Booleova algebra. Algebra logike. Elementi matematičke logike

U suvremenom svijetu sve više koristimo različite strojeve i naprave. I to ne samo kada je potrebno primijeniti doslovno nadljudsku snagu: premjestiti učitavanje ga podići na visinu, kopaju duge i duboke rov itd automobili danas skupljati robota, hrana kuha Multivarki i osnovne aritmetičke kalkulacije proizvodnju računala ... Sve češće čujemo izraz „Booleova algebra”. Možda je došlo vrijeme da shvate ulogu ljudskog bića u stvaranju robota i strojeva sposobnost rješavanja ne samo matematički, ali logičke zadatke.

logika

Prevedeno s grčkog, logika je uredan sustav razmišljanja koji stvara odnose između zadanih uvjeta i omogućuje zaključivanje temeljem pretpostavki i pretpostavki. Vrlo često se pitamo jedni druge: "Je li logično?" Odgovor odgovara našim pretpostavkama ili kritizira tijek misli. Ali proces se ne zaustavlja: nastavljamo razmišljati.

Ponekad je broj stanja (ulaznih) je tako velik, a odnos između njih je toliko zbunjujuće i složeno da je ljudski mozak nije u stanju „probaviti” sve odjednom. Moglo bi potrajati više od mjesec dana (tjedan, godinu dana) da biste shvatili što se događa. No, moderni život ne daje nam takve vremenske intervale za donošenje odluka. I pribjegavamo se pomoći računalima. A tu se pojavljuje algebra logike, sa svojim zakonima i svojstvima. Nakon preuzimanja svih početnih podataka dopuštamo računalu da prepozna sve odnose, eliminira proturječnosti i pronađe zadovoljavajuće rješenje.

Matematika i logika

Najpoznatiji Gottfried Wilhelm Leibniz formulirao je pojam "matematičke logike", čije su zadaće bile dostupne samo uskom krugu znanstvenika. Poseban interes za ovaj smjer nije izazvao, a do sredine XIX. Stoljeća malo je znalo o matematičkoj logici.

Veliki interes u znanstvenoj zajednici izazvao je spor u kojem je Englez George Boole proglasio svoju namjeru da uspostavi granu matematike, nemaju apsolutno nikakvu praktičnu uporabu. Kao što znamo iz povijesti, u ovom trenutku aktivno razvija industrijska proizvodnja, razvili smo sve vrste pomoćnih strojeva, t. E. Sva znanstvena otkrića su imali praktičnu orijentaciju.

Gledano prema naprijed, kažemo da je algemska algebra najčešći dio matematike u suvremenom svijetu. Tako je spor izgubio Boule.

George Boule

Posebnu pozornost zaslužuje sama osobnost autora. Čak s obzirom na činjenicu da su u prošlosti ljudi odrastao pred nama, još uvijek treba napomenuti da je u 16 godina Ivan. Buhl učio na seoskoj školi, a do 20 godina otvorio svoju školu u Lincoln. Matematičar je savršeno savladao pet stranih jezika, au slobodno vrijeme pročitao je djela Newtona i Lagrangea. I sve se radi o sinu jednostavnog radnika!

Godine 1839. Boule je najprije poslao svoje znanstvene članke u Cambridge Mathematical Journal. Znanstvenik je imao 24 godine. Rad Boolea bio je tako zanimljiv članovima Kraljevskog znanstvenog društva da je 1844. dobio medalju za svoj doprinos razvoju matematička analiza. Nekoliko drugih objavljenih djela, u kojima su opisani elementi matematičke logike, omogućilo je mladom matematičaru da preuzme mjesto profesora na Cork County Collegeu. Sjetite se da on nije bio obrazovan.

ideja

U načelu, Booleova algebra je vrlo jednostavna. Postoje izjave (logično izrazi), koji se sa stajališta matematike mogu definirati samo dvije riječi: "istina" ili "laž". Na primjer, u proljeće stabla cvjetaju - istina, ljeti snijeg - laži. Sve šarm ove matematike je da ne postoji stroga potreba za korištenjem samo brojeva. Svaka prijedlog s nedvosmislenim značenjem savršeno je prikladna za algebra prijedloga.

Dakle, logička algebra može se upotrijebiti doslovno posvuda: u uputama za raspoređivanje i pisanje, analizu konfliktnih informacija o događajima i određivanju slijeda akcija. Najvažnije je shvatiti da nije važno kako smo utvrdili istinu ili neistinu izjave. Iz tih "kako" i "zašto" treba apstrahirati. Jedina stvar koja je važna jest činjenica: true-false.

Naravno, funkcije algebre logike su važne za programiranje, koje su napisane odgovarajućim znakovima i simbolima. I naučiti ih znači svladati novi strani jezik. Ništa nije nemoguće.

