Kakva je uvjetna vjerojatnost i kako to ispravno izračunati?

Često se u životu susrećemo s činjenicom da moramo procijeniti šanse za događaj. Trebam li kupiti srećku ili ne, što će biti pod treće dijete u obitelji, da li sutra oblačno opet kiša - takvi primjeri su bezbrojne. U najjednostavnijem slučaju, broj povoljnih ishoda treba podijeliti s ukupnim brojem događaja. Ako je srećka dobitna 10, a ukupno 50, šanse za dobivanje nagradu jednaku 10/50 = 0,2, odnosno 20 u odnosu na 100. No, što učiniti u slučaju da postoje više događaja, a oni su usko povezani jedni s drugima? U ovom slučaju, nismo zainteresirani za jednostavnu, ali uvjetnu vjerojatnost. Koja je ta vrijednost i kako se može izračunati - to je upravo ono što će biti navedeno u našem članku.

Koncept

Uvjetna vjerojatnost je vjerojatnost pojave događaja, pod uvjetom da se već dogodio neki drugi događaj povezan s njim. Razmislite o jednostavnom primjeru bacanja novčića. Ako se još ne izvlači, onda su šanse za orlom ili repovima pale isti. Ali ako kovanice pet puta za redom ode u ruke i očekivati ​​da se dogovore 6., 7., a posebno 10. ponavljanje takvog rezultata bilo bi nelogično. Svakim ponavljanjem orla pada, šanse za pojavom repova rastu i prije ili kasnije će pasti.

Formula uvjetne vjerojatnosti

Sada ćemo shvatiti kako se ta vrijednost izračunava. Mi smo označili by B prvi događaj, a druga do A. Ako su šanse za pojavu u ne-nula, onda je to fer prema sljedećoj jednadžbi:

P (A | B) = P (AB) / P (B), gdje:

• P (A | B) je uvjetna vjerojatnost ishoda A;
• P (AB) je vjerojatnost zajedničke pojave događaja A i B;
• P (B) je vjerojatnost događaja B.

Blago pretvarajući taj odnos dobivamo P (AB) = P (A | B) * P (B). A ako se prijavite metoda indukcije, onda možemo izvući formulaciju proizvoda i upotrijebiti ga za proizvoljan broj događaja:

P (A₁, ₂, ₃,hellip-A_n) = P (A₁| A₂hellip-A_n) * P (A₂| A₃hellip-A_n) * P (A₃| A₄hellip-A_n) hellip-P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

praksa

Da biste lakše razumjeli kako je uvjetno vjerojatnost događaja, razmotrite nekoliko primjera. Pretpostavimo da postoji vaza u kojoj se nalazi 8 čokolada i 7 maziva. U veličini su isti, a nasumično se dva od njih sukcesivno izvlače. Kakve su šanse da će oba od njih postati čokolada? Uvodimo oznaku. Neka rezultat A znači da prvi slatkiš je čokolada, rezultat B je drugi čokoladni bombon. Zatim dobijemo sljedeće:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 asimpt- 0,27

Razmotrimo još jedan slučaj. Pretpostavimo da postoji obitelj s dvoje djece i znamo da je barem jedno dijete djevojčica. Kakva je uvjetna vjerojatnost da ti roditelji još nemaju dječake? Kao u prethodnom slučaju, započinjemo zapisom. Neka P (B) - vjerojatnost da obitelj ima barem jednu djevojčicu, P (A | B) - vjerojatnost da je drugo dijete je i jedna djevojka, F (ab) - šanse da obitelji dvije djevojke. Sada napravite izračune. Tu može biti 4 različite kombinacije muških i ženskih djece i istodobno u samo jednom slučaju (kad je obitelj dva dječaka), djevojke neće biti među djecom. Stoga je vjerojatnost P (B) = 3/4 i P (AB) = 1/4. Zatim, slijedeći našu formulu dobivamo:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Tumačite rezultat kako slijedi: ako nismo bili svjesni polja jedne od djece, šanse dvoje djevojaka bi bile 25 do 100. No, budući da znamo da je jedno dijete djevojčica, vjerojatnost da nema dječaka u obitelji raste do jedne treći.