urednici i aplikacije za trodimenzionalne grafike u to vrijeme bio još nisu. Tako je Loren uhvatio Mandelbrotovu knjigu "Fraktali: Oblik, nesreća i dimenzija". Benoit je u njemu davao mnoge primjere koji pokazuju da postoje fraktali u prirodi (fyva), opisao je njihov raznoliki oblik i tvrdio da se lako opisuju matematičkim izrazima. Matematičar je ovu analogiju navela kao argument za korisnost teorije koju je razvio kao odgovor na žestok kritika svojih kolega. Oni su tvrdili da je fraktal samo prekrasna slika koja nema vrijednost, što je nusprodukt rada elektroničkih strojeva. Carpenter je odlučio probati ovu metodu u praksi. Nakon pažljivog proučavanja knjige, budući animator počeo je tražiti način implementacije fraktalne geometrije u kompjutorskoj grafici. Trebalo mu je samo tri dana kako bi vizualizirala vrlo realističnu sliku planinskog krajolika na svom računalu. I danas je ovo načelo naširoko koristi. Kako se ispostavilo, stvaranje fraktala ne zahtjeva puno vremena i truda.

Carpenterovo rješenje

Princip koji je koristio Lauren bio je jednostavan. Sastoji se od dijeljenja većih geometrijski oblici na malim elementima i onima - na sličnoj manjoj veličini i tako dalje. Carpenter, koristeći velike trokuta, slomio ih je u 4 male, i tako dalje, sve dok nije dobio realan planinski krajolik. Tako je postao prvi umjetnik koji je primijenio fraktalni algoritam u kompjutorskoj grafici kako bi izgradio potrebnu sliku. Danas se ovo načelo koristi za simulaciju različitih realističnih prirodnih oblika.

Prva 3D vizualizacija na fraktalnom algoritmu

Nekoliko godina kasnije, Lauren je svoje djelo koristio u velikoj mjeri - animacijski isječak Vol Libre, prikazan na Siggraphu 1980. godine. Ovaj je videozapis šokirao mnoge, a autor je pozvan da radi u Lucasfilmu. Ovdje bi se animator mogao ostvariti u najvećoj mogućoj mjeri, stvorio je trodimenzionalne krajolike (cijeli planet) za igrani film "Star Trek". Svaka moderna programa ( „Fraktali”) ili aplikacija za stvaranje trodimenzionalne grafike (Terragen, Vue, Bryce) koristi svi isti algoritam za simuliranje tekstura i površina.

Tom Beddard

U prošlosti, laserski fizike, a sada digitalnog kavu i umjetnika, Beddard je stvorio niz vrlo zanimljivih geometrijskih oblika, koji se nazivaju fraktali Faberge. Izvana, oni izgledaju kao minijaturni jaja ruskog draguljara, oni su isti briljantni zamršen uzorak. Beddard je koristio metodu predloška kako bi stvorio vlastite digitalne vizualizacije modela. Primljeni proizvodi zadivljuju se ljepotom. Iako mnogi odbijaju usporedbu je proizvod ručne izrade s računalnog programa, ali treba priznati da je dobiveni oblik izuzetno lijepa. Istaknuto je da svaka zainteresirana osoba može graditi takav fraktal pomoću softvera WebGL softvera. To vam omogućuje da istražite različite fraktalne strukture u realnom vremenu.

Fraktali u prirodi

Malo ljudi obratite pažnju, ali ove nevjerojatne figure su prisutne posvuda. Priroda je stvorena iz samoznačenih figura, samo ga ne primjećuje. Dovoljno je pogledati kroz povećalo na našoj koži ili listu stabla i vidjet ćemo fraktale. Ili, primjerice, ananasa, pa čak i paunov rep - sastoje se od sličnih figura. Raznolika brokula brokula Romanescu općenito iznenađuje svoj izgled, jer se uistinu može nazvati čudom prirode.

Glazbena stanka

Ispada da fraktali nisu samo geometrijske figure, oni mogu biti zvukovi. Dakle, glazbenik Jonathan Colton piše glazbu pomoću fraktalnih algoritama. On tvrdi: da takvu melodiju odgovara prirodnom skladu. Skladatelj svi njegovi radovi objavljeni pod licencom CreativeCommons Imenovanje-Nekomercijalno-a koji zahtijeva slobodnu distribuciju, kopiranje, prijenos radova od strane drugih.

indikator fraktal

Ova tehnika je pronašla vrlo neočekivanu primjenu. Na svojoj osnovi, za stvaranje alat za analizu burzi, a kao rezultat toga, on je počeo da se primjenjuje na „Forex” tržištu. Sada svjetlo fraktal je na svim trading platforme i koristi u trgovanju tehnike, koja se naziva cijena proboj. Razvila je ovu tehniku ​​Bill Williams. Kao što je komentirao svoj izum autora, ovaj algoritam je kombinacija nekoliko „svijeće”, koja odražava središnju maksimum ili, naprotiv, minimalno krajnje točke.

U zaključku

Pa smo pogledali na kakav je fraktal. Ispada da u kaosu koji nas okružuje, zapravo, postoje idealni oblici. Priroda je najbolji arhitekt, idealan graditelj i inženjer. To je sasvim logično uređeno, a ako ne možemo pronaći zakon, to ne znači da ona ne postoji. Možda ga morate potražiti na drugoj razini. Sa sigurnošću možemo reći da fraktali drže puno tajni koje moramo otvoriti.