Fourierova serija: povijest i utjecaj matematičkog mehanizma na razvoj znanosti

Serija Fourier predstavlja zastupljenost funkcije proizvoljno uz određeno razdoblje u obliku serije. Općenito, ovo rješenje se naziva širenje elementa na ortogonalnoj osnovi. Širenje funkcija u Fourier series je vrlo moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstva transformacije u integracije, diferencijacija, kao i promjenu u izrazu argument i konvolucija.

Osoba koja nije upoznata s višom matematikom, a također s djelima francuskog znanstvenika Fouriera, najvjerojatnije neće shvatiti kakve "redove" i za što su. Pa ipak, ova transformacija je postala vrlo gusta u našem životu. Koriste ne samo matematičari, već i fizičari, kemičari, liječnici, astronomi, seizmolozi, oceanografi i mnogi drugi. Upoznajte se i s radovima velikog francuskog znanstvenika koji je otkrio otkriće prije svog vremena.

Čovjek i Fourierova transformacija

Serija Fourier jedna je od metoda (uz analizu i ostale) Fourierova transformacija. Taj se proces događa svaki put kad osoba čuje zvuk. Naše uho se automatski pretvara zvučni val. Oscilatorno gibanje elementarnih čestica u elastičnom mediju su prošireni u nizu (spektra) sukcesivnim vrijednostima za volumen tonova različite visine. Nadalje, mozak pretvara ove podatke u poznate zvukove za nas. Sve se to događa pored naše želje ili svijesti, same po sebi, ali kako bismo razumjeli te procese, trebat će nekoliko godina za proučavanje veće matematike.

Više o Fourierovoj transformaciji

Fourierova transformacija može se provesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierova serija odnosi se na numeričku metodu razgradnje bilo kojeg vibracijskog procesa - od morskih plima i svjetlosnih valova do solarnih (i drugih astronomskih objekata) ciklusa aktivnosti. Koristeći ove matematičke tehnike možete analizirati funkcije koje predstavljaju oscilatorske procese kao niz sinusnih komponenti, koji se kreću od minimuma do maksimuma i natrag. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj se proces može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji se javljaju pod djelovanjem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Fourierove serije omogućuju i izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilacijskim signalima, što omogućuje pravilno tumačenje eksperimentalnih opažanja dobivenih u medicini, kemiji i astronomiji.

Povijesna pozadina

Osnovni otac ove teorije je francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier. Njegovo je ime kasnije nazvano tom transformacijom. U početku, znanstvenik je koristio metodu za proučavanje i objašnjenje mehanizama toplinske vodljivosti - širenje topline u krutinama. Fourier je predložio da je početna nepravilan distribucija toplinske vala može se rastaviti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaki imati svoju temperaturu minimuma i maksimuma, kao i njegove faze. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se izmjeriti od minimuma do maksimuma i obrnuto. Matematička funkcija, koja opisuje gornje i donje vrhove krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, nazvana je Fourierova transformacija izraza za raspodjelu temperature. Autor teorije smanjuje opću funkciju distribucije, što je teško opisati, u vrlo prikladnu seriju periodične funkcije kosinus i sinus, u iznosu koji daje početnu raspodjelu.

Načelo preobrazbe i pogleda suvremenika

Suvremenici znanstvenika - vodećih matematičara ranog devetnaestog stoljeća - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor bio je Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija koja opisuje ravnu liniju ili krivulju kidanja može predstavljati kao zbroj sinusnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, možemo uzeti u obzir "korak" Heaviside: njegova vrijednost je nula lijevo od diskontinuiteta i jedinice s desne strane. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje na vremensku varijablu kada je krug zatvoren. Suvremenici teorije u to vrijeme nikada nisu susreli sličnu situaciju, kada se diskontinuirani izraz opisuje kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija, kao što je eksponencijalna, sinusoidna, linearna ili kvadratna.

Koji neugodni francuski matematičari u Fourierovoj teoriji?

Uostalom, ako matematičar ima pravo u svojim izjavama, onda, zbrajanjem beskonačne trigonometrijske Fourierove serije, može se dobiti točan prikaz korijenskog izraza čak i ako ima mnogo takvih koraka. Početkom devetnaestog stoljeća takva je izjava bila apsurdna. No, usprkos svim sumnjama, mnogi matematičari proširili su opseg proučavanja ovog fenomena i prešli ga izvan granica istraživanja topline vodljivosti. Međutim, većina znanstvenika i dalje je trpjela pitanje: "Može li zbroj sinusnih serija konvergirati do točne vrijednosti diskontinuirane funkcije?"

Konvergencija serije Fourier: primjer

Pitanje konvergencije se podiže svaki put kad je potrebno zbrojiti beskonačan broj brojeva. Da bismo razumjeli ovaj fenomen, razmotrimo klasičan primjer. Možete li ikada doći do zida ako je svaki sljedeći korak polovica prethodne? Pretpostavimo da su dva metara od cilja, prvi korak bliže oko pola puta, sljedeći - Znak tri četvrtine, a nakon petog, od vas će prevladati gotovo 97 posto na putu. Međutim, bez obzira koliko ste koraka poduzeli, nećete postići svoj cilj u strogom matematičkom smislu. Pomoću numeričke proračune, možemo dokazati da na kraju može biti bliže proizvoljno malom određenom razmaku. Ovaj dokaz je ekvivalent za dokazivanje da će ukupna vrijednost jedne sekunde, jedne četvrtine itd., Biti sklona jedinstvu.

