Poliedra. Vrste polihedra i njihova svojstva

Polyhedra ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, nego se također pojavljuju u svakodnevnom životu svake osobe. Da ne spominjem umjetnom stavke koje se odnose na različite poligona, počevši od kutija šibica, a završava arhitektonskih elemenata u prirodi također se javljaju kristale u obliku kocke (sol), prizme (kristal), piramida (šelova olovna ruda), oktaedrima (dijamant), itd d.,

Koncept poliedra, vrste poliedra u geometriji

Geometrija kao znanost sadrži dio stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva volumetrije figure. geometrijski Tijela čije su strane u trodimenzionalnom prostoru oblikovane ograničenim ravninama (lica) nazivaju se "polyhedra". Vrste poliedra broj više od desetak zastupnika, razlikuju se po broju i obliku lica.

Ipak, sve poliedre imaju zajednička svojstva:

1. Svi oni imaju tri međusobno povezane komponente: lice (poligonalna površine), vrh (kutovi formirana u spoju tlu aspekte), na rubu (strana ili izrezati oblike nastale na spoju dva lica).
2. Svaki rub poligona spaja dva, a samo dva lica koja su međusobno susjedna.
3. Konveksnost znači da se tijelo potpuno nalazi samo na jednoj strani ravnine na kojoj leži jedna od lica. Pravilo se primjenjuje na sva lica polyhedra. Takve geometrijske figure stereometrije nazivaju se konveksna poliedra. Iznimka je zvijezda polyhedra, koji su derivati ​​redovitih poliedrijskih geometrijskih tijela.

Polyhedra se uvjetno dijeli na:

1. Vrste konveksnog poliedra, koji se sastoji od slijedećih skupina: uobičajeni klasični ili (prizme, piramide, kutija), desno (također nazvan Platon krutine), semiregular (drugi naziv - Arhimedov krutine).
2. Nonconvex polyhedra (zvjezdast).

Prizma i njegova svojstva

Stereometrija kao dio geometrije proučava osobine trodimenzionalnih figura, tipova poliedara (prizma u njihovom broju). Prizma naziva geometrijski tijelo koje je potrebna dva identična lica (nazivaju baza) leži u paralelnim ravninama, i n-og strani okrenuta u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizam također ima nekoliko sorti, uključujući takve vrste polihedra kao:

1. Paralelepiped - nastaje ako postoji paralelogram u polju - poligon s 2 parova jednakih suprotnih kutova i dva para kongruentnih suprotnih strana.
2. Ravni prizmi imaju okomite rubove do baze.
3. Nagnuti prizmu karakterizira prisutnost neizravnih kutova (osim 90) između lica i baze.
4. Ispravan prizmu karakteriziraju baze u obliku redoviti poligon s jednakim bočnim lica.

Osnovna svojstva prizma:

• Kongruentne baze.
• Svi rubovi prizme su jednaki i međusobno paralelni.
• Sva bočna lica imaju oblik paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko tijelo koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trokutastog lica koji se spajaju u jednom trenutku - vrhom. Treba napomenuti da, ako je potrebno su bočne strane piramide su zastupa trokuta, tada se baza može biti poput trokutaste poligona ili četverokuta i peteročlanog, i tako dalje u nedogled. Ime piramide će odgovarati poligonu na dnu. Na primjer, ako je baza trokuta piramida - trokutasti piramida, četverostrana - četvrtasta, itd ...

Piramide su konusno nalik poliedru. Vrste poliedara ove grupe, pored gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

1. Redovna piramida ima pravilan poligon u podnožju, a njegova visina projicira se u središte kruga upisanog u bazu ili opisan oko nje.
2. Pravokutna piramida se stvara kada jedan od bočnih rubova krijesa s bazom pod pravim kutom. U ovom slučaju, ovaj rub se također s pravom naziva visina piramide.

Svojstva piramide:

• U slučaju kada svi bočni bridovi podudarnih piramide (iste visine), svi su preklapaju s bazom u jednom kutu, oko baze može nacrtati krug sa središtem poklapa sa projekciji vrha piramide.
• Ako na dnu piramide postoji redoviti poligon, onda su svi bočni rubovi sukladni, a lica su jednodijelni trokuti.

Ispravan polyhedron: vrste i svojstva poliedra

U stereometriji, posebno mjesto zauzima geometrijska tijela s apsolutno jednakim licima, na čijim vrhovima su povezani isti broj rubova. Ta tijela nazivaju se Platonovim tijelima, ili redovita polyhedra. Vrste polihedra s tim svojstvima imaju samo pet znamenki:

1. Tetraedar.
2. Heksahedron.
3. Oktaedar.
4. Dodekaedar.
5. Ikozaedra.

Njegovo ime redovne polyhedra dužni su drevni grčki filozof Platon opisao te geometrijskih tijela u svom radu i da ih spojiti s elementima prirode: zemlje, vode, vatre, zraka. Peta figura dobila je sličnost sa strukturom svemira. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata slični su oblika redovite polyhedre. Zahvaljujući najspektakularnija značajku - simetrije, ovi geometrijski oblici velikog interesa ne samo za drevne matematičara i filozofa, ali i za arhitekata, slikara i kipara svih vremena. Prisutnost samo 5 tipova polyhedra s apsolutnom simetrijom smatralo se fundamentalnim nalazom, čak su im dodijeljene veze s božanskim početkom.

