Matematički pendulum: razdoblje, ubrzanje i formule

Mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke (tijelo), koji visi na bestežinskom inextensible nit (njegova masa je zanemariva u odnosu na težinu tijela) u odori gravitacijskom polju, pod nazivom matematičkog njihala (drugi naziv - oscilator). Postoje i druge vrste ovog uređaja. Umjesto konca, može se koristiti bezbojna šipka. Matematički pendulum može vizualno otkriti suštinu mnogih zanimljivih fenomena. S malom amplitudom vibracija, njezino kretanje se zove harmonično.

Opće informacije o mehaničkom sustavu

Formula za razdoblje oscilacije ovog ingulanta izvodila je nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ovaj suvremenik I. Newtona bio je jako zainteresiran za ovaj mehanički sustav. Godine 1656. stvorio je prvi sat s mehanizmom klatna. Mjerili su vrijeme s točnom točnošću za ta vremena. Ovaj izum je postao važan korak u razvoju fizičkih pokusa i praktičnih aktivnosti.

Ako je njihalo u ravnotežnom položaju (viseće u visini), tada gravitacija bit će uravnotežen napetom konca. Ravna klizač na nerastavljivu nit je sustav s dva stupnja slobode s vezom. Kod mijenjanja samo jedne komponente, značajke svih njegovih dijelova mijenjaju se. Dakle, ako je nit zamijenjen šipkom, tada će ovaj mehanički sustav imati samo jedan stupanj slobode. Koje su svojstva matematičkog pendela? Kaos nastaje u ovom najjednostavnijem sustavu pod utjecajem periodičkog perturbacije. U slučaju kada se suspenzija ne pomiče, ali oscilira, na nosaču se javlja nova ravnotežna pozicija. Uz brzu fluktuaciju gore i dolje ovaj mehanički sustav stječe stabilnu poziciju "naopako". Također ima svoje ime. Zove se Kapitzaov pendulum.

Svojstva pendela

Matematički pendulum ima vrlo zanimljiva svojstva. Svi oni potvrđuju poznati fizički zakoni. Razdoblje oscilacije bilo kojeg drugog pendela ovisi o različitim okolnostima, kao što su veličina i oblik tijela, udaljenost između točke suspenzije i težišta te raspodjela mase u odnosu na određenu točku. Zato je određivanje razdoblja vješanja tijela prilično izazov. Mnogo je lakše izračunati razdoblje matematičkog pendela, čija će formula biti dani u nastavku. Kao rezultat promatranja takvih mehaničkih sustava, moguće je utvrditi takve pravilnosti:

• Ako, zadržavajući istu duljinu njihala, suspendiraju različita opterećenja, tada će njihovo osciliranje biti jednako, iako će njihove mase uvelike varirati. Zbog toga razdoblje takvog klatna ne ovisi o masi tereta.

• Ako odbacite nosač kod ne većih, ali različitih kutova prilikom pokretanja, on će oscilirati u istom razdoblju, ali u različitim amplitudama. Dok odstupanja od središta ravnoteže nisu prevelika, fluktuacije u njihovom obliku će biti prilično blizu harmonika. Razdoblje takvog klatna ne ovisi o vibracijskoj amplitudi. Ova svojstva ovog mehaničkog sustava nazivaju se izokroni (u prijevodu s grčkog "chronos" - vrijeme, "isos" - jednako).

Razdoblje matematičkog pendela

Ovaj pokazatelj je razdoblje prirodnih oscilacija. Unatoč kompliciranoj formulaciji, sam proces je vrlo jednostavan. Ako je duljina navoja matematičkog pendela L i ubrzanja gravitacije g, onda je ova vrijednost jednaka:

T = 2pi-radik-L / g

Razdoblje malih prirodnih oscilacija ne ovisi ni u kojoj mjeri o masi pendela i amplitudi oscilacija. U tom slučaju, pendulum se pomiče kao matematički pendulum s navedenom duljinom.

Fluktuacija matematičkog pendela

Matematički pendulum oscilira, što se može opisati jednostavnom diferencijalnom jednadžbom:

x + omega-2 sin x = 0,

gdje je x (t) nepoznata funkcija (to je kut odstupanja od najniže ravnotežne pozicije u vremenu t, izraženo u radijanima) omega- je pozitivna konstanta, koja se određuje iz parametara pendela (omega- = radic-g / L, gdje je g ubrzanje gravitacije, a L je duljina matematičkog pendela (suspenzija).

Jednadžba malih oscilacija blizu ravnotežnog položaja (harmonijska jednadžba) izgleda ovako:

x + omega-2 sin x = 0

Oscilirajuće gibanje pendela

Matematički pendulum, koji stvara male oscilacije, kreće se sinusoidom. Diferencijalna jednadžba drugog reda zadovoljava sve zahtjeve i parametre takvog gibanja. Da biste odredili putanju, morate odrediti brzinu i koordinatu, od kojih se zatim određuju neovisne konstante:

x = grijeh (theta-₀ + omega-t),

gdje theta₀ - početna faza, A - vibracijska amplituda, Omega- je ciklička frekvencija određena iz jednadžbe gibanja.

Matematički pendulum (formule za velike amplitude)

Ovaj mehanički sustav, koji oscilira sa značajnom amplitudom, poštuje složenije zakone kretanja. Za takvo klatnoća oni se izračunavaju prema formuli:

sin x / 2 = u * sn (omega-t / u),

gdje je sn Jacobi sine, što za u < 1 je periodična funkcija, a za male u se podudara s jednostavnim trigonometrijskim sinusom. Vrijednost u određuje se sljedećim izrazom:

u = (epsilon- + omega-2) / 2omega-2,

gdje epsilon = E / mL2 (mL2 je energija pendela).