Pitanje konvergencije: drugi dolazak ili Uređaj Gospodina Kelvina

Opetovano se pitanje u kasnom devetnaestom stoljeću, kada je Fourierova serije su pokušali koristiti predvidjeti intenzitet ebbs i tokova. U to vrijeme, lord Kelvin je izumio uređaj je analogno računalo koje je omogućilo mornara mornarica i pomorske monitor je prirodni fenomen. Taj je mehanizam odredio skupove faza i amplituda iz tablice visine plime i odgovarajućih vremenskih točaka pažljivo izmjerenih u luci tijekom godine. Svaki parametar bio je sinusoidalni dio visine plime i bio je jedan od redovitih komponenti. Rezultati mjerenja uneseni su u Kelvinov računalni uređaj koji je sintetizirala krivulju koja je predvidjela visinu vode kao privremenu funkciju za iduću godinu. Vrlo brzo su takve krivulje sastavljene za sve luke na svijetu.

A ako je proces prekršen nekontinuiranom funkcijom?

U to je vrijeme bilo očito da uređaj koji predviđa plimni val s velikim brojem elemenata za brojanje može izračunati veliki broj faza i amplituda i tako dati točnija predviđanja. Ipak, ispostavilo se da se ta pravilnost ne promatra u onim slučajevima kada je plimni izraz, koji bi trebao biti sintetiziran, sadržavao oštar skok, tj. Bio je diskontinuiran. U slučaju da se podaci unesu u uređaj iz tablice s vremenskim momentima, ona izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Izvorna funkcija je obnovljena zbog sinusnih komponenti (u skladu s pronađenim koeficijentima). Odstupanje između izvornika i obnovljene ekspresije može se mjeriti u bilo kojem trenutku. Kod ponovljenih izračuna i usporedbi vidljivo je da se vrijednost najveće pogreške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u regiji koja odgovara točki diskontinuiteta, a na bilo kojoj drugoj točki imaju tendenciju nulte. Godine 1899. taj je rezultat teorijski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Sveučilišta Yale.

Konvergencija Fourierovih serija i razvoj matematike općenito

Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj burstova u određenom intervalu. Općenito, Fourierova serija, ako je izvorna funkcija predstavljena rezultatom stvarne fizičke dimenzije, uvijek konvergiraju. Pitanja konvergencije tog procesa za pojedine klase funkcija doveli su do novih grana matematike, kao što su teorije općih funkcija. Povezan je s imenima kao što su L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. Prema ovoj teoriji, jasan i precizan teorijska osnova za takvo izražavanje je osnovana kao delta funkcija Dirac (opisuje regiju jednom području, te koncentriran u infinitezimalni susjedstvu točke) i „korak” Heaviside. Kroz ovaj rad Fourier series postao primjenjiv za rješavanje jednadžbi i probleme koji uključuju intuitivno pojmove: točka naboja, točka masovne, magnetski dipoli, a koncentrirana opterećenja na gredi.

Fourierova metoda

Serija Fourier, u skladu s načelima smetnji, počinje raspadom složenih oblika u jednostavnije. Na primjer, promjene u toplinski tok zbog prolaska kroz razne prepreke u toplinskim izolacijskim materijalom nepravilnog oblika ili promjenom površine tla - potresa, promjene u orbiti nebeskog tijela - utjecaj planeta. U pravilu, slične jednadžbe koje opisuju jednostavne klasične sustave riješene su elementarne za svaki pojedini val. Fourier je pokazao da se jednostavna rješenja mogu također sažeti kako bi se dobili rješenja za složenije probleme. Izraženo na jeziku matematike, Fourierova serija je tehnika za izražavanje izraza zbrojem harmonika - kosinus i sinusni valovi. Stoga je ova analiza poznata i kao "harmonijska analiza".

Serija Fourier je idealna tehnika prije "računalne dobi"

Prije stvaranja računalne tehnologije, Fourierova metoda bilo je najbolje oružje u arsenalu znanstvenika pri radu s valnom prirodom našeg svijeta. Serija Fourier u složenom obliku omogućuje nam da riješimo ne samo jednostavne probleme koji su podložni izravnoj primjeni zakona Njutonske mehanike, već i temeljne jednadžbe. Većina otkrića newtonske znanosti devetnaestog stoljeća postala je moguća jedino zahvaljujući Fourierovoj metodi.

Serije Fourier

S razvojem računala, Fourierove transformacije porasle su na kvalitativno novu razinu. Ta je tehnika čvrsto ukorijenjena u gotovo svim područjima znanosti i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video signal. Njegova realizacija postala je moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog stoljeća. Dakle, Fourierova serija u složenom obliku omogućila je proboj u proučavanju vanjskog prostora. Osim toga, to je utjecalo i na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalnu akustiku, oceanografiju, radiolokaciju, seizmologiju.

Trigonometrijska Fourierova serija

U matematici, Fourierov niz je način predstavljanja proizvoljnih kompleksnih funkcija kao zbroj jednostavnijih. Općenito, broj takvih izraza može biti beskonačan. U tom slučaju, što se više računa u obzir, točnije dobiva se konačni rezultat. Najčešće se trigonometrijske funkcije kosinusa ili sinusa koriste kao najjednostavnije. U ovom slučaju, Fourierov niz se naziva trigonometrijski, a rješenje takvih izraza je širenje harmonika. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijska serija osigurava sredstva za sliku, kao i proučavanje funkcija, to je osnovni aparat teorije. Osim toga, omogućuje rješavanje brojnih problema matematičke fizike. Konačno, ova teorija doprinijela je razvoju matematička analiza, doveo je do života niz vrlo važnih dijelova matematičke znanosti (teorija integralnih, teorija periodičkih funkcija). Osim toga, služio je kao polazna točka za razvoj sljedećih teorije: setovi, funkcije stvarne varijable, funkcionalna analiza, i pokrenuo skladnu analizu.