Derivativi brojeva: metode izračuna i primjeri

Vjerojatno je pojam derivata poznat svakom od nas iz škole. Obično, učenici imaju poteškoća u razumijevanju ove, nedvojbeno, vrlo važne stvari. Aktivno se koristi u različitim područjima života ljudi, a mnogi inženjerski razvoj temelje se na matematičkim proračunima dobivenim uz pomoć derivata. No, prije nego što nastavimo analizirati što su izvedenice brojeva, kako ih izračunati i gdje će nam biti korisni, povucimo se malo u povijest.

priča

Pojam derivata, koja je osnova matematičke analize, to je bio otvoren (još bolje reći „izmislio”, jer je, kao takva, ne postoji u prirodi) Isaac Newton, koji svi mi znamo od otkrića zakona gravitacije. On je bio taj koji je prvi koristio ovaj pojam u fizici za obvezujuće naravi brzinu i ubrzanje tijela. I mnogi znanstvenici još uvijek hvale Newton za veličanstveni izum, jer u stvari on je izumio osnovu diferencijalna i integralni račun, činjenične osnove cijelog područja matematike pod nazivom „matematička analiza”. Bilo je to tada Nobelova nagrada, Newton bi ga najvjerojatnije nekoliko puta primio.

Ne bez drugih sjajnih umova. Uz Newton, takvi eminentni genijevi matematike kao Leonard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz radili su na razvoju izvedenice i cjelovitosti. Zahvaljujući njima imamo teoriju diferencijalni račun u obliku u kojem postoji do danas. Usput, ovaj Leibniz otkrio je geometrijsko značenje derivata, što se pokazalo kao ništa više od tangente kutnog nagiba tangente na grafikon funkcije.

Koji su izvedeni brojevi? Ponavljat ćemo malo što je prošlo u školi.

Što je derivat?

Taj koncept možete definirati na nekoliko različitih načina. Najjednostavnije objašnjenje: derivat je brzina promjene funkcije. Mi predstavljaju grafikon neke funkcije y od x. Ako ovo nije ravno, onda u njemu ima nekih savijanja, razdoblja povećanja i smanjenja. Ako uzmemo beskonačno mali interval ovog grafikona, to će biti pravocrtni segment. Dakle, omjer veličine ovog beskonačno malog segmenta duž koordinate y prema veličini koordinata x i koji će biti derivat datirane funkcije u određenoj točki. Ako uzmemo u obzir funkciju u cjelini, a ne na određenoj točki, onda dobivamo funkciju derivata, to jest, određenu ovisnost igre na x.

Osim toga, osim toga fizičko značenje derivata jer je stopa promjene funkcije također geometrijski značenje. O njemu sada razgovaramo.

Geometrijsko značenje

Derivativi brojeva u sebi predstavljaju određeni broj koji bez odgovarajućeg razumijevanja nema nikakvog smisla. Ispada da derivat ne pokazuje samo brzinu rasta ili smanjenja funkcije, nego i tangenta kuta nagiba tangente na grafikon funkcije u danoj točki. Nije sasvim jasna definicija. Proučimo ga detaljnije. Pretpostavimo da imamo grafikon funkcije (za interes, uzmimo krivulju). Ima beskonačan broj bodova, ali postoje područja gdje je samo jedna točka maksimalno ili minimalno. Kroz takvu točku možete nacrtati liniju koja je okomita na grafikon funkcije u toj točki. Takva će se linija nazvati tangentom. Pretpostavimo da smo ga vodili do raskrižja s OX-osi. Dakle, kut između tangente i OX osi će biti određen derivatom. Ili, tangenta ovog kuta bit će jednaka njoj.

Razgovarajmo o pojedinim slučajevima i analizirali izvedene brojeve.

Posebni slučajevi

Kao što smo već rekli, derivati ​​brojeva su vrijednosti derivata u određenoj točki. Na primjer, uzmite funkciju y = x². Derivat x je broj, au općem slučaju funkcija jednaka 2x *. Ako trebamo izračunati derivat, recimo, u točki x₀= 1, tada dobivamo y `(1) = 2 * 1 = 2. Vrlo je jednostavno. Zanimljiv slučaj je derivat kompleksni broj. Nećemo ući u detaljno objašnjenje što je kompleksan broj. Dovoljno je reći da je taj broj koji sadrži tzv imaginarnu jedinicu - broj čiji je kvadrat jednak -1. Izračun takvog derivata moguće je samo ako postoje sljedeći uvjeti:

1) Mora postojati prvog reda parcijalne derivate realni i imaginarni dio od Y i X.

2) Cauchy-Riemannovi uvjeti povezani s jednakošću parcijalnih derivata opisanih u prvom pododjeljku su zadovoljeni.

Još jedan zanimljiv slučaj, iako ne tako složen kao prethodni, je derivat negativnog broja. Zapravo, svaki negativni broj može se prikazati kao pozitivan, pomnožen s -1. Ali derivat stalne i funkcije jednaka je konstanta pomnožen derivatom funkcije.

Bit će zanimljivo saznati ulogu derivata u svakodnevnom životu, i to je ono što sada raspravljamo.

primjena

Vjerojatno, svatko od nas barem jednom u životu hvata sebe misleći da matematika je teško korisno za njega. I tako složena stvar kao i izvedenica vjerojatno nema nikakvu primjenu. Zapravo, matematika je temeljna znanost, a svi njegovi plodovi pretežno se temelje na fizici, kemiji, astronomiji pa čak i ekonomiji. Derivat je označio početak matematička analiza, koji nam je dao priliku izvući zaključke iz grafova funkcija, a mi smo naučili tumačiti zakone prirode i pretvoriti ih u svoju prednost zbog toga.

zaključak

Naravno, ne moraju svi imati derivata u stvarnom životu. Ali matematika razvija logiku, koja će zasigurno biti potrebna. Nije ništa nimalo matematika koja se naziva kraljica znanosti: ona je temelj za razumijevanje drugih područja znanja.