Teorija vjerojatnosti. Vjerojatnost događaja, slučajni događaji (teorija vjerojatnosti). Nezavisni i nekompatibilni događaji u teoriji vjerojatnosti

Malo je vjerojatno da mnogi misle o tome je li moguće izračunati događaje koji su do određene mjere slučajni. Jednostavno rečeno, je li doista moguće znati koja je strana kocke u kocke

generacija

Ako pokušavate definirati takav koncept kao teoriju vjerojatnosti, dobit ćete sljedeće: to je jedan od dijelova matematike koji se bavi proučavanjem konstanta slučajnih događaja. Jasno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu točku, stoga je potrebno detaljnije razmotriti.

Želio bih započeti s osnivačima teorije. Kao što je gore spomenuto, bilo je dvoje od njih Pierre Fermat i Blaise Pascal. Oni su bili jedan od prvih koji su koristili formule i matematičke izračune kako bi izračunali ishod događaja. Općenito, početci ove znanosti očitovali su se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i znanstvenici pokušali analizirati kockanje, kao što su rulet, kosti i tako dalje, čime se utvrđuje redovitost i omjer postotka pada određenog broja. Zaklada je u sedamnaestom stoljeću položila upravo gore spomenuti znanstvenici.

Isprva, njihova djela nisu se mogla pripisati velikim dostignućima na ovom području, jer su sve što su činili bili samo empirijske činjenice, a eksperimenti su vizualizirani bez uporabe formula. Tijekom vremena, pokazalo se kako bi postigli sjajne rezultate, koji su se pojavili zbog promatranja bacanja kostiju. Upravo je ovaj alat pomogao iznijeti prve odvojene formule.

Slični ljudi

Nemoguće je spomenuti takvu osobu kao kršćanski Huygens, u procesu proučavanja teme pod nazivom "teorija vjerojatnosti" (vjerojatnost događaja je pokrivena ovom znanjem). Ova je osoba vrlo zanimljiva. On, kao i prethodno predstavljeni znanstvenici, pokušao je izvući zakone slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Valja napomenuti da je to učinio ne u vezi s Pascal i Fermat, to jest, sva njegova djela nisu se preklapali s tim umovima. Odgovara Huygens osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti.

Zanimljivo je da je njegov rad objavljen davno prije rezultata djela otkrivača, odnosno dvadeset godina ranije. Među određenim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerojatnosti kao veličine prilike;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoremi umnožavanja i dodavanja vjerojatnosti.

Također je nemoguće ne prisjetiti se Jakoba Bernoullija, koji je također značajan doprinos proučavanju problema. Provođenje svoje, nitko o neovisnim suđenjima, bio je u stanju predstaviti dokaz zakona velikih brojeva. S druge strane, znanstvenici Poisson i Laplace, koji su radili početkom devetnaestog stoljeća, mogli su dokazati izvorne teoreme. Upravo u toj točki korištena je teorija vjerojatnosti za analizu pogrešaka tijekom promatranja. Ruski znanstvenici, odnosno Markov, Chebyshev i Diapunov nisu uspjeli zaobići tu znanost. Oni, temeljeni na radu velikih genija, fiksiraju ovu temu kao dio matematike. Ove brojke su radile krajem devetnaestog stoljeća, a zahvaljujući njihovom doprinosu, takvi fenomeni kao:

• zakon velikih brojeva;
• teorija Markovih lanaca;
• središnji granični teorem.

Dakle, s poviješću rođenja znanosti i glavnim osobama koje su to utjecale, sve je više ili manje jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve činjenice.

Osnovni pojmovi

Prije dodirivanja zakona i teorema vrijedi proučavati osnovne pojmove teorije vjerojatnosti. Događaj u njemu zauzima dominantnu ulogu. Ova je tema vrlo opširna, ali bez nje nećete moći razumjeti sve drugo.