Hexahedron i njegova svojstva

U obliku šesterokuta, Platonovi nasljednici su imali sličnost s strukturom atoma Zemlje. Naravno, danas je ova hipoteza posve opovrgnuta, što međutim ne sprečava brojke, au modernim vremenima privlače umove poznatih osoba svojim estetikom.

U geometriji, heksadar, također kocka, smatra se posebnim slučajem paralelopipeda, koji je pak vrsta prizma. Prema tome, svojstva kocke odnose se na svojstva prizma s jedinom razlikom da su sva lica i kutovi kocke međusobno jednaki. To podrazumijeva sljedeća svojstva:

1. Svi rubovi kocke su kongruentni i leže u paralelnim ravninama međusobno.
2. Sva lica su kongruentni kvadratići (ima 6 u kocki), od kojih se bilo koja može uzeti kao baza.
3. Svi su difuzni kutovi jednaki 90.
4. Iz svakog vrha dolazi jednak broj rubova, odnosno 3.
5. Kocka ima 9 osi simetrije, koji se svi presijecaju na mjestu križanja dijagonala heksadoga, nazvanog središtem simetrije.

tetraedar

Tetrahedron je tetraedar s jednakim licima u obliku trokuta, od kojih je svaki vrh točka povezivanja triju lica.

Svojstva redovitog tetraedra:

1. Sva lica tetraedara su jednakostraničnih trokuta, iz koje slijedi da su sva lica tetraedra sukladna.
2. Budući da je baza prikazana pravilnom geometrijskom figurom, tj. Ima jednake strane, tada se površine tetraedrona konvergiraju pod istim kutom, tj. Da su svi kutovi jednaki.
3. Zbroj planarnih kutova na svakom od vrhova iznosi 180, budući da su svi kutovi jednaki, tada je svaki kut regularnog tetraedra 60.
4. Svaki od vrhova projicira se do točke križanja visina suprotnog (orthocenter) lica.

Octahedron i njegova svojstva

Opisujući vrste redovitog poliedra, treba napomenuti da je objekt kao octahedron, koja se može vizualno predstavlja kao dvije lijepe četverostrana baza redovnih piramida.

Svojstva oktaedara:

1. Upravo naziv geometrijskog tijela govori nam broj lica. Octagon se sastoji od 8 kongruentnih jednakostraničnih trokuta, u svakom vrhu od kojih je jednak broj lica, i to 4.
2. Budući da su sva lica oktaedra jednake, jednako su jednaki kutovi kutova, svaki jednaki 60, a zbroj planarnih kutova bilo kojeg od vrhova je stoga 240.

Dodekaedar

Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela redoviti pentagon, onda dobijemo dodekaedar - lik od 12 poligona.

Svojstva dodekaedra:

1. Svaki vrh presijeca tri lica.
2. Sva lica su jednaka i imaju iste duljine rubova, kao i jednako područje.
3. Dodekaedar ima 15 osovina i ravnine simetrije, a bilo koji od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu suprotnog ruba.

ikozaedra

Ništa manje zanimljiv od dodekaedra, icosaedron je opsežno geometrijsko tijelo s 20 jednakih lica. Među svojstvima redovitih dvadesetih strana može se primijetiti sljedeće:

1. Sva lica ikozaedara su jednoznačni trokuti.
2. Svaki vrh poliedra konvergira na pet lica, a zbroj susjednih kutova vrhova iznosi 300.
3. Ikosaedar ima, kao dodekaedar, 15 osi i ravnine simetrije prolazeći kroz središta suprotnih lica.

Polu-redoviti poligoni

Uz platonske čvrste tvari, skupina konveksnih polyhedra uključuje arhimedska tijela, koja su skraćena redovita polyhedra. Vrste poliedra ove grupe imaju sljedeća svojstva:

1. Geometrijskih tijela su jednake po parovima lica nekoliko vrsta, na primjer, skraćeni tetraedar je isti kao običan Tetrahedron, 8 lica, a u slučaju tijelo 4 Arhimedov lica trokutastog oblika i 4 - šesterokutnog.
2. Svi kutovi jednog vrška su sukladni.

Poliedra zvijezda

Predstavnici ogromnih vrsta geometrijskih tijela su zvijezda polihedra čija se lica međusobno križaju. Mogu se formirati spajanjem dviju regularnih trodimenzionalnih tijela ili kao rezultat nastavka njihovih lica.

Dakle, takva zvijezda polihedra kao što je poznato: oktaedron u obliku zvijezda, dodekaedar, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron.