Diferencijalni kalkulatori funkcije jedne i nekoliko varijabli

Diferencijalni račun je dio matematičke analize koji proučava derivate, razlike i njihovu upotrebu u proučavanju funkcija.

Povijest izgleda

Diferencijalni račun nastao kao samostalne discipline u drugoj polovici 17. stoljeća, zahvaljujući radu Newtona i Leibniza, koji je formulirao osnovne odredbe u izračun razlike i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od tog trenutka, disciplina se razvila zajedno s računom integrala, stvarajući tako temelj matematičke analize. Pojava tih kalkula otvorila je novo moderno razdoblje u matematičkom svijetu i uzrokovala pojavu novih disciplina u znanosti. Također je proširio mogućnost primjene matematičke znanosti u prirodnoj znanosti i tehnologiji.

Osnovni pojmovi

Diferencijalni račun se temelji na temeljnim konceptima matematike. Oni su: pravi broj, kontinuitet, funkcija i ograničenje. Nakon nekog vremena moderni su izgled, zahvaljujući integralnom i diferencijalnom računu.

Postupak stvaranja

Formiranje diferencijalnog raka u obliku primijenjene, a zatim i znanstvene metode, dogodilo se prije pojave filozofske teorije koju je stvorio Nikolaj Kuzansky. Njegov se rad smatra evolucionarnim razvojem iz prosudbi drevne znanosti. Unatoč tome što sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematičke znanosti je neporeciv. Kuzansky je bio jedan od prvih koji je ostavio razmatranje aritmetike kao najtočnije područje znanosti, stavljajući matematiku tog vremena pod sumnju.

U drevnim matematičarima, univerzalni kriterij bio je jedinica, dok je filozof ponudio kao novu mjeru beskonačnost umjesto točnog broja. S tim u vezi, prikaz točnosti u matematičkoj znanosti je obrnut. Znanstveno znanje, prema njemu, podijeljeno je na racionalno i intelektualno. Drugi je točniji, kaže znanstvenik, budući da prvi daje samo približni rezultat.

ideja

Osnovna ideja i koncept u diferencijalnom računu odnose se na funkciju u malim četvrtima pojedinih točaka. Zbog toga je potrebno stvoriti matematički aparat za istraživanje funkcije čije ponašanje u malom susjedstvu utvrđenih točaka je blizu ponašanja polinoma ili linearne funkcije. To se temelji na definiciji derivata i diferencijalu.

Pojava pojma derivata uzrokovana je velikim brojem problema iz prirodnih znanosti i matematike, što je dovelo do pronalaženja vrijednosti granica jednog tipa.

Jedan od glavnih zadataka koji se daju kao primjer, počevši od srednjoškolskih razreda, jest odrediti brzinu točke u ravnoj liniji i konstruirati tangentnu liniju ove krivulje. Razlika je povezana s tim, budući da je moguće približiti funkciju u malom susjedstvu točke linearnog funkcije u pitanju.

U usporedbi s pojam derivata funkcije stvarne varijable, definicija razlika jednostavno prelazi na funkciju opće naravi, osobito na sliku jednog Euklidskog prostora na drugu.

Derivat

Neka se točka pomakne uzduž osi Oy, u vrijeme kada uzmemo x, što se mjeri od određenog početka trenutka. Mo`emo opisati ovo pomicanje funkcijom y = f (x), koja je povezana sa svakim momentom x koordinate preseljene to ~ ke. Ova funkcija mehanike treba nazvati zakonom kretanja. Glavna karakteristika kretanja, naročito neujednačena, jest trenutna brzina. Kada se točka pomice uz osi Oy sukladno zakonu mehanike, tada slučajnim vremenom x dobiva koordinatnu f (x). U trenutku x + Delta-x, gdje Delta-x označava povećanje vremena, njegov će kadinat biti f (x + Delta-x). Tako je formirana formula Delta-y = f (x + Delta-x) -f (x), što se naziva inkrement funkcije. To je put koji prolazi kroz vrijeme od x do x + Delta-x.

U vezi s pojavom te brzine, derivat se uvodi u trenutku vremena. U proizvoljnoj funkciji derivat na fiksnoj točki zove se granica (pod uvjetom postojanja). Može se odrediti određenim simbolima:

frsquo (x), yrsquo, ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Proces izračuna derivata naziva se diferencijacija.

Diferencijalni račun funkcije nekoliko varijabli

Ova metoda proračuna koristi se u istraživanju funkcije s nekoliko varijabli. U prisutnosti dvije varijable x i y, djelomični derivat s obzirom na x u točki A se naziva derivat ove funkcije s obzirom na x s fiksnim y.

