Osnove matematičke analize. Kako pronaći derivat?

Derivat neke funkcije f (x) na određenoj točki x0 je granica omjera inkrementa funkcije na inkrement argumenta, pod uvjetom da x slijedi do 0, a granica postoji. Derivat je obično označen premazom, ponekad točkom ili diferencijalom. Često, zapis privučen preko granice je pogrešan, budući da se takva reprezentacija koristi vrlo rijetko.

U toj se fazi funkcija koja ima derivat na određenoj točki x0 može razlikovati. Pretpostavimo da je D1 skup točaka na kojima je f diferenciran. Poravnavanjem svake od njih broj x koji pripadaju D frsquo- (x) dobivamo funkciju s domenom zapisa D1. Ova funkcija je derivat y = f (x). Označava se kao: frsquo- (x).

Osim toga, derivat je naširoko koristi u fizici i inženjerstvu. Uzmimo u obzir najjednostavniji primjer. Materijalna točka se kreće duž osi koordinata izravno, pri čemu se daje prava gibanja, tj. Koordinata x ove točke poznata je funkcija x (t). U vremenskom intervalu od t0 na t0 + t jednak pomak točke x (t0 + t) -X (T0) = X, a prosječna brzina v (t) jednaka x / t.

Ponekad je karakter kretanja prikazan na takav način da se, za male vremenske intervale, prosječna brzina ne mijenja, što znači da se kretanje smatra jedinstvenijim, s većim stupnjem točnosti. ili prosječna vrijednost brzine ako t0 slijedi do neke apsolutno točne vrijednosti, koja se naziva trenutna brzina v (t0) ove točke u određenom trenutku vremena t. Pretpostavlja se da je trenutna brzina v (t) poznata za svaku diferenciranu funkciju x (t), pri čemu v (t) je jednak xrsquo- (t). Jednostavno rečeno, brzina je izvedenica vremenske koordinate.

Trenutna brzina ima i pozitivne i negativne vrijednosti, a vrijednost je 0. Ako je za određeni vremenski interval (T1-T2) pozitivan, tada se točka pomiče u istom smjeru, tj, x (t) koordinatni povećava s vremenom, a ako v (t) je negativan, tada se koordinata x (t) smanjuje.

U složenijim slučajevima, točka se kreće u ravnini ili u prostoru. Tada je brzina vektorska veličina i određuje svaku od koordinata vektora v (t).

Slično se može usporediti s ubrzanjem gibanja točke. Brzina je funkcija vremena, tj. V = v (t). A derivat takve funkcije je ubrzanje gibanja: a = vrsquo- (t). To jest, ispada da je derivat brzine u odnosu na vrijeme ubrzanje.

Pretpostavimo da je y = f (x) bilo koja funkcija razlikovanja. Tada možemo uzeti u obzir prijedlog materijalne točke koordinatni redak, koji se javlja iza zakona x = f (t). Mehanički sadržaj derivata omogućuje vizualno tumačenje teorema diferencijalni račun.

Kako pronaći derivat? Pronalaženje derivata funkcije naziva se njezina diferencijacija.

Dati ćemo primjere kako pronaći izvedenu funkciju:

Derivat stalne funkcije je nula, derivat funkcije y = x jednak je jednoj.

I kako pronaći frakturu? Da biste to učinili, razmotrite sljedeći materijal:

Za bilo koji x0<> 0 imamo

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Postoji nekoliko pravila za pronalaženje derivata. Naime:

Ako se funkcije A i B diferenciraju na točki x0, tada se njihov zbroj razlikuje u točki: (A + B) rsquo- = Arsquo- + Brsquo-. Jednostavno rečeno, derivat suma je jednak zbroju derivata. Ako se funkcija diferencira u nekom trenutku, tada njegov inkrement ide na nulu kada je povećanje argumenta nula.

Ako su funkcije A i B diferencirane na točki x0, tada se njihov proizvod razlikuje u točki: (A * B) rsquo- = Arsquo-B + ABqquo-. (Vrijednosti funkcija i njihovih derivata izračunavaju se na točki x0). Ako je funkcija A (x) diferencirana na točki x0, a C je konstanta, onda se CA razlikuje u ovom trenutku i (CA) rsquo = CArsquo. To je, takav konstantni faktor uzima se kao znak derivata.

Ako je funkcija A i B su diferencirane točke x0, a funkcija B nije jednak nuli, tada njihov omjer se također razlikuju u: (A / B) - = ć (Arsquo-B-ABrsquo -) / B * B