Принцип Дирихле. Наглядность и простота в решении задач различной сложности

Немецкого математика Дирихле Петера Густава Лежёна (13.02.1805 - 05.05.1859) знают как основателя принципа, названого его именем. Но кроме теории, традиционно объясняемой на примере "зайцев и клеток", на счету иностранного члена-корреспондента Петербургской академии наук, члена Лондонского королевского общества, Парижской академии наук, Берлинской академии наук, профессора Берлинского и Гёттингенского университетов множество трудов по математическому анализу и теории чисел.

Он не только ввёл в математику всем известный принцип, Дирихле также смог доказать теорему о бесконечно большом числе простых чисел, которые существуют в любой арифметической прогрессии из целых чисел с определенным условием. А условие это заключается в том, что первый член её и разность - числа взаимно простые.

Он подверг тщательному изучению закон распределения чисел простых, которые свойственны арифметическим прогрессиям. Дирихле ввел функциональные ряды, обладающие особым видом, ему удалось в части математического анализа впервые точно сформулировать и исследовать понятие условной сходимости и установить признак сходимости ряда, дать строгое доказательство возможности разложить в ряд Фурье функцию, которая имеет конечное число, как максимумов, так и минимумов. Не оставил без внимания в своих работах Дирихле вопросы механики и математической физики (принцип Дирихле для теории гармонической функции).

Уникальность разработанного немецким учёным метода заключается в его наглядной простоте, которая позволяет изучать принцип Дирихле в начальной школе. Универсальный инструмент для решения широкого спектра задач, который применяют как для доказательства простых теорем в геометрии, так и для решения сложных логических и математических задач.

Доступность и простота метода позволила использовать для его объяснения наглядно игровой способ. Сложное и немного запутанное выражение, формулирующее принцип Дирихле, имеет вид: «Для множества из N элементов, разбитого на некое количество непересекающихся частей – n (общие элементы отсутствуют), при условии N>n, хотя бы одна часть будет содержать более, чем один элемент». Его решили удачно перефразировать, для этого с целью получения наглядности пришлось заменить N на «зайцев», а n на «клетки», и заумное выражение получило вид: «При условии, что зайцев хотя бы на единицу больше, чем клеток, всегда найдётся хотя бы одна клетка, в которую попадёт два и больше зайца».

Данный метод логического рассуждения ещё носит название от противного, он получил широкую известность как принцип Дирихле. Задачи, которые решаются при его использовании, самые разнообразные. Не вдаваясь в подробное описание решения, применяется принцип Дирихле с одинаковым успехом как для доказательства простых геометрических и логических задач, так и ложится основой умозаключений при рассмотрении проблем высшей математики.

Сторонники использования данного метода утверждает, что основная трудность использования метода, это определить, какие данные подпадают под определение «зайцев», а какие следует рассматривать как «клетки».

В задаче о прямой и треугольнике, лежащих в одной плоскости, при необходимости доказать, что она не может пересекать сразу три стороны, в качестве ограничения используется одно условие – прямая не проходит ни через одну высоту треугольника. В качестве «зайцев» рассматриваем высоты треугольника, а «клетками» являются две полуплоскости, которые лежат по обе стороны прямой. Очевидно, что как минимум две высоты окажутся в одной из полуплоскости, соответственно, отрезок, который они ограничивают, прямой не пресекается, что и требовалось доказать.

Также просто и лаконично используется принцип Дирихле в логической задаче о послах и вымпелах. За круглым столом расположились послы различных государств, а вот флаги их стран расположены по периметру так, что каждый посол оказался рядом с символом чужой страны. Необходимо доказать существование такого положения, когда хотя бы два флага будут находиться возле представителей соответствующих стран. Если принять послов за «зайцев», а «клетками» обозначить оставшиеся положения при вращении стола (их уже будет меньше на единицу), то задача приходит к решению сама собой.

Эти два примера приведены для того, чтобы показать, как легко решаются запутанные проблемы при использовании метода, разработанного немецким математиком.