Što su razlike? Kako pronaći razliku funkcije?

Uz derivate funkcija, njihovi razlike su jedan od osnovnih pojmova diferencijalni račun,

Podrijetlo pojma diferencijal

Po prvi put je jasno da takvu razliku, jedan od osnivača (zajedno s Isaac Newton) Diferencijalni račun poznati njemački matematičar Gottfried Leibniz. Prije ovog matematičara 17 čl. koristiti vrlo nejasne i nejasne ideje o nekom infinitezimalni „nepodijeljena” od bilo koje poznate funkcije, što predstavlja vrlo mali stalnu vrijednost, ali nije jednaka nuli, ispod koje vrijednosti funkcija ne može biti jednostavno. Stoga samo jedan korak uvođenja pojmova infinitezimalnih koracima od funkcija i njihovih argumenata koracima od funkcija koje se mogu izraziti u terminima derivata potonje. I taj je korak gotovo istodobno učinio dva gore spomenuta velika znanstvenika.

Temelji se na potrebi rješavanja hitnih praktičnih mehanika probleme koji se suočavaju znanost razvija vrlo brzo industrije i tehnologije, Newton i Leibniz stvorili zajedničke načine pronalaženja funkcije stope promjene (osobito s obzirom na mehaničke brzine tijela poznatog putanje), što je dovelo do uvođenja tih koncepata, kao derivat funkcije i diferencijala, a također pronašao algoritam inverzni rješenja problema kao što je poznato sebi (varijable) po ubrzava prešao pronaći put koji je doveo do pojma sastavni Alabama

U spisima Leibniza i Newtona, prvi put se shvatio da su razlike proporcionalne povećanjima argumenata Delta-x glavni dijelovi inkrementa funkcija Delta-y, koji se može uspješno primijeniti za izračunavanje vrijednosti potonjeg. Drugim riječima, otkrili su da se povećanje funkcije može izraziti u bilo kojem trenutku (unutar domene njezine definicije) kroz svoj derivat kao Delta-y = y `(x) Delta-x + alfa-Delta-x, gdje alfa Delta-x je ostatak pojma koji nestaje kada Delta-x → 0, mnogo brže od samoga sebe Delta-x.

Prema osnivačima matanalize, razlike su samo prvi izrazi u izrazima za povećanja bilo koje funkcije. Ipak, bez jasno formuliranog koncepta granice sekvenci, intuitivno su shvatili da vrijednost diferencijalnog skreće na derivat funkcije za Delta-x → 0 - Delta-y / Delta-x → y `(x).

Za razliku od Newtona, koji je prije svega fizičar i matematički aparat smatra kao pomoćni alat za proučavanje fizičkih problema, Leibniz je platio više pozornosti na ovaj alat, uključujući i sustav vizualnih i razumljivih simbola matematičke vrijednosti. On je bio taj koji je predložio standardnu ​​notaciju za razlike funkcije dy = y „(x) dx, dx, a derivat argumenta funkcije kao njihov odnos y” (x) = dy / dx.

Moderna definicija

Koja je razlika u smislu moderne matematike? Usko je povezana s pojmom povećanja varijable. Ako varijabla y uzima vrijednost y = y₁, i zatim y = y₂, onda je razlika y₂ ─ y₁ zove inkrement y. Povećanje može biti pozitivno. negativan i jednak nuli. Riječ "prirast" označena je s Delta-, zapis Delta-y (čitaj "delta igra") znači povećanje y. tako da Delta-y = y₂ ─ y₁.

Ako je vrijednost Delta-y arbitrarne funkcije y = f (x) može se prikazati kao Delta-y = A Delta-x + alfa, gdje A ne ovisi o Delta-x, to jest, A = const za određeni x, i summand alfa- Delta-x → 0 ima tendenciju čak i brže od samog sebe Delta-x, tada prvi ("glavni") izraz proporcionalan Delta-x i y je da = f (x) diferencijalne oboznachaemymdy ili df (x) (čitanje "y de", "de eff od X"). Stoga, razlike su "glavne" linearne s obzirom na Delta-x komponente povećanja funkcija.

Mehanička interpretacija

Neka s = f (t) bude udaljenost linearno kretanja materijalna točka od početne pozicije (t je vrijeme provedeno u tranzitu). povećanje Delta-s je put točke u vremenskom intervalu Delta-t i diferencijalni ds = f `(t) Delta-t je put kojim bi istovremeno prošla točka Delta-t ako zadrži brzinu f `(t) postignutu u vremenu t. S infinitezimalno malim Delta-t imaginarni način DS se razlikuje od istinito Delta s do infinitezimalne vrijednosti, s višim poretkom u odnosu na Delta-t. Ako brzina u vremenu t nije nula, onda ds daje približnu vrijednost malog pomaka točke.

