Koji su brojevi s pomičnim zarezima?

Predstavljanje stvarnih (ili realnih) brojeva, u kojoj su pohranjeni kao kazaljka i eksponent su plutajući brojeva točka (možda trenutku, kao što je uobičajeno u zemljama engleskog govornog područja). Unatoč tome, broj dobiva fiksnu relativnu točnost i različitu apsolutnu. Prikaz koji se najčešće koristi je odobren standardom IEEE 754. Matematičke operacije, u kojima se koriste brojevi s pomičnim zarezom, implementiraju se u računalnim sustavima, kako hardverskim tako i softverom.

Točka ili zarez

Detaljan popis decimalni separator identificira one zemljama engleskog govornog područja i anglofitsirovannye, gdje su zapisi broja odvojena frakcijski dio cijelog točke, jer je terminologija tih zemalja usvojilo ime pomičnim zarezom - „plutajuće točke”. U Ruskoj Federaciji, frakcijsku dio cjeline tradicije, odvojeni zarezom, pa predstavlja isti koncept povijesno je prepoznao izraz „plutajuće točke”. Ipak, danas iu tehničkoj dokumentaciji i na ruskom jeziku, obje su ove varijante sasvim prihvatljive.

Pojam „plutajuće točke” potječe iz činjenice da je pozicioni broj reprezentacija je zarez (normalno decimale ili binarno - računalo) koji može stati bilo gdje između redaka brojeva. Ova se značajka mora posebno raspravljati. To znači da se prikaz brojeva s pomičnim zarezom može smatrati računalnom implementacijom eksponencijalnog unosa brojeva. Prednost upotrebe takvog prikaza preko prikaza fiksnog točkastog formata i cijelih brojeva je da se raspon vrijednosti značajno povećava, a relativna točnost ostaje nepromijenjena.

primjer

Ako je točka u broju fiksna, možete je upisati samo u jednom formatu. Na primjer, šest bita cjelobrojnog broja i dva bita u frakcijskom dijelu su dani. To se može učiniti samo na ovaj način: 123456,78. Format brojeva s pomičnim zarezom pruža puni opseg za izražavanje. Na primjer, dobivaju se isti osam bitova. Opcije za snimanje može biti bilo koji, ako programer ne čine dvoznamenkasti štedjeti dužnost dodatno polje, gdje će snimiti nositelji koji su u pravilu 10, a od 0 do 16, a pražnjenja dok će ukupan broj biti deset 8 + 2.

Neke opcije za pisanje koje omogućuju format brojeva s pomičnim zarezima: 12345678000000000000- 0.0000012345678- 123.45678- 1.2345678 i tako dalje. Ovaj format ima čak i jedinicu za mjerenje brzine! Umjesto toga, brzina računalnog sustava, koja određuje brzinu kojom računalo obavlja operacije, gdje je prikaz broja brojeva s pomičnim zarezom. Mjeri ovu brzinu u jedinicama FLOPS (operacije s pomičnim zarezom u sekundi, što znači broj operacija u sekundi s brojevima s pomičnim zarezom). Ova je jedinica glavna u mjerenju brzine računalnog sustava.

struktura

Rekordan broj u točki formatu plutajućeg je potrebno kako slijedi, promatrajući slijed obveznih dijelova, jer ovaj album je eksponencijalna, koja prikazuje stvarne brojeve kao kazaljka i red. To je neophodno da predstavlja prevelike i premale brojeve, puno je prikladnije za čitanje. Obvezni dijelovi: zapisani broj (N), mantis (M), znak reda (p) i red (n). Posljednja dva znaka čine obilježje broja. Stoga, N = M ^. n^p. Tako se brojevi s plutajućim zarezom zapisuju. Primjeri će biti različiti.

1. Potrebno je zapisati broj jedan milijuna kako ne bi zbunjeni u nulama. 1000000 je normalni unos, aritmetički. Računalo izgleda ovako: 1.0 ^. 10⁶. To jest, deset u šestom stupnju - tri znaka, koja odgovara čak šest nula. Tako se prikazuju brojevi s fiksnom točkom i pomičnim zarezom, gdje možete odmah otkriti razlike u pravopisu.

2. I tako težak broj od 1435000000 (milijardu četiristo trideset i pet tisuća) može se jednostavno napisati: 1.435 ^. 10⁹, samo. Slično tome, sa znakom minus možete napisati bilo koji broj. Ovo je mjesto gdje se brojevi s fiksnom točkom i s pomičnim zarezima međusobno razlikuju.