Može se označiti sljedećim znakovima:

(x) (x, y), ursquo- (x), dio-u / dio-x ili dio-f (x, y) rsquo- / dio-x.

Potrebne vještine

Da bi uspješno naučili i mogli riješiti difuzore, potrebne su vještine u integraciji i diferencijaciji. Da bismo lakše razumjeli diferencijalne jednadžbe, treba dobro razumjeti predmet derivata i neodređeni integral. Također ne boli što naučiti kako tražiti derivat implicitne funkcije. To je zbog činjenice da je u procesu proučavanja često potrebno koristiti integrale i diferencijaciju.

Vrste diferencijalnih jednadžbi

Praktično u svim kontrolnim radovima koji se odnose na diferencijalne jednadžbe prvog reda, Postoje 3 vrste jednadžbi: homogeni, s razdvojivim varijablama, linearni ne homogeni.

Postoje i rijetke vrste jednadžbi: s punim razlikama, Bernoullijevim jednadžbama i ostalima.

Osnove rješenja

Za početak, treba zapamtiti algebarske jednadžbe iz tečaja škole. Sadrže varijable i brojeve. Kako bi se riješila obična jednadžba, nužno je pronaći skup brojeva koji zadovoljavaju zadano stanje. U pravilu, takve jednadžbe imale su samo jedan korijen, a kako bi se provjerilo ispravnost, bilo je potrebno samo zamijeniti tu vrijednost za mjesto nepoznate.

Diferencijalna jednadžba je slična ovom. U općem slučaju, ova jednadžba jednadžbe uključuje:

• Nezavisna varijabla.
• Derivat prve funkcije.
• Funkcija ili zavisna varijabla.

U nekim slučajevima, postoji svibanj biti nitko ne zna, x ili y, ali to nije toliko važno koliko je potrebno da se prvi derivat, bez većih derivatima kako bi se rješenje i diferencijalnog računa bila istina.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe je pronaći skup svih funkcija koje odgovaraju danom izrazu. Takav skup funkcija često se zove opće rješenje DW-a.

Integralni račun

Integralni račun je jedan od dijelova matematičke analize koji proučava pojam integralnih svojstava i metoda njegovog računanja.

Često, izračun integralnog se događa pri izračunavanju područja krivudave figure. Pod tim područjem se misli na granicu kojoj područje poligona upisano u određenoj slici ima tendenciju da postepeno povećava svoju stranu, dok se te strane mogu izvesti manje od bilo koje prethodno navedene proizvoljne male vrijednosti.

Glavna ideja u izračunavanju područja proizvoljnog geometrijskog sloja je izračunati površinu pravokutnika, tj. Dokazati da je područje jednako produktu duljine i širine. Kad je riječ o geometriji, onda su sve konstrukcije izrađene pomoću ravnala i kompasa, a tada je omjer duljine do širine racionalna vrijednost. Prilikom izračunavanja područja pravokutnog trokuta, možete odrediti da ako stavite isti trokut pored njega, stvara se pravokutnik. U paralelogramu, područje se izračunava sličnom, ali malo kompliciranijom metodom, kroz pravokutnik i trokut. U poligonima se područje broji preko trokuta koji ulaze u njega.

Pri određivanju milosti proizvoljne krivulje ova metoda ne funkcionira. Ako ga podijelite u pojedinačne kvadrate, bit će praznih mjesta. U tom slučaju pokušajte upotrijebiti dva poklopca, s pravokutnicima na vrhu i dnu, što znači da oni uključuju grafikon funkcije i ne uključuju se. Važno je način razbijanja ovih pravokutnika. Isto tako, ako uzmemo sve više i više kvarova, tada područje iznad i ispod trebalo bi se približiti određenoj vrijednosti.

Potrebno je vratiti se načinu podjele u pravokutnike. Postoje dvije popularne metode.

Riemann je formalizirala definiciju cjeline koju su stvorili Leibniz i Newton kao područje podgrafa. U ovom smo slučaju razmatrali oblike koji se sastoje od više vertikalnih pravokutnika i dobiveni dijeljenjem segmenta. Kada postoji ograničenje za smanjenje loma, na koje se područje takvog broja smanjuje, ta se granica zove Riemannov integral funkcije u određenom intervalu.

Drugi način je da se konstruirati Lebesgue integral, koji se sastoji u tome da na mjestu odvajanja određenog područja na dijelu integrandu i prikuplja onda integralnu sumu vrijednosti dobivene na ovim prostorima, u intervalima podijeliti svoj raspon vrijednosti, a zatim zbrajaju s odgovarajućim mjerama inverzne slike tih integrala.

