Redovita polyhedra: elementi, simetrija i područje

Geometrija je lijepa u tome, za razliku od algebre, gdje nije uvijek jasno što i zašto misliš, daje vidljivost objekta. Ovaj zadivljujući svijet različitih tijela ukrašen je redovitom polyhedra.

Opće informacije o redovnoj polyhedra

Prema mnogima, redovita polyhedra, ili kako ih zovu platonijska tijela, imaju jedinstvena svojstva. Nekoliko je znanstvenih hipoteza povezano s tim objektima. Kada početi učiti geometrijskih podataka u tijelu, shvatit ćete da gotovo ne znaju ništa o takvom konceptu kao regularnom poliedra. Prezentacija tih objekata u školi nije uvijek zanimljiva, pa mnogi ne sjećaju što su bili pozvani. U sjećanje na većinu ljudi, ostaje samo kocka. Nijedna od tijela geometrije nema takvu savršenost kao i redovita polyhedra. Svi nazivi ovih geometrijskih tijela potječu iz antičke Grčke. Oni predstavljaju broj lica: tetraedar - četverostrana, heksahedron - Allen, oktaedar - osmerokut, dodekaedar - dodecahedral, ikozaedra - icosahedral. Sva ta geometrijska tijela zauzeli su najvažnije mjesto u konceptu Platona o svemiru. Četiri od njih su utjelovljena elemente ili entitete: tetraedar - vatra, ikozaedra - kocka voda - zemlja, oktaedar - zrak. Dodekaedar je utjelovio sve što postoji. Smatrao se glavnim, jer je bio simbol svemira.

Generalizacija koncepta poliedra

Poliedron je zbirka konačnog broja poligona tako da:

• svaka strana bilo kojeg od poligona istodobno je strana samo jednog drugog poligona na istoj strani;
• iz svakog od poligona može se ići na drugi prolazeći poligonima uz njega.

Poligoni koji čine poliedar su lica, a njihove strane su rubovi. Poligoni su vrhovi poligona. Ako se pojam poligona podrazumijeva kao ravnina zatvorena poligonalna linija, tada dolaze do iste definicije poliedra. U slučaju kada taj pojam znači dio ravnine koja je omeđena presječenim crtama, potrebno je razumjeti površinu koja se sastoji od poligonalnih komada. Konveksni polyhedron Pozivamo tijelo koje leži na jednoj strani ravnine uz njegovo lice.

Druga definicija poliedra i njegovih elemenata

Poliedron je površina koja se sastoji od poligona koji graniče geometrijsko tijelo. Oni su:

• non-konveksan;
• konveksan (desno i pogrešno).

Redoviti polyhedron je konveksni polyhedron s maksimalnom simetrijom. Elementi redovite poliedre:

• tetraedar: 6 rubova, 4 lica, 5 vrhova;
• heksahedron (kocka): 12, 6, 8;
• dodekahedron: 30, 12, 20;
• oktaedron: 12, 8, 6;
• icosaedar: 30, 20, 12.

Eulerov teorem

Ona uspostavlja odnos između broja rubova, vrhova i lica su topološki ekvivalentan sferi. Dodavanje broj vrhova i lica (B + D), imati različite redovito poliedra i usporedbom s brojem rebara, moguće je postaviti jedan pravilo: zbroj broja lica jednak broju vrhova i rubova (P) povećan je 2. Moguće je izvesti jednostavnu formulu:

• B + F = P + 2.

Ova formula vrijedi za sve konveksne poliedre.

Osnovne definicije

Koncept redovitog poliedra ne može se opisati u jednoj rečenici. To je više polisemantno i voluminozno. Da bi se tijelo prepoznalo kao takvo, potrebno je da odgovara nizu definicija. Dakle, geometrijsko tijelo će biti redoviti polyhedron kada su ispunjeni sljedeći uvjeti:

• konveksno;
• Isti broj rubova konvergira se na svakom od svojih vrhova;
• sva lica su redoviti poligoni jednaki jedan drugom;
• svi njegovi kružni kutovi su jednaki.

Svojstva redovite polyhedre

Postoji 5 različitih tipova redovite polyhedre:

1. Kocka (heksaedar) - ima ravni kut pri vrhu od 90 °. Ima kut od 3 stupca. Zbroj kutova ravnine na vrhu je 270 °.
2. Tetraedar je ravni kut na vrhu od 60 °. Ima kut od 3 stupca. Zbroj planarnih kutova na vrhu je 180 °.
3. Oktaedar je ravni kut na vrhu od 60 °. Ima kut od 4 kuta. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 240 °.
4. Dodekaedar je ravni kut u vrhu 108 °. Ima kut od 3 stupca. Zbroj planarnih kutova na vrhu je 324 °.
5. Icosahedron - ima ravni kut na vrhu - 60 °. Ima kut od 5 stupnjeva. Zbroj planarnih kutova na vrhu je 300 °.

Područje redovite polyhedre

Površina ovih geometrijskih tijela (S) izračunava se kao područje redovnog poligona pomnoženog brojem njegovih lica (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg pi- / p.

Volumen redovitog polyhedrona

Ova vrijednost se izračunava umnožak volumena redovito piramide čija je baza običnog poligona, broj lica, a visina je upisano polumjer kugle (r):

• V = 1: 3rS.