Ali to su veliki brojevi, kako se nositi s malim? Da, previše lako.

3. Na primjer, kako odrediti milijunti dio? 0,000001 = 1,0 ^. 10^-6. Značajno olakšati pisanje broja i njegovo čitanje.

4. I teže? Petsto četrdeset šest milijardi: 0.000000546 = 546 ^. 10^-9. Ovdje. " Raspon prikazivanja brojeva s pomičnim zarezom vrlo je širok.

oblik

Oblik broja može biti normalan ili normaliziran. Normalno - uvijek poštuje preciznost brojeva s pomičnim zarezom. Treba napomenuti da je kazaljka u ovom obliku, bez uzimanja u obzir znak je pola intervala 0 1: 0 ⩽ < 1. Broj ne gubi točnost u uobičajenom obliku. Nedostatak normalnog oblika broja je taj da se mnogi brojevi mogu pisati na različite načine, tj. Dvosmisleno. Primjer drugog zapisa istog broja: 0.0001 = 0, 000001 ^. 10² = 0.00001 ^. 10¹ = 0,0001 ^. 10⁰ = 0,001 ^. 10^-1 = 0.01 ^. 10^-2 pa i dalje možete još puno toga. To je razlog zašto se računalo koristi drugačiji normalizirani zapis, gdje je kazaljka decimale preuzima vrijednost jedinica (uključivo), a time i do deset (nije uključen), a na isti način kazaljka binarni broj ima vrijednost između jednog (uključivo) do dva (ne uključivo).

Dakle, 1 a < 10. Ovo - binarni brojevi s plutajućim zarezom, a ovaj oblik pisanja bilo koji broj (osim nula) popravlja jedinstveno. Ali postoji i nedostatak - nemogućnost u ovom obliku je nula. Stoga računalna znanost osigurava upotrebu posebne karakteristike (bita) 0. Integerski dio broja (najviša znamenka) mantisa u binarnom broju osim nula u normaliziranom obliku je 1 (implicitna jedinica). Ovaj zapis se koristi standardu IEEE 754. pozicijski brojevni sustav, pri čemu je baza više od dvije (trodjelna kvartemamu i drugih sustava), ova nekretnina nije kupljena.

Pravi brojevi

Pravi brojevi u praznom hodu obično su jedini način, budući da to nije jedini, ali vrlo zgodan način predstavljanja stvarnog broja, kao što je to bio kompromis između raspona vrijednosti i točnosti. To je analogno eksponencijalnom zapisu koji je izvršen samo u računalu. Broj s pomičnim zarezom je skup pojedinačnih bitova odijeljenih oznaka (Znak), red (eksponent) i kazaljka (Mantis). Najčešći oblik je IEEE 754 s pomičnim zarezom broj kao skup bitova koji kodiraju dio svoje mantisa, s druge strane - stupnju i jedne malo pokazuje znak broj: nula - ako je pozitivan, jedinica - ako je broj negativan. Cijeli postupak se snima po broju (kod pomaka), a kazaljka - u normalizirani oblik, njegov djelomični dio - u binarnom sustavu.

Svaki znak je jedan bit, što označava znak za cijeli broj s pomičnim zarezom. Mantis i red su cijeli brojevi, kombiniraju se s znakom i prikazuju broj s pomičnim zarezom. Poredak se može nazvati eksponentom ili eksponentom. Nisu svi stvarni brojevi mogu biti zastupljeni u računalu u njihovom točno značenju, dok ostatak predstavljaju približne vrijednosti. Mnogo jednostavnija varijanta predstavlja stvarni broj s fiksnom točkom, gdje su pravi i svi dijelovi pohranjeni odvojeno. Najvjerojatnije, na takav način da se cijeli dio uvijek dodjeljuje X bita, a frakcije - Y bitova. Ali arhitekture procesora ne znaju ovu metodu, pa se preferiraju brojevi s pomičnim zarezom.

dodatak

Dodavanje brojeva s pomičnim zarezom vrlo je jednostavno. U vezi s IEEE 754 standard jednokrevetna preciznim brojem ima veliki broj bita, tako da je bolje da se presele na primjerima, sa boljom idejom da se najmanji broj s pomičnim zarezom. Na primjer, dva broja - X i Y.