Geometrijsko tumačenje

Neka linija L bude grafikon y = f (x). tada Delta-x = MQ, Delta-y = QM `(pogledajte donju sliku). Tangenta MN dijeli segment Delta-y u dva dijela, QN i NM `. Prva je proporcionalna Delta-x i jednak je QN = MQ ∙ tg (kut QMN) = Delta-x f `(x), to jest, QN je diferencijalna dy.

Drugi dio je razlika Delta-y ─ dy, s Delta-x → 0 duljina NM `smanjuje čak i brže od inkrementa argumenta, tj. Njen redoslijed malenosti veći je od onoga od Delta-x. U slučaju koji se razmatra, za f `(x) zanemarivanja 0 (tangenta nije paralelna s OX) QM`i QN su ekvivalentni dijelovi drugim riječima NM „naglo smanjuje (redoslijed malenošću njegove više) od ukupnog prirasta Delta-y = QM `. To se vidi na slici (uz pristup M`kM, segment NM `je sve manji postotak segmenta QM`).

Dakle, grafički razlika proizvoljne funkcije jednaka je veličini prirasta ordinata njegove tangente.

Derivativni i diferencijalni

Koeficijent A u prvom izrazu izraza za povećanje funkcije je jednak njegovu derivatu f `(x). Dakle, sljedeći odnos ima: dy = f (x) Delta-x, ili df (x) = f (x) Delta-x.

Poznato je da je povećanje neovisnog argumenta jednako njegovu razlikovanju Delta-x = dx. Prema tome, možemo pisati: f `(x) dx = dy.

Nalaz (ponekad reći, "rješenje") diferencijala ispunjava se istim pravilima kao i za derivate. Popis njih je dano u nastavku.

Što je sve univerzalnije: povećanje argumenata ili njezina razlika

Ovdje je potrebno napraviti neka objašnjenja. Prikaz x f (x) Delta-x diferencijal je moguć kada se x smatra argumentom. Ali funkcija može biti složena, u kojoj x može biti funkcija nekog argumenta t. Zatim je u pravilu zastupljenost diferencijalne ekspresije f `(x) Delta-x nemoguće, osim slučaja linearne ovisnosti x = at + b.

Što se tiče formule f `(x) dx = dy, onda u slučaju nezavisnog argumenta x (tada dx = Delta-x), te u slučaju parametarske ovisnosti x na t, predstavlja razliku.

Na primjer, izraz 2 x Delta-x predstavlja za y = x² njegov diferencijal, kada je x argument. Sad postavimo x = t² i razmotriti argument. Zatim y = x² = t⁴.

Zatim slijedi (t + Delta-t)² = t² + 2tDelta-t + Delta-t². Odavde Delta-x = 2tDelta-t + Delta-t². Stoga: 2xDelta-x = 2t² (2tDelta-t + Delta-t² ).

Ovaj izraz nije proporcionalan Delta-t i tako sada 2xDelta-x nije diferencijal. Može se pronaći iz jednadžbe y = x² = t⁴. Ispada da je dy = 4t³Delta-t.

Ako uzmemo izraz 2xdx, onda predstavlja razliku y = x² za bilo koji argument t. Doista, za x = t² dobivamo dx = 2tDelta-t.

Stoga 2xdx = 2t²2tDelta-t = 4t³Delta-t, tj. Izrazi za razlike napisane dvjema različitim varijablama podudaraju se.

Povećanja zamjene razlikama

Ako je f `(x) ne-0, tada Delta-y i dy su ekvivalentni (za Delta-x → 0) - za f `(x) = 0 (što znači da dy = 0), oni nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je y = x², Delta-y = (x + Delta-x)² ─ x²= 2xDelta-x + Delta-x², i dy = 2xDelta-x. Ako x = 3, onda imamo Delta-y = 6Delta-x + Delta-x² i dy = 6Delta-x, koji su ekvivalentni zbog Delta-x²→ 0, za x = 0, količine Delta-y = Delta-x² i dy = 0 nisu ekvivalentni.

Ova činjenica, zajedno s jednostavnom strukturom diferencijalnog (to jest, linearnom u odnosu na Delta-x), često se koristi u približnim računima, pod pretpostavkom da Delta-y asimpt-dy za male Delta-x. Pronalaženje diferencijalne funkcije obično je lakše od izračuna točne vrijednosti prirasta.