Osnovni pojmovi i definicije

Bez ulaska u dubine razumjet ćemo terminologiju. Dakle, Booleova algebra preuzima prisutnost:

• izjave;
• logičke operacije;
• funkcija i zakona.

Izjave su svi afirmativni izrazi koji se ne mogu tumačiti dvostruko vrijedni. Napisane su u obliku brojeva (5> 3) ili formulirane uobičajenim riječima (slon je najveći sisavac). U ovom slučaju, izraz "žirafa nema vrat" također ima pravo postojati, samo će Booleov algebra odrediti kao "laž".

Sve izjave moraju biti nedvosmislene, ali mogu biti elementarne i kompozitne. Potonji koriste logičke veze. To jest, u prijedlozima algebra spoj izjave su formirane dodavanjem osnovnih elemenata kroz logičke operacije.

Operacije Booleove algebre

Već se sjećamo da su operacije u algebra prijedloga logične. Baš kao što je algebra brojeva pomoću aritmetičke operacije na zbrajanje, oduzimanje, ili usporediti brojeve, matematička logika elementi dopuštaju da složene izjave, odbiti ili izračunati konačni rezultat.

Logičke operacije za formalizaciju i jednostavnost zapisuju se formule koje su uobičajene za nas u aritmetici. Svojstva Booleove algebre omogućuju pisanje jednadžbi i izračunavanje nepoznanica. Logičke operacije obično se pišu pomoću tablice istine. Njegovi stupci definiraju elemente izračuna i operaciju koja se izvodi na njima, a redovi prikazuju rezultat izračuna.

Osnovne logičke akcije

Najčešće operacije u Booleovim operacijama su negacija (NOT) i logička AND i OR. Zato možete opisati gotovo sve radnje u algebri prosudbi. Mi ćemo detaljno proučiti svaku od tri operacija.

Odbijanje (ne) odnosi se samo na jedan element (operand). Stoga je operacija negacije nazvana neujednačena. Upotrijebite sljedeće simbole da biste napisali ne-koncept: ne-A, Amacr-macr-macr- ili! A. U tabličnom obliku izgleda ovako:

Za funkciju negacije, sljedeća je izjava tipična: ako je A istinit, onda je A lažan. Na primjer, Mjesec se vrti oko Zemlje - istina - Zemlja se vrti oko Mjeseca - laž.

Logička množenje i dodavanje

Logično JA se naziva suradnja. Što to znači? Prvo, da se može primijeniti na dva operanda, to jest, ja je binarnu operaciju. Drugo, da je samo u slučaju istine oba operanda (i A, i B) izraz samo istinit. Poslovica "Strpljivost i rad" će pretpostaviti da će samo dva čimbenika pomoći osobi da se suoči s poteškoćama.

Za pisanje se koriste simboli Aand-B, Asdot-B ili AB.

Konjunkcija je analogna množenju u aritmetici. Ponekad kažu so - logičku množenje. Ako množimo elemente tablice po redcima, dobivamo rezultat slično logičkom razmišljanju.

Odbacivanje se naziva logička ILI operacija. Potrebno je vrijednost istine kada barem jedan od izjave su istinite (ili A ili B). Napisano je ovako: Aor-B, A + B ili A || B. Tablice istinitosti ovih operacija su:

Odbacivanje je kao aritmetički dodatak. Rad logičkog dodatka ima samo jedno ograničenje: 1 + 1 = 1. Ali sjećamo se da je u digitalnom obliku matematička logika ograničena na 0 i 1 (gdje je 1 istinito, 0 je lažno). Na primjer, izjava "u muzeju možete vidjeti remek-djelo ili susresti zanimljivi sugovornik" znači da možete vidjeti umjetnička djela, a možete se upoznati sa zanimljivom osobom. Istodobno, nije isključena mogućnost istodobnog ostvarenja oba događaja.

Funkcije i zakoni

Dakle, već znamo što logičke operacije koriste Booleov algebra. Funkcije opisuju sva svojstva elemenata matematičke logike i omogućuju pojednostavljenje kompleksnih uvjeta zadataka. Najčešće razumljivo i jednostavno je vlasništvo napuštanja izvedenih operacija. Derivati ​​su ekskluzivni OR, implikacija i ekvivalentnost. Budući da smo se samo upoznali s osnovnim operacijama, razmotrit ćemo samo njihova svojstva.

Asocijativnost znači da u izjavama kao što su "i A, i B i B", brojanje operanata nije bitno. Formula je ovo:

(Aand-B) i -B = Aand- (Band-B) = Aand-Band-B,

(Aor-B) ili -B = Aor- (Bor-B) = Aor-Bor-B.

