Fourierova transformacija. Brza transformacija Fouriera. Diskretna Fourierova transformacija

Fourierova transformacija je transformacija koja suradnici funkcioniraju s određenom stvarnom varijablom. Ova se operacija izvodi svaki put kada čujemo različite zvukove. Uho proizvodi automatski "izračun", koji je naša svijest sposobna izvesti tek nakon proučavanja odgovarajućeg dijela višeg matematike. organ sluha u ljudskom transformacije konstrukata, u kojem je zvuk (konvencionalni vibracijska gibanja čestica u elastični medij koji propagiraju u valnog oblika u krutom, tekućem ili plinovitom mediju) je u rasponu od uzastopnih vrijednosti razine glasnoće tona različitih visina. Nakon toga, mozak pretvara ove informacije u poznati zvuk.

Matematička Fourierova transformacija

Transformacija zvučnih valova ili drugih vibracijskih procesa (iz svjetlosnog zračenja i oceanske plime te ciklusa zvjezdane ili solarne aktivnosti) može se provesti i matematičkim metodama. Dakle, pomoću ove tehnike, funkcije može biti proširen uvođenjem vibracijska procesa Skup sinusnih komponenata, tj krivulja valovite koje idu od najmanje do najviše i onda opet na minimum, poput vala mora. Fourierova transformacija je transformacija čija funkcija opisuje fazu ili amplitudu svakog sinusoida koji odgovara određenoj frekvenciji. Faza je polazna točka krivulje, a amplituda je njegova visina.

Fourierova transformacija (primjeri su prikazani na slici) vrlo je moćan alat koji se koristi u različitim područjima znanosti. U nekim slučajevima koristi se kao sredstvo rješavanja prilično kompliciranih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem svjetlosti, toplote ili električne energije. U drugim slučajevima, to vam omogućuje da definiraju redovite komponente u složenim valnih oblika, s obzirom na to može biti istina interpretirati različite eksperimentalne opažanja u kemije, medicine i astronomije.

Povijesna pozadina

Prva osoba koja je primijenila ovu metodu bila je francuski matematičar Jean Baptiste Fourier. Transformacija, koja je kasnije imenovana, izvorno se koristi za opisivanje mehanizma toplinske vodljivosti. Fourier je cijeli svoj život proveo proučavajući svojstva topline. Dao je veliki doprinos matematičkoj teoriji određivanja korijena algebarskih jednadžbi. Fourier je bio profesor analiza na École Polytechnique, tajnik Instituta egiptologije, bio je carski usluga, što je izazvalo pomutnju u vrijeme gradnje ceste prema Torinu (pod njegovim vodstvom bio iscrpljen od više od 80 tisuća četvornih kilometara malarije močvare). Međutim, sva ta aktivna aktivnost nije spriječila znanstvenika da učini matematičku analizu. Godine 1802. izveden je jednadžba koja opisuje širenje topline u krutinama. Godine 1807. znanstvenik je otkrio metodu za rješavanje ove jednadžbe, koja se zvala "Fourierova transformacija".

Analiza toplinske vodljivosti

Znanstvenik je koristio matematičku metodu za opisivanje mehanizma toplinske vodljivosti. Prikladan primjer, u kojem nema poteškoća s proračunom, je širenje toplinske energije duž željeznog prstena uronjenog u jedan komad vatrom. Za provođenje pokusa, Fourier je zagrijavao crveni dio ovog prstena i pokopao ga u fini pijesak. Nakon toga je mjerio temperaturu na suprotnoj strani. U početku, raspodjela topline je nepravilna: dio prstena je hladan, a drugi vrući, oštar temperaturni gradijent se može promatrati između tih zona. Međutim, u procesu širenja topline preko cijele površine metala postaje svejednija. Dakle, uskoro ovaj proces ima oblik sinusoida. Isprva se grafikon postupno povećava i smanjuje glatko, točno u skladu sa zakonima kosinusa ili promjene sinusne funkcije. Val se postupno spljoio i kao rezultat toga temperatura postaje ista na cijeloj površini prstena.

Bit analize

Primjenom ove analize do transformacije toplinske razmnožavanja preko krutog objekta koji ima prstenasti oblik, matematičar je ocijenio da povećanje perioda sinusoidalne komponente dovodi do brzog prigušenja. To se dobro prati na temeljnim i drugoj harmonici. U drugom, temperatura doseže maksimalnu i minimalnu vrijednost dvaput u jednom prolazu, au prvom samo jednom. Ispada da će udaljenost koja se prevlada toplinom u drugoj harmonici biti pola onoga glavnog. Pored toga, gradijent u drugoj će također biti dvaput strmiji od prvog. Slijedom toga, budući da intenzivniji toplinski tok prolazi najširi razmak, dano harmonika će se raspasti četiri puta brže od temeljnog, kao funkcije vremena. U nastavku, ovaj postupak će se nastaviti još brže. Matematičar je vjerovao da nam ova metoda omogućuje izračunavanje procesa početne raspodjele temperature tijekom vremena.