Koraci su sljedeći:

a) Brojevi moraju biti prikazani u normaliziranom obliku. Očito se pojavljuje skrivena jedinica. X = 1.110 ^. 2², i Y = 1.000 ^. 2⁰.

b) Nastaviti proces sastava mogu izjednačavanja samo izlagačima, ali to treba prepisati vrijednost Y. To će odgovarati vrijednosti normalizacije brojeva, iako je u stvari - unnormalizes.

Izračunajte razliku između eksponenata stupnja 2 - 0 = 2. Sada premjestite mantisu nadoknaditi tih promjena, to jest, dodati 2 do indeksa drugi mandat, čime se kreće zarezom skrivene jedinice na dvije točke u lijevo. Ispada da je 0.0100 ^. 2². To će biti ekvivalent prethodne vrijednosti Y, to jest već Y `.

c) Sada moramo preklopiti mantis od broja X i podešenog Y.

1,110 ± 0,01 = 10,0

Eksponent je još uvijek jednak prikazanom pokazniku X, koji je jednak 2.

d) Iznos koji je primljen u prethodnoj fazi pomaknuo je jedinicu normalizacije, pa morate prebaciti eksponent i ponoviti zbrajanje. 10,0 s dva bita na lijevo od decimalnog zareza, broj je sada potrebno normalizirati, odnosno pomaknuti zarez ulijevo po jedan bod, a eksponent, odnosno porasla je za 1. Ispada 1.000 ^. 2³.

e) Vrijeme je za pretvaranje broja s pomičnim zarezom u sustav jednog bajta.

zaključak

Kao što vidite, zbrajanje takvih brojeva nije previše teško, ništa što zarez ne pluta. Osim ako, naravno, osim za dovođenje broj donje eksponent među više (u gornjem primjeru, to je Y na X), kao i obnova statusa quo, odnosno izdavanja naknade - premjestiti decimalnu točku na lijevo od kazaljka. Kad je već primijenjen dodatak, vrlo je moguće i dalje jedan problem - perenormirovanie i sakaćenja malo, ako se njihov broj ne odgovara broj da ga predstavlja.

množenje

Binarna zapis nudi dva načina za umnožavanje broja s pomičnim zarezom. Ovaj zadatak se može izvršiti množenje, koja počinje s najmanje značajnih bitova, a koji počinje s visokim reda bita u množitelj. Oba slučaja sadrže cijeli niz operacija, uzastopno zbrajajući privatne radove. Ove operacije dodavanja kontroliraju bitovi množitelja. Dakle, ako je jedan od bitova multiplikatora je jedinica, zbroj parcijalnih produkata množenik raste s odgovarajućim smjene. Ako se u multiplikatoru pomnoži nula, onda se umnožak ne dodaje.

Ako množenja se izvodi samo dva broja, proizvod od brojeva u svojoj visini ne može biti veći od broja znamenki sadržanih u čimbenicima, više od dva puta, a za velik broj vrlo, vrlo mnogo. Ako se više brojeva pomnoži, tada se proizvod ne može postaviti na zaslon. Stoga je broj znamenki bilo kojeg digitalnog stroja potpuno konačan i to nas prisiljava da se maksimalno ograničimo na broj znamenaka totalizatora. A ako je broj znamenaka ograničen, pogreška neizbježno ulazi u rad. Ako je obujam računanja velik, onda se pogreške preklapaju i kao rezultat, ukupna se pogreška uvelike povećava. Ovdje je jedini izlaz za zaokruživanje rezultata množenja, a zatim će se pogreška proizvoda izmjenjivati. Kada je operacija množenja, postaje moguće da ide izvan mreže znamenaka, ali samo mlađi, jer postoji ograničenje nametnuto na broj koji su predstavljeni u obliku fiksne točke.

Neki objašnjenja

Za početak bolje. Najčešći način predstavljaju broj - brojeve redaka kao cijeli broj, gdje je zarez podrazumijeva na samom kraju. Ovaj niz može biti bilo koje duljine, ali zarez stoji na pravom mjestu da ga, odvajanje broj od frakcijsku dio. Format prikaza sustava u nepokretnoj točki nužno postavlja određene uvjete o položaju zareze. Eksponencijalna oznaka koristi standardnu ​​normaliziranu reprezentaciju brojeva. Ovo je q n { displaystyle aq ^ {n}} aqⁿ. Ovdje je { displaystyle a}, i ova čipka se naziva mantis. O ovom je rečeno da 0 ⩽ a < q. Dalje sve treba biti jasno: n {/ displaystyle n}ⁿ - cijeli broj, eksponent i q {/ displaystyle q}^q - također cjelina, koja je osnova danog broja sustava (au pismu obično 10). Mantis će ostaviti zarez nakon prve znamenke, koja nije nula, ali dodatne informacije zabilježene su na stvarnoj vrijednosti broja.