Kao što vidimo, ovo je neobično ne samo vezama, nego i razdvojenosti.

komutativnosti tvrdi da rezultat povezanosti ili razdvajanja ne ovisi o tome koji je element na početku razmatran:

Aand-B = Band-A-Aor-B = BOR-A.

distributivity omogućuje vam otvaranje zagrada u složenim logičkim izrazima. Pravila su slična objašnjenju zagrada pri umnožavanju i dodavanju algebre:

Aand- (Bor-B) = Aand-Bor-Aand-B-Aor-Band-B = (Aor-B) i (Aor-B).

Svojstva jedinice i nula, koji može biti jedan od operanda, također su analogni algebarskoj umnožavanju za nulu ili jednu i dodatkom jednom:

Aand-0 = 0, Aand-1 = A-Aor-0 = A, Aor-1 = 1.

idempotency To nam govori da ako relativno dvije jednake operanda rezultat rada je isti, možete „baciti” višak komplicirati rasuđivanje operanada. Oba veza i razdvajanje su idempotentne operacije.

Б-Б-Б-Б-Б-Б = Б.

unos također nam omogućuje pojednostavljivanje jednadžbi. Apsorpcija navodi da kada se operacija s istim operandom primjenjuje na izraz s jednim operandom, rezultat je operand iz apsorbirane operacije.

A-bor-B = B- (Aor-B) i B = B.

Slijed poslovanja

Sekvenca operacija nema malu važnost. Zapravo, kao i za algebra, postoji prioritet funkcija koji koriste Booleove algebre. Formule se mogu pojednostaviti samo ako se promatra važnost operacija. Rangiranje od najznačajnijih do manje, dobivamo sljedeći redoslijed:

1. odbijanje.

2. Povezivanje.

3. Isključenje osim OR.

4. Implikacija, ekvivalencija.

Kao što vidimo, samo poricanje i veze nemaju jednaki prioritet. A prioritet disjunkcije i ekskluzivne OR jednako su jednako kao i prioriteti implikacije i ekvivalencije.

Implikacije i ekvivalentne funkcije

Kao što smo već rekli, osim osnovnih logičkih operacija, matematička logika i teorija algoritama koriste derivate. Najčešće korištena implikacija i ekvivalentnost.

Implikacija ili logično praćenje je izjava u kojoj je jedna radnja uvjet, a druga je posljedica njegovog ispunjenja. Drugim riječima, ova rečenica s izgovorima "ako ... onda". "Voliš voziti, voljeti i sanjati za nošenje." To znači, za klizanje je potrebno zategnuti sanjke na brdo. Ako nema želje za napuštanjem planine, ne morate nositi sanjke. Napisano je ovako: A → B ili ArArr-B.

Ekvivalencija pretpostavlja da se dobivena akcija događa samo kada su oba operanda istinita. Na primjer, noć je zamijenjena danom tada (i tek tada), kada sunce izlazi iz horizonta. Na jeziku matematičke logike, ova izjava je napisana kao: Aequiv-B, AhArr-B, A == B.

Drugi zakoni algebre Boole

Proces algebre razvija, a mnogi zainteresirani znanstvenici formulirali su nove zakone. Najpoznatiji su postulati škotskog matematičara O. de Morgan. Primijetio je i definirao takva svojstva kao bliske negacije, dodavanja i dvostruke negacije.

Zatvori negacija sugerira da ne postoji jedna negacija prije zagrada: ne (A ili B) = nije A ni B

Kada je operand negiran, bez obzira na značenje, dodatak:

Band-ne-B = 0- Bor-ne-B = 1.

I konačno, dvostruko negiranje nadoknađuje. tj Prije operanda negacija nestaje, ili ostaje samo jedan.

Kako riješiti testove

Matematička logika podrazumijeva pojednostavljenje danih jednadžbi. Baš kao u laži algebra, potrebno je maksimalno olakšao prvi uvjet (da biste dobili osloboditi od kompliciranih ulaznih operacije, i sa njima), a zatim početi u potrazi za točan odgovor.

Što možemo učiniti kako bismo pojednostavili stvari? Pretvorite sve izvedene operacije na jednostavne. Zatim otvorite sve zagrade (ili obrnuto, ispisati zagrade kako biste skratili ovaj element). Sljedeći korak je primjena svojstava algrave Boole u praksi (apsorpcija, svojstva nula i jedinica, itd.).

U konačnici, jednadžba mora sadržavati minimalni broj nepoznatih, ujedinjenih jednostavnim operacijama. Najlakše je tražiti rješenje ako se postigne veliki broj bliskih negacija. Tada će se odgovor pojaviti kao da sam.