Volumeni redovite polyhedre

Kao i svako drugo geometrijsko tijelo, redovita polyhedra ima različite volumene. Slijedi formula za izračun:

• tetraedar: alfa-3radic-2: 12;
• oktaedar: alfa-3radic-2: 3;
• ikosaedr- alfa-x3;
• heksadar (kocka): 5 x alfa-x3 x (3 + radic-5): 12;
• dodekahedron: alfa-3 (15 + 7radic-5): 4.

Elementi redovite polyhedre

Heksahedron i oktaedron su dvojna geometrijska tijela. Drugim riječima, oni se mogu dobiti jedni od drugih u slučaju kada se gravitacijsko središte lica jedne uzima kao vrh druge, i obrnuto. Također, ikozaedar i dodekaedar su dvostruki. Samo je tetraedar dvostruki za sebe. Euklidom se može dobiti dodekaedar iz heksadera gradnjom "krovova" na licima kocke. Vrhovi tetraedara su bilo koji 4 vrhove kocke koja nije susjedna u parovima uz rub. Iz heksadera (kocke) moguće je dobiti drugu regularnu poliedru. Unatoč tome redoviti poligoni postoji bezbroj, postoji samo 5 redovitih polyhedra.

Radili redovitih poligona

Svakom od ovih geometrijskih tijela povezana su 3 koncentrična sfera:

• opisano, prolazi kroz svoje vrhove;
• Zapisano je, dodirujući svako njegovo lice u sredini;
• Srednji, dodirujući sva rebra u sredini.

Radijus opisane kuglice izračunava se sljedećom formulom:

• R = a: 2 x tg pi- / g x tg theta-: 2.

Polumjer kugle ispisanog izračunava se pomoću formule:

• R = a: 2 x ctg pi- / p x tg theta-: 2,

gdje theta- je dvostrani kut koji se nalazi između susjednih lica.

Polumjer sredine sredine može se izračunati sljedećom formulom:

• rho- = cos pi- / p: 2 sin pi- / h,

gdje je h vrijednost od 4,6, 6,10 ili 10. Omjer opisanih i ispisanih radijusa simetričan je s obzirom na p i q. Izračunava se prema formuli:

• R / r = tg pi- / p x tg pi- / q.

Simetrija polihedra

Simetrija redovne polyhedre uzrokuje glavni interes u tim geometrijskim tijelima. Razumljivo je takvo kretanje tijela u prostoru, koje ostavlja isti broj vrhova, lica i rubova. Drugim riječima, pod djelovanjem transformacije simetrije, rub, vrh ili lica ili zadržavaju svoj prvobitni položaj ili se pomiču na prvobitni položaj drugog ruba, drugog vrha ili lica.

Elementi simetrije redovite polyhedre su osebujni za sve takve geometrijske tijela. Ovdje govorimo o transformaciji identiteta, koja ostavlja bilo koju od točaka u izvornom položaju. Stoga, pri rotaciji poligonalnog prizma, može se dobiti nekoliko simetrija. Bilo koji od njih može biti zastupljen kao produkt refleksije. Simetrija, koja je rezultat parnog broja refleksije, naziva se redom. Ako je rezultat neparnog broja refleksija, onda se naziva inverzno. Dakle, sva rotacija oko ravne linije predstavljaju izravnu simetriju. Svako odsjaj poliedra je inverzna simetrija.

Da bismo bolje razumjeli elemente simetrije redovite polyhedre, možemo uzeti primjer tetraedra. Svaka ravna crta koja prolazi kroz jedan od vrhova i središte toga geometrijska slika, proći će kroz središte lica suprotno njoj. Svaki od pletiva na 120 i 240 ° oko linije pripada množini simetrija tetraedra. Budući da ima 4 vrhova i lica, postoji samo osam izravnih simetrija. Bilo koja od ravnih linija koja prolaze kroz sredinu rebra i središte tijela prolazi kroz sredinu suprotnog ruba. Svaka rotacija od 180 °, nazvana polukrug, oko linije je simetrija. Budući da tetraedar ima tri para rubova, tada postoje još tri izravne simetrije. Iz gore navedenog možemo zaključiti da će ukupan broj izravnih simetrija, uključujući identičnu transformaciju, dosegnuti dvanaest. Nema drugih izravnih simetrija za tetraedar, ali ima 12 inverznih simetrija. Posljedično tome, tetraedar karakterizira samo 24 simetrija. Radi jasnoće, možete izraditi model regularnog tetraedra iz kartona i uvjerite se da ovo geometrijsko tijelo stvarno ima samo 24 simetrije.

Dodekaedar i icosahedron su tijela najbliža sferi. Ikosaedar ima najveći broj lica, najveći dihedral kut, a najbliži može biti na upisanom sferi. Dodekaedar ima najmanji kutni kvar, najveći čvrsti kut pri vrhu. On može ispuniti opisani opseg što je više moguće.

Postavljanje polihedra

Ispravan poliedri pomaka, koji smo svi zalijepljeni zajedno u djetinjstvu, imaju mnogo pojmova. Ako postoji skup poligona, od kojih je svaka strana identificirana samo s jednom stranom poliedra, tada identifikacija stranica mora odgovarati dvama uvjetima:

• iz svakog poligona moguće je proći poligone koji imaju identificiranu stranu;
• stranke koje se mogu identificirati moraju imati istu duljinu.

To je zbirka poligona koji zadovoljavaju ove uvjete koji se zovu razvijanje polyhedrona. Svako od tih tijela ima nekoliko njih. Tako, na primjer, kocka ima 11 komada.