Broj s pomičnim zarezom vrlo je sličan standardnoj standardnoj oznaci za brojeve, samo su eksponent i mantis zasebno napisani. Potonji je također u normaliziranom formatu - s fiksnom zarezom, koja krasi prvu značajnu znamenku. Samo s pomičnim zarezom koristi se prvenstveno u računalo, odnosno u elektroničkom zastupljenosti u kojem se sustav ne decimalni binarnom, gdje je čak i kazaljka Denormalizirajte preuređen točku - sada je pred prve znamenke, a zatim prije, a ne nakon toga, kada je cijeli dio u načelu, ne može biti. Na primjer, naš prirodni decimalni sustav dati će svoje devet u binarni sustav za privremenu upotrebu. I napisat će ga s ovakvim ovakvim mantisom: +1001000 ... 0, i +0 ... 0100. No, decimalni sustav ne može proizvesti što je moguće složenije izračune u binarnom obliku, koristeći oblik plutajuće točke.

Duga aritmetička

U elektroničkih računala imaju ugrađene programske pakete, gdje se izdvajaju za mantisu i eksponent količinu memorije navedeno softver, ograničen samo na veličinu memorije računala. Ovo je koliko dugo izgleda aritmetička, tj. Jednostavna operacija na brojevima koje izvodi računalo. To su sve iste - oduzimanje i dodavanje, podjela i množenje, osnovne funkcije i konstrukcija u korijenu. Ali samo su brojevi potpuno različiti, njihova dubina bita može znatno premašiti duljinu računalne riječi. Provedba takvih operacija nije hardver, već softver, ali osnovni hardver široko se koristi za rad s numeričkim znatno nižim poretkom. Tu je i aritmetika, pri čemu je duljina brojeva ograničena samo na količinu memorije - proizvoljnu aritmetičku preciznost. Dugo aritmetično se koristi u mnogim područjima.

1. Za sastavljanje koda (procesora, mikrokontrolera s niskim bita dubina - 10-bitnih registara i osam-bitni dužini teksta, to nije dovoljno da obrađuju informacije iz analogno-digitalni (analogno-digitalni pretvarač), a time i ne mogu bez dugog aritmetike.

2. Također, za kriptografiju se koristi dugotrajna aritmetička metoda, gdje je potrebno osigurati točnost rezultata podizanja na snagu ili množenje do 10³⁰⁹. Integritetska aritmetička se koristi modulo m - veliki prirodni broj, a ne nužno jednostavan.

3. Softver za financijere i matematičare također ne može bez dugog aritmetičkog, jer samo na taj način možete provjeriti rezultate izračuna na papiru - koristeći računalo, pružajući visoku točnost brojeva. Plutajuće točke mogu privući koliko god želite. Ali inženjerske izračune i rad znanstvenika rijetko zahtijevaju intervenciju softverskih izračuna, jer je vrlo teško unijeti ulazne podatke bez pogrešaka. Obično su mnogo veći od rezultata zaokruživanja.

Borbe protiv pogrešaka

Kod operacija s brojevima u kojima zareza pluta, vrlo je teško procijeniti pogrešku rezultata. Do sada nije izmišljen matematička teorija koja zadovoljava sve što bi pomoglo u rješavanju ovog problema. No pogreške s brojevima s brojevima lako se procjenjuju. Mogućnost uklanjanja netočnosti leži na površini - samo koristite samo brojeve s zarezom fiksiranom. Na primjer, financijski programi temelje se na ovom načelu. Međutim, to je jednostavnije: potreban broj znamenaka nakon decimalne točke poznat je unaprijed.

Ostale aplikacije ne mogu se ograničiti na to, jer je nemoguće raditi s bilo vrlo malim ili vrlo velikim brojem. Stoga, prilikom rada, uvijek se uzima u obzir da su moguće netočnosti, pa je stoga potrebno zaokružiti rezultate pri izvođenju rezultata. Štoviše, automatsko zaokruživanje često je neadekvatno djelovanje, pa je zaokruživanje posebno postavljeno. Usporedba je vrlo opasna u tom smislu. Ovdje je čak i procjena veličine budućih pogrešaka iznimno teško.