Suvremene pogodnosti

Jedan od glavnih priručnika za proučavanje diferencijalnog i integralnog računanja napisao je Fichtenholz, "Tečaj diferencijalnog i integralnog računanja". Njegov udžbenik temeljna je pomoć u proučavanju matematičke analize koja je izdržala mnoge publikacije i prijevode na druge jezike. Izrađen za studente i dugo se koristi u raznim obrazovnim ustanovama kao jedan od glavnih studijskih vodiča. Daje teorijske podatke i praktične vještine. Prvo je objavljeno 1948.

Algoritam funkcionalnih istraživanja

Da bi se istražile metode diferencijalne funkcije računanja, potrebno je slijediti već definiranu algoritam:

1. Pronađite domenu funkcije.
2. Pronađite korijene određene jednadžbe.
3. Izračunaj ekstrem. Da biste to učinili, izračunajte derivat i točke gdje je jednak nuli.
4. Zamijenili smo dobivenu vrijednost u jednadžbu.

Vrste diferencijalnih jednadžbi

DU prvog reda (drugim riječima, diferencijalni račun jedne varijable) i njihove vrste:

• Jednadžba s razdvojivim varijablama: f (y) dy = g (x) dx.
• Najjednostavnije jednadžbe, ili diferencijalni račun funkcije jedne varijable, imaju formulu: y `= f (x).
• Linearni homogeni DD prvog reda: y `+ P (x) y = Q (x).
• Bernoullijeva diferencijalna jednadžba: y `+ P (x) y = Q (x) y .
• Jednadžba s ukupnim razlikama: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihovih tipova:

• Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim vrijednostima koeficijenta: yⁿ+py `+ qy = 0 p, q pripada R.
• Linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnom vrijednošću koeficijenata: y<sup>n</sup>+py `+ qy = f (x).
• Linearna homogena diferencijalna jednadžba: yⁿ+p (x) y `+ q (x) y = 0, a ne homogena jednadžba drugog reda: y<sup>n</sup>+p (x) y `+ q (x) y = f (x).

Diferencijalne jednadžbe viših narudžbi i njihovih tipova:

• Diferencijalna jednadžba koja omogućuje smanjenje reda: F (x, y^(K),y^{(k + 1)},..,y^(N)= 0.
• Linearna jednadžba višeg reda je homogena: y^(N)+f_(N-1)y^(N-1)+...+f₁y `+ f<sub>0</sub>y = 0, i heterogenih: y<sup>(N)</sup>+f<sub>(N-1)</sub>y<sup>(N-1)</sup>+...+f<sub>1</sub>y `+ f₀y = f (x).

Koraci rješavanja problema s diferencijalnom jednadžbom

Uz pomoć DU-a rješavaju se ne samo matematička ili fizička pitanja već i različiti problemi iz biologije, ekonomije, sociologije i tako dalje. Unatoč širokom rasponu tema, treba slijediti jedan logički slijed u rješavanju takvih problema:

1. Izradu DM-a. Jedna od najtežih faza, koja zahtijeva maksimalnu točnost, jer će svaka pogreška dovesti do potpuno netočnih rezultata. Potrebno je uzeti u obzir sve čimbenike koji utječu na proces i odrediti početne uvjete. Također treba biti utemeljena na činjenicama i logičkim zaključcima.
2. Rješenje sastavljene jednadžbe. Ovaj proces je jednostavniji od prve točke, jer zahtijeva samo strogo izvođenje matematičkih proračuna.
3. Analiza i procjena rezultata. Dobivena otopina treba procijeniti kako bi se utvrdila praktična i teoretska vrijednost rezultata.

Primjer primjene diferencijalnih jednadžbi u medicini

U izradi epidemiološkog matematičkog modela susreće se uporaba DM u području medicine. Ne treba zaboraviti da ove jednadžbe se također naći u biologije i kemije, koji su blizu medicine, jer igra važnu ulogu proučavanje različitih bioloških populacija i kemijskih procesa u ljudskom tijelu.

U slučaju epidemije može se razmotriti širenje infekcije u izoliranom društvu. Stanovnici su podijeljeni u tri vrste:

• Zaražen, broj x (t), koji se sastoji od pojedinaca, nosača infekcije, od kojih je svaka zarazna (razdoblje inkubacije je kratko).
• Druga vrsta uključuje osjetljive pojedince od y (t), sposobne za ugovaranje kada su u kontaktu sa zaraženim.
• Treća vrsta uključuje ne-osjetljive pojedince z (t), koji su imuni ili umrli zbog bolesti.