Izazov suvremenicima

Fourierov transformacijski algoritam postao je izazov teorijskim temeljima matematike toga vremena. U ranom devetnaestom stoljeću, najistaknutiji znanstvenici, uključujući i Lagrangeov, Laplace, Poissonova, Legendre i Biot nije prihvatio njegovu tvrdnju da je temperatura od početne raspodjele se razlaže na komponente u obliku temeljnog vala i višu frekvenciju. Međutim, Akademija znanosti nije mogla zanemariti rezultate koje je dobio matematičar, te je poštovao nagradu za teoriju propisa o provođenju topline i usporedio je s fizičkim eksperimentima. U Fourierovom pristupu, glavni prigovor uzrokovan je činjenicom da je diskontinuirana funkcija zastupljena sa zbrojem nekoliko sinusoidnih funkcija koje su kontinuirane. Uostalom, oni opisuju razbijanje ravnih i zakrivljenih linija. Suvremeni znanstvenici nikad prije nije susreo s takvom situacijom, kada su prekinute funkcije opisane kombinacijom kontinuirano, kao što je kvadratnog oblika, linearno, sine ili izlagača. U slučaju da je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, zbroj beskonačne serije trigonometrijske funkcije mora se svesti na točan korak. U to je vrijeme takva izjava bila apsurdna. Međutim, unatoč sumnjama nekih istraživača (npr Claude Navier, Sophie Germain) proširio je opseg istraživanja i izvede ih iz analize distribucije topline. A matematičari su u međuvremenu i dalje trpjeli pitanje da li se zbroj nekoliko sinusoidnih funkcija može svesti na točan prikaz diskontinuiranog.

200 godina povijesti

Ta se teorija razvila tijekom dva stoljeća, a danas je napokon formirana. S njom se prostorne ili vremenske funkcije dijele na sinusoidalne komponente, koje imaju vlastitu frekvenciju, fazu i amplitudu. Ova transformacija dobiva se dvije različite matematičke metode. Prva od njih primjenjuje se u slučaju kada je početna funkcija kontinuirana, a druga - u slučaju kad je predstavljena skupom diskretnih pojedinačnih promjena. Ako je izraz izveden iz vrijednosti koje su određene diskretnim intervalima, onda se može podijeliti na nekoliko sinusnih izraza s diskretnim frekvencijama - od najniže frekvencije, a zatim dva puta, tri puta i tako dalje, veće od one osnovne. Takva se suma obično naziva Serije Fourier. Ako je početni izraz dan po vrijednosti za svaki realni broj, onda se može raspasti u nekoliko sinusoidnih svih mogućih frekvencija. Obično se naziva Fourierov integral, a rješenje podrazumijeva integralne transformacije funkcije. Bez obzira na metodu dobivanja transformacije, za svaku frekvenciju treba navesti dva broja: amplituda i frekvencije. Te su vrijednosti izražene kao singl kompleksni broj. Teorija izražavanja složenih varijabli u kombinaciji s Fourierovom transformacijom omogućila nam je izračunavanje za izgradnju različitih električnih sklopova, analizu mehaničkih oscilacija, proučavanje mehanizma širenja vala i drugih.

Fourierova transformacija danas

Danas, proučavanje ovog procesa u osnovi se smanjuje za pronalaženje učinkovitih metoda prijelaza iz funkcije u njegov transformirani oblik i natrag. Ovo se rješenje naziva izravna i inverzna Fourierova transformacija. Što to znači? Kako bi odrediti cjelinu i proizvesti izravnu Fourierovu transformaciju, mogu se koristiti matematičke metode, ili čak analitičke. Unatoč činjenici da kada ih koristimo u praksi postoje određene poteškoće, većina integrala već je pronađena i uključena u matematičke referentne knjige. Korištenje numeričkih metoda moguće je izračunati izraze čiji se oblik temelji na eksperimentalnim podacima ili funkcijama čiji su integrali odsutni u tablicama i teško ih je prikazati u analitičkom obliku.