Određivanje razdoblja oscilacije nelinearnog klatnika provodi se prema formuli:

T = 2pi- / Omega-,

gdje Omega- = pi- / 2 * omega- / 2K (u), K je eliptični integral, pi- - 3.14.

Kretanje pendela duž separatrixa

Separatator je putanja dinamičkog sustava s dvodimenzionalnim faznim prostorom. Matematički se pendulum kreće uz nju ne-periodično. Na beskonačno udaljenom vremenu, pada s ekstremnog gornjeg položaja na stranu pri nultoj brzini, a zatim ga postupno uzima. Na kraju se zaustavlja, vraća se na prvobitni položaj.

Ako se amplituda oscilacija pendela približi broju pi-, to ukazuje na to da gibanje na faznoj ravnini pristaje na separatrix. U tom slučaju, pod utjecajem periodičke male sile, mehanički sustav pokazuje kaotično ponašanje.

Kada matematički pendulum odstupa od ravnotežnog položaja s kutom phi postoji tangenta gravitacije Ftau- = -mg grijeh phi-. Znak minus znači da je ova tangencijalna komponenta usmjerena na suprotnu stranu od odstupanja ingota. Ako označavamo pomoću x pomaka pendela duž luka kruga s radijusom L, njegov kutni pomak jednak je phi = x / L. Drugi zakon Isaac Newton, namijenjen za projekcije vektora ubrzanja i sile, dati će željenu vrijednost:

mg tau = Ftau- = -mg sin x / L

Na temelju tog omjera, jasno je da se klatno je nelinearan sustav, kao sila koja teži da se vrati u svoj ravnotežni položaj, nije uvijek proporcionalna pomaka x, žrtvu x / L.

Tek kada matematički pendulum izvodi male oscilacije, to je harmonijski oscilator. Drugim riječima, on postaje mehanički sustav sposoban za obavljanje harmonijskih oscilacija. Ova aproksimacija praktički vrijedi za kutove od 15-20 °. Oscilacije pendela s velikim amplitudama nisu harmonične.

Newtonov zakon za male oscilacije pendela

Ako ovaj mehanički sustav izvodi male promjene, Newtonov drugi zakon izgledat će ovako:

mg tau = Ftau = -m * g / L * x.

Polazeći od toga možemo zaključiti da je tangencijalno ubrzanje matematičkog pendela proporcionalno njegovom pomaku s minus znakom. Ovo je stanje u kojem sustav postaje harmonijski oscilator. Modul proporcionalnosti između pomaka i ubrzanja jednak je kvadrantu kružne frekvencije:

omega-02 = g / L- omega-0 = radic-g / L.

Ova formula odražava prirodnu frekvenciju malih oscilacija ovog tipa pendela. Postupajući od toga,

T = 2pi- / omega-0 = 2pi-radik-g / L.

Izračuni na temelju zakona o očuvanju energije

Svojstva oscilirajućih pokreta pendela također se mogu opisati pomoću zakona o očuvanju energije. To treba imati na umu potencijalne energije Prsten na gravitacijskom polju je jednak:

E = mgΔh = mgL (1-cos alfa-) = mgL2sin2 alfa- / 2

ukupno mehanička energija jednak je kinetičkom ili maksimalnom potencijalu: Epmax = Ekmsx = E

Nakon što se zabilježi zakon o očuvanju energije, preuzmite izvedbu desnih i lijevih dijelova jednadžbe:

Ep + Ek = const

Budući da je derivat konstanta 0, tada (Ep + Ek) `= 0. Derivat je suma jednak zbroju derivata:

EP `= (mg / L * x2 / 2) = mg / 2L * 2x * x `= mg / L * v + Ek`= (MV2 / 2) = m / 2 (v2) = m / 2 * 2v * v `= mv * alfa,

dakle:

Mg / L * xv + mv = v (mg / L * x + m alfa) = 0.

Polazeći od posljednje formule, nalazimo: alfa = - g / L * x.

Praktična primjena matematičkog pendela

ubrzanje slobodan pad varira s zemljopisnom zemljopisnom širinom, budući da gustoća zemljine kore na cijelom planetu nije ista. Tamo gdje su stijene veće gustoće, to će biti nešto veće. Ubrzanje matematičkog pendela često se koristi za geološko istraživanje. Koristi se za traženje raznih minerala. Samo izračunavanje broja oscilacija pendela, možete naći u crijevima zemljinog ugljena ili rude. To je zbog činjenice da takvi fosili imaju gustoću i masu veću od labave stijene ispod njih.

Matematički pendulum koristili su takvi izvanredni znanstvenici kao Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih vjerovali su da ovaj mehanički sustav može utjecati na sudbinu i život osobe. Arhimed je upotrijebio matematički pendulum u svojim proračunima. U našem vremenu, mnogi okultisti i psihijatri koriste ovaj mehanički sustav kako bi izvršili proročanstva ili tražili nestale ljude.

Poznati francuski astronom i prirodni znanstvenik K. Flammarion također su koristili matematički pendulum za svoje istraživanje. Tvrdio je da je sa svojom pomoći uspio predvidjeti otkriće novog planeta, izgled Tunguske meteorita i drugih važnih događaja. Tijekom Drugog svjetskog rata u Njemačkoj je djelovao specijalizirani pendulumski institut (Berlin). Danas, Münchenski institut za parapsikologiju bavi se sličnim studijama. Zaposlenici ove institucije nazivaju svoj rad s klatnom "radeestezijom".