Dvostruki integral. Zadaci. nekretnine

Problemi koji vode do pojma "dvostruki integral".

1. Pretpostavimo da je u ravnini planarna materijalna ploča, na svakoj točki u kojoj je poznata gustoća. Moramo pronaći masu ove ploče. Budući da ova ploča ima jasne dimenzije, može biti zatvorena u pravokutnik. Gustoća ploče također se može shvatiti na sljedeći način: kod onih točaka pravokutnika koji ne pripadaju ploči, pretpostavljamo da je gustoća nula. Određujemo jednoliku podjelu na jednak broj čestica. Tako će dan oblik biti podijeljen na elementarne pravokutnike. Razmislite o jednom od ovih pravokutnika. Odabiremo bilo koju točku ovog pravokutnika. Zbog male veličine takvog pravokutnika pretpostavit ćemo da je gustoća na svakoj točki danog pravokutnika konstantna vrijednost. Tada će se masa takve pravokutne čestice definirati kao množenje gustoće u ovom trenutku prema području pravokutnika. Područje, kao što znate, je množenje dužine pravokutnika po širini. I na ravnini koordinata - ova promjena s nekim korakom. Tada će masa cijele ploče biti zbroj mase takvih pravokutnika. Ako idemo na granicu u takvom odnosu, tada možemo dobiti točan odnos.
2. Mi definiramo prostorno tijelo, koje je ograničeno podrijetlom i nekom funkcijom. Potrebno je pronaći volumen specificiranog tijela. Kao u prethodnom slučaju, podijelimo područje u pravokutnike. Pretpostavit ćemo da u točkama koje ne pripadaju domeni, funkcija će biti 0. Razmislite o jednoj od pravokutnih particija. Kroz strane ovog pravokutnika izvučemo ravnine koje su okomite na apscisiju i ordiniraju sjekire. Dobivamo paralelopiped, koji je donji dio omeđen ravninom u odnosu na os aplikatora, a odozgo prema funkciji koja je navedena u stanju problema. Odaberemo točku u sredini pravokutnika. Zbog male veličine ovog pravokutnika možemo pretpostaviti da funkcija unutar ovog pravokutnika ima konstantnu vrijednost, a zatim možete izračunati volumen pravokutnika. I obujam likova bit će jednak zbroju svih volumena takvih pravokutnika. Da biste dobili točnu vrijednost, morate otići do granice.

Kao što se može vidjeti iz postavljenih problema, u svakom primjeru dolazimo do zaključka da različiti problemi dovode do razmatranja dvostrukih sume istog tipa.

Svojstva dvostrukog integralnog.

Stavimo problem. Pretpostavimo da se u nekom zatvorenom području daje funkcija dviju varijabli, kao i datu funkcija je kontinuirana. Budući da je područje ograničeno, možete ga staviti u bilo koji pravokutnik koji potpuno sadrži svojstva točke dotičnog područja. Podijelimo pravokutnik na jednake dijelove. Pozivamo promjer prekidanja najveće dijagonale od rezultirajućih pravokutnika. Sada odabiremo točku u granicama jednog takvog pravokutnika. Ako u ovom trenutku pronađemo vrijednost za zbrajanje zbroja, tada će se takav zbroj nazvati integralnim za funkciju u određenoj domeni. Otkrijemo granicu takvog integralnog iznosa pod uvjetima da promjer sloma slijedi na 0, a broj pravokutnika u beskonačnost. Ako takva granica postoji i ne ovisi o tome kako je regija podijeljena na pravokutnike i od odabira točke, tada se naziva dvostruki integral.

Geometrijski sadržaj dvostrukog integral: dvostruki integral je numerički jednak volumenu tijela, što je opisano u 2. problemu.

Poznavanje dvostrukog integralnog (definicija) možete postaviti sljedeća svojstva:

1. Konstanta se može izvesti izvan integralnog znaka.
2. Integrirani zbroj (razlika) jednak je zbroju (razlika) integralnih.
3. Od funkcija, manje je onaj čiji je dvostruki integral manji.
4. Modul se može uvesti pod dvostruki integralni znak.