Prije dolaska računalne tehnologije, proračuni takvih transformacija bili su vrlo dosadni, zahtijevali su ručno izvršenje velikog broja aritmetičkih operacija, ovisno o broju točaka koji opisuju valnu funkciju. Kako bi olakšali izračune, danas postoje posebni programi koji omogućuju implementaciju novih analitičke metode. Tako je 1965. godine James Cooley i John Tewki stvorili softver koji je postao poznat kao "brza Fourierova transformacija". To štedi vrijeme izračuna smanjujući broj umnožavanja u analizi krivulje. Metoda "brze Fourierove transformacije" temelji se na podjeli krivulje u veliki broj jedinstvenih vrijednosti uzoraka. Prema tome, broj umnožaka je prepolovljen s istim smanjenjem broja bodova.

Primijenite Fourierovu transformaciju

Taj se proces koristi u različitim područjima znanosti: u teorija brojeva, fizika, obrada signala, kombinatorika, teorija vjerojatnosti, kriptografija, statistika, oceanologija, optika, akustika, geometrija i dr. Bogate mogućnosti njegove primjene temelje se na brojnim korisnim značajkama koje su nazvane "svojstvima Fourier transformacije". Razmotrite ih.

1. Transformacija funkcije je linearni operator i odgovarajuća normalizacija je jedinstvena. Ova je imovina poznata kao Parsevalov teorem, ili u općem slučaju Plancherelov teorem ili dualizam Pontryagin.

2. Transformacija je reverzibilna. I obrnuti rezultat ima gotovo isti oblik, kao i izravno rješenje.

Sinusni osnovni izrazi su svojstvene funkcije. To znači da se takva reprezentacija mijenja linearne jednadžbe s konstantnim koeficijentom u obične algebarske.

4. Prema teoremu "konvolucije", taj proces pretvara složenu operaciju u elementarnu množenje.

5. Diskretna Fourierova transformacija može se brzo izračunati na računalu pomoću "brze" metode.

Sorti Fourierove transformacije

1. Najčešće se pojam koristi da se odnosi na kontinuirani transformacije, dajući svaki četvrtasto integriranja izraz kao zbroj kompleksa eksponencijalnog ekspresije sa specifičnim kutna frekvencija i amplituda. Ova vrsta ima nekoliko različitih oblika, koji se mogu razlikovati u konstantnim koeficijentima. Kontinuirani postupak uključuje tablicu pretvorbe koja se može naći u matematičkim referentnim knjigama. Općeniti slučaj je frakcijska transformacija, pomoću kojeg se određeni proces može podići na potrebnu stvarnu snagu.

2. Kontinuirana metoda je generalizacija rane tehnike Fourierovih serija definiranih za različite periodične funkcije ili izraza koji postoje na ograničenom području i predstavljaju ih kao redove sinusoida.

3. Diskretna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi u računalnoj tehnologiji za znanstvene izračune i za digitalnu obradu signala. Za obavljanje ove vrste izračuna potrebno je imati funkcije koje određuju pojedinačne točke, periodične ili omeđene domene, umjesto kontinuiranog Fourier integrala. Pretvorba signala u ovom slučaju zastupljena je kao zbroj sinusoida. Istovremeno, upotreba "brze" metode omogućuje nam da primijenimo diskretna rješenja za praktične zadatke.

4. Prozorizirana Fourierova transformacija je generalizirani oblik klasične metode. Za razliku od standardnih rješenja, kada se koristi spektar signala, koji se uzima u punom opsegu postojanja ove varijable je od posebnog interesa ovdje je samo lokalna distribucija frekvencija, dok održavanje izvorne varijable (vrijeme).

5. Dvodimenzionalna Fourierova transformacija. Ova se metoda koristi za rad s dvodimenzionalnim skupovima podataka. U tom slučaju prvo je transformacija izvršena u jednom smjeru, a zatim u drugom.

zaključak

Danas je Fourierova metoda čvrsto ukorijenjena u različitim područjima znanosti. Na primjer, 1962. godine otkriven je oblik dvostruke helix DNA pomoću Fourierove analize u kombinaciji s rendgenskom difrakcijom. Potonji su bili usredotočeni na kristale DNA vlakana, zbog čega je slika snimljena tijekom difrakcije zračenja zabilježena na filmu. Ova slika daje informacije o vrijednosti amplitude prilikom korištenja Fourierove transformacije u danu kristalnu strukturu. Podaci o fazi dobiveni su usporedbom karte difrakcije DNA s kartama dobivenim pri analizi takvih kemijskih struktura. Kao rezultat toga, biolozi su obnovili kristalnu strukturu - izvornu funkciju.

Fourierove transformacije odigrati veliku ulogu u istraživanju svemira, fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radar, seizmologije i liječničkih pregleda.