Broj pojedinaca je konstantan, zapisnici o rođenju, prirodne smrti i migracije nisu uzeti u obzir. U osnovi će biti dvije hipoteze.

Posto bolesti u nekom vremenskom trenutku jednaka x (t) y (t) (na temelju pretpostavke o teoriji da je broj slučajeva u razmjeru s brojem raskrižja između pacijenata i odgovarajući članova, koja je u prvoj aproksimaciji proporcionalna x (t) y (t)), u stoga se broj slučajeva raste, a broj prijemljivih smanji na razinu koja se izračunava formulom osi y (t) (t) (a> 0).

Broj neosjetljivih pojedinaca koji su dobili imunitet ili umro povećava se brzinom proporcionalnom broju slučajeva, bx (t) (b> 0).

Kao rezultat toga, moguće je sastaviti sustav jednadžbi uzimajući u obzir sva tri pokazatelja i izvući zaključke na temelju njih.

Primjer upotrebe u ekonomiji

Diferencijalni račun se često koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak u ekonomskoj analizi je proučavanje količina iz gospodarstva, koje su napisane u obliku funkcije. To se koristi za rješavanje problema kao što su promjene prihoda odmah nakon povećanja poreza, uvođenja obveza, promjena prihoda poduzeća kada se promijeni vrijednost proizvodnje, u kojoj će se mjeri zamijenjeni zaposlenici zamijeniti novom opremom. Za rješavanje takvih pitanja, potrebno je izgraditi funkciju veze od dolaznih varijabli, koje se zatim proučavaju pomoću diferencijalnog računanja.

U ekonomskoj sferi često je potrebno pronaći najoptimalnije pokazatelje: maksimalnu produktivnost rada, najveći prihod, najmanje troškove i tako dalje. Svaki takav pokazatelj funkcija je jednog ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može smatrati funkcijom rashoda rada i kapitala. S tim u vezi, pronalaženje odgovarajuće vrijednosti može se smanjiti na traženje maksimalne ili minimalne funkcije jedne ili više varijabli.

Takvi problemi stvaraju klasu ekstremnih problema u gospodarskom polju, za koje je potreban diferencijalni račun. Kada je potreban ekonomski pokazatelj kako bi se smanjili ili povećali u funkciji drugih parametara, maksimalna točka funkcija omjer prirast argumentima će težiti nuli ako je prirast argumenta teži nuli. Inače, kada je takav stav ima tendenciju da određene pozitivne ili negativne vrijednosti, navedena točka ne odgovara, jer povećanjem ili smanjenjem argument može se mijenjaju, ovisno vrijednost u željenom smjeru. U terminologiji diferencijalnog računanja to znači da je uvjet za maksimalnu funkciju nula vrijednost njegovog derivata.

U ekonomiji često postoje problemi u pronalaženju ekstremiteta funkcije s nekoliko varijabli, jer se ekonomski pokazatelji sastoje od mnogih čimbenika. Slična pitanja dobro se proučavaju u teoriji funkcija nekoliko varijabli, koristeći metode diferencijalnog računanja. Takvi zadaci ne uključuju samo maksimizirane i minimizirane funkcije, ali i ograničenja. Slična pitanja se odnose na matematičko programiranje, a rješavaju se pomoću posebno razvijenih metoda, također temeljenih na ovom dijelu znanosti.

Među metodama diferencijalnog računanja koji se koristi u ekonomiji, važan je dio marginalna analiza. U ekonomskoj se sferi ovaj pojam odnosi na skup metoda za proučavanje varijabilnih pokazatelja i rezultata pri promjeni volumena stvaranja, potrošnje, na temelju analize njihovih granica. Ograničavajući indeks je derivatni ili djelomični derivat s nekoliko varijabli.

Različit račun nekoliko varijabli važna je tema polja matematičke analize. Za detaljnu studiju mogu se koristiti različiti nastavni pomagali za visokoškolske ustanove. Jedan od najpoznatijih stvorenih Fichtenholz - "Tečaj diferencijalnog i integralnog računa". Kao što je vidljivo iz naslova, vještine u radu s integralima su od velike važnosti za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Kada se postigne diferencijalni račun funkcije jedne varijable, rješenje postaje jednostavnije. Iako, treba napomenuti, ona poštuje ista osnovna pravila. Da bi se prakticirala funkcija u diferencijalnom računu, dovoljno je pratiti već raspoloživi algoritam koji se daje u gornjim razredima škole i tek je neznatno zamršen kada se upisuju nove varijable.