Događaj u teoriji vjerojatnosti je svaki skup ishoda provedenog eksperimenta. Nema takvih pojmova ovog fenomena. Dakle, znanstvenik Lotman, koji radi na ovom području, rekao je da se u ovom slučaju radi o onome što se dogodilo "iako se to nije moglo dogoditi".

Slučajni događaji (teorija vjerojatnosti posvećuje posebnu pažnju na njih) je koncept koji podrazumijeva apsolutno bilo koji fenomen koji se može pojaviti. Ili, naprotiv, ovaj se scenarij ne može dogoditi kada se ispune mnogi uvjeti. Također je vrijedno napomenuti da su slučajni događaji koji obuhvaćaju čitav volumen događaja koji su se dogodili. Teorija vjerojatnosti pokazuje da se svi uvjeti mogu ponavljati cijelo vrijeme. To je njihovo ponašanje bilo nazvano "iskustvo" ili "test".

Određeni događaj je fenomen koji će se potpuno dogoditi u ovom suđenju. Prema tome, nemoguće događaj je nešto što se ne događa.

Kombinacija par postupaka (uvjetno slučaj A i slučaj B) je fenomen koji se pojavljuje istodobno. Oni su označeni kao AB.

Zbroj parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se barem jedan od njih pojavi (A ili B), tada je rezultat C. Formula za opisani fenomen napisana je kao: C = A + B.

Nedosljedni događaji u teoriji vjerojatnosti podrazumijevaju da se dva slučaja međusobno isključuju. Istodobno se ne mogu dogoditi ni u kojem slučaju. Zajednički događaji u teoriji vjerojatnosti su njihovi antipodi. Ovdje se podrazumijeva da ako se dogodi, to ne spriječi V.

Nasuprotni događaji (teorija vjerojatnosti tretira ih u velikoj mjeri) jednostavna je za razumijevanje. Najbolje je rješavati ih u usporedbi. Oni su gotovo isti kao nespojivi događaji u teoriji vjerojatnosti. Ali njihova razlika leži u činjenici da bi se u svakom slučaju morao pojaviti jedan od mnogih pojava.

Jednako mogući događaji su one radnje čija ponovljivost je jednaka. Da bi bilo jasnije, možete zamisliti bacanje novčića: pad jedne od njezinih strana jednako je vjerojatno pad drugog.

Povoljni događaj lakše je uzeti u obzir uz primjer. Recimo da postoji epizoda B i epizoda A. Prvi je rola kocke s pojavom neparnog broja, a drugi je izgled broja pet na kocki. Tada se ispostavlja da je A povoljan za B.

Neovisni događaji u teoriji vjerojatnosti projiciraju se samo u dva ili više slučajeva i podrazumijevaju nezavisnost bilo koje akcije od druge. Na primjer, A - ispuštajući repove dok bacaju novac, i B - dobivanje utičnice s palube. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerojatnosti. Ovim trenom postalo je jasnije.

Ovisni događaji u teoriji vjerojatnosti također su dopušteni samo za njihov set. Oni znače ovisnost jedne od druge, to jest, fenomen B može se pojaviti samo ako se A već dogodio ili, obrnuto, nije dogodilo, kada je to glavni uvjet za V.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente je elementarni događaj. Teorija vjerojatnosti objašnjava da je to fenomen koji se pojavio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, pojmovi "događaj", "teorija vjerojatnosti" bili su gore razmatrani, također je dana definicija osnovnih pojmova ove znanosti. Sada je vrijeme da se upoznate izravno s važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne pojmove u takvom teškom predmetu kao teoriju vjerojatnosti. Vjerojatnost događaja igra veliku ulogu ovdje.

Bolje je započeti s osnovnim formulama kombinatorika. I prije nego što nastavite s njima, valja razmatrati što je to.

Kombinatorika - prvenstveno grana matematike, on je studirao veliki broj prirodnih brojeva i raznih permutacija oba brojeva i njihovih elemenata, raznih podataka, itd, što dovodi do niza kombinacija ... Pored teorije vjerojatnosti, ova je grana važna za statistiku, računalnu znanost i kriptografiju.

