Potpuna istraga funkcije i diferencijalnog proračuna

Nakon što smo dobili opsežna znanja u radu s funkcijama, naoružani smo s dovoljno skupa alata koji nam omogućuju provođenje cjelovite studije specifično specificirane matematičke regularnosti u obliku formule (funkcije). Naravno, mogao bi ići na najjednostavniji, ali mukotrpan način. Na primjer, odredite granice argumenta, odaberite interval, izračunajte vrijednosti funkcije na njemu i iscrtajte grafikon. S moćnim suvremenim računalnim sustavima ovaj se problem rješava za nekoliko sekundi. Ali uklonite iz svog arsenala puna funkcionalno istraživanje

I tek nakon cjelovite provjere funkcije, može se uvjeriti da se sve nijanse "ponašanja" ne uzimaju u obzir ne u intervalima uzorkovanja, nego u cijelom rasponu argumenata.

Za rješavanje velikog broja problema u području fizike, matematike i tehnologije, potrebno je provesti studij funkcionalna ovisnost između varijabli koje sudjeluju u fenomenu koji se razmatra. Potonji, analitički s jednim ili skupom nekoliko formula, omogućuje nam da provedemo istraživanja pomoću metoda matematičke analitike.

Provođenje cjelovite pretrage funkcije je otkrivanje i utvrđivanje područja na kojima se povećava (smanjuje), gdje doseže maksimum (minimum), kao i druge značajke njegovog rasporeda.

Postoje određene sheme na kojima treba provesti cjelovito proučavanje ove funkcije. Primjeri popisa provedenih matematičkih istraživanja smanjuju se na pronalaženje gotovo identičnih trenutaka. Približan plan analize uključuje sljedeće studije:

- pronaći domenu definicije funkcije, istražiti ponašanje unutar njegovih granica;

- nalazima diskontinuiteta nalazimo klasifikacijom jednostranim granicama;

- definiramo asimptote;

- nalazimo ekstremne točke i intervala monotoničnosti;

- Određujemo točke infleksije, intervalu konkavnosti i konveksnosti;

- izrađujemo grafikon na temelju rezultata dobivenih tijekom studije.

Uzimajući u obzir samo neke stavke u ovom planu, valja istaknuti da je diferencijalni račun pokazao vrlo uspješnim sredstvom za istraživanje funkcije. Postoje prilično jednostavne veze između ponašanja funkcije i karakteristika njegovog derivata. Da bi se riješio taj problem, dovoljno je izračunati prvi i drugi derivat.

Razmotriti redoslijed pronalaženja intervala smanjenja, povećavajući funkciju, također su dobili naziv intervala monotoničnosti.

Za to je dovoljno odrediti znak prvog derivata u određenom intervalu. Ako je na segmentu stalno veći od nule, možemo sigurno procijeniti monotonično povećanje funkcije u tom rasponu i obratno. Negativne vrijednosti prvog derivata karakteriziraju funkciju kao monotonno smanjenje.

Pomoću izračunatog derivata određujemo dijelove grafikona, nazvane konveksnosti, kao i konkavnosti funkcije. Dokazano je ako se tijekom izračuna izvedenica kontinuirana funkcija i negativno, to označava konveksnost, kontinuitet drugog derivata i njegova pozitivna vrijednost označava konkavnost grafikona.

Pronalaženje trenutka kada postoji znak promjene u drugom derivatu ili dijelovima gdje ona ne postoji upućuje na definiciju točke infleksije. To je granica u intervalima konveksnosti i konkavnosti.

Potpuna istraga o funkciji ne završava na gore navedenim točkama, ali korištenje diferencijalni račun uvelike pojednostavljuje taj proces. U ovom slučaju, rezultati analize imaju maksimalni stupanj pouzdanosti, što omogućuje izradu grafikona koji u potpunosti odgovara svojstvima funkcija koje se proučavaju.