Na primjer, imamo metalnu kocku s rubom x = 10,00 cm. Kada se grije, rub koji je izdužen Delta-x = 0,001 cm Koliko je povećan volumen V kocke? Imamo v = x², tako da dV = 3x²Delta-x = 3 ∙ 10²∙ 0/01 = 3 (cm³). Povećanje glasnoće Delta-V je ekvivalent diferencijalu dV, tako da Delta-V = 3 cm³. Potpuni obračun će dati Delta-V = 10,01³ ─ 10³ = 3.003001. Ali u ovom rezultatu svi brojevi osim prvog nepouzdana znači, svejedno, trebate zaokružiti do 3 cm³.

Očito je takav pristup koristan samo ako je moguće procijeniti veličinu pogreške koja se uvodi.

Diferencijal funkcije: primjeri

Pokušajmo pronaći razliku funkcije y = x³, ne pronalaženje derivata. Dajte argumentu povećanje i definiranje Delta-y.

Delta-y = ( Delta-x + x)³ ─ x³ = 3x²Delta-x + (3xDelta-x² + Delta-x³).

Ovdje je koeficijent A = 3x² ne ovisi Delta-x, tako da je prvi izraz proporcionalan Delta-x, drugi član 3xDelta-x² + Delta-x³u Delta-x → 0 smanjuje se brže od inkrementa argumenta. Stoga, pojam 3x²Delta-x je diferencijal y = x^3:

dy = 3x²Delta-x = 3x²dx ili d (x³) = 3x²DX.

Štoviše, d (x³) / dx =3x².

Sada imamo dvije funkcije y = 1 / x u smislu njegovog derivata. Zatim d (1 / x) / dx = ─ 1 / x². Zato dy = ─ Delta-x / x².

Razlike u osnovnim algebarskim funkcijama dane su u nastavku.

Približni izračuni koji koriste razliku

Često nije teško izračunati funkciju f (x), kao i njegov derivat f `(x) za x = a, ali nije lako napraviti istu stvar u susjedstvu točke x = a. Tada dolazi do približnog izraza za spašavanje

f (a + Delta-x) asymp-f `(a) Delta-x + f (a).

To daje približnu vrijednost funkcije u malim koracima Delta-x kroz svoj diferencijal f `(a) Delta-x.

Slijedom toga, ova formula daje približni izraz za funkciju na kraju točke dionice duljine Delta-x kao zbroj svoje vrijednosti na početnoj točki ovog odjeljka (x = a) i diferencijalu na istoj početnoj točki. Pogreška na ovaj način određivanja vrijednosti funkcije ilustrirana je na donjoj slici.

Međutim, točan izraz za vrijednost funkcije za x = a + Delta-x, dane formulom konačnih inkrementa (ili, drugim riječima, Lagrangeovom formulom)

f (a + Delta-x) asymp-f `(xi-) Delta-x + f (a),

gdje točka x = a + xi je na segmentu od x = a do x = a + Delta-x, iako je točan položaj nepoznat. Točna formula omogućuje procjenu pogreške približne formule. Ako u Lagrange formuli smo stavili xi- = Delta-x / 2, a iako to prestaje biti točna, obično daje puno bolju aproksimaciju nego izvorni izraz kroz diferencijal.

Procjena pogreške formula pomoću diferencijalne

Mjerni instrumenti u načelu, netočne, i uvesti u mjerne podatke, odgovarajuće pogreške. Oni su karakterizirani ograničavanjem apsolutna pogreška, ili, ukratko, marginalna pogreška - pozitivan broj, koji svakako prekoračuje tu pogrešku u apsolutnoj vrijednosti (ili u ekstremnim slučajevima, jednako tome). The Ultimate relativna pogreška nazvan je kvocijent njezine podjele apsolutnom vrijednošću izmjerene vrijednosti.

Neka se za izračunavanje funkcije y upotrijebi točna formula y = f (x), ali vrijednost x je rezultat mjerenja i zbog toga predstavlja pogrešku u y. Zatim, kako bi se pronašla ograničavajuća apsolutna pogreška funkcije │zwnj-zwnj-Delta y, upotrijebite formulu

│zwnj-zwnj-Delta-у│asymp-│zwnj-zwnj-dy│ = │f `(x) ││Delta-х│,

gdje │Delta-x predstavlja graničnu pogrešku argumenta. Vrijednost │zwnj-zwnj-Delta-y treba zaokružiti prema gore, jer netočno je zamijeniti izračun prirasta izračunavanjem diferencijalnog.