Dakle, sada možete nastaviti s predstavljanjem samih formula i njihovom definicijom.

Prvi od njih bit će izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) hellip-3 sdot- 2 sdot-1 = n!

Jednadžba se koristi samo ako se elementi razlikuju samo po redoslijedu njihove lokacije.

Sada ćemo razmotriti formulu plasmana, izgleda ovako:

A_n ^ m = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) sdot-... sdot- (n-m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj se izraz primjenjuje ne samo na redoslijed postavljanja elemenata, već i na njegov sastav.

Treća jednadžba combinatorika, a to je posljednja, naziva se formulom za broj kombinacija:

C_n ^ m = n! : (((n - m))! : m!

Kombinacija je uzorak koji nije naredio, i to se pravilo odnosi na njih.

C kombinatorne formule Ispalo je da je lako razumjeti, sada možemo nastaviti klasičnu definiciju vjerojatnosti. Ovaj izraz izgleda ovako:

P (A) = m: n.

U ovoj formuli, m je broj uvjeta koji favoriziraju događaj A, a n je broj apsolutno jednako mogućih i osnovnih ishoda.

Postoji mnogo izraza, članak neće pokriti sve, ali će biti pogođeni najvažniji, poput vjerojatnosti zbroja događaja:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ovaj teorem za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ovo je za dodavanje samo kompatibilno.

Vjerojatnost događaja:

P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B) - ovaj teorem za nezavisne događaje;

(P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B | A) -P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (A | B)) - i ovaj za ovisnicu.

Završite popis formula događaja. Teorija vjerojatnosti govori o Beynjevu teoremu, koji izgleda ovako:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (zbroj -_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ... , br

U ovoj formuli, H₁, H₂, hellip-, H_n Je kompletan skup hipoteza.

Mi ćemo se zadržati na tome, razmotrit ćemo primjere primjene formula za rješavanje određenih problema iz prakse.

primjeri

Ako pažljivo proučavate bilo koji dio matematike, to ne čini bez vježbi i uzoraka rješenja. Dakle, teorija vjerojatnosti: događaji, primjeri ovdje su sastavni dio, potvrđujući znanstvene izračune.

Formula za broj permutations

Pretpostavimo da na palubi kartice ima trideset karata, počevši od nominalne vrijednosti jedan. Sljedeće pitanje. Koliko je načina na koje se može presaviti paluba tako da kartice s vrijednostima lica od jedne i dvije ne budu smještene jedna uz drugu?

Zadatak je postavljen, sada se prebacimo na njegovo rješenje. Prvo morate utvrditi broj permutations od trideset elemenata, za to smo uzeti gore navedene formule, dobivamo P_30 = 30!.

Na temelju tog pravila, znamo koliko opcije postoje položiti palube na mnogo načina, ali moramo biti oduzet od njih su one u kojima su prvi i drugi kartica će biti sljedeći. Da biste to učinili, početi s varijantom, kada se prvi put nalazi na drugom. Ispada da je prva karta može potrajati dvadeset i devet mjesta - od prvog do dvadeset devetog, a druga kartica od drugog do trideset, okreće dvadeset i devet sjedala za parove karata. S druge strane, drugi mogu uzeti dvadeset i osam sjedala, te u bilo kojem redoslijedu. To je, za preuređenju dvadeset i osam karata su dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Na kraju, ispostavilo se da ako uzmemo u obzir rješenje, kada je prva kartica završila s drugom, pojavit će se dodatne prilike 29 sdot- 28! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj redundantnih opcija za slučaj gdje je prva kartica ispod drugog. Ispada i 29 sdot- 28! = 29!

Slijedi da dodatne opcije 2 sdot-29 !, dok su potrebni načini prikupljanja palube od 30! - 2 sdot-29!. Ostaje samo računati.

30! = 29! sdot-30- 30! -2 sdot- 29! = 29! sdot- (30-2) = 29! sdot- 28

Sada moramo umnožiti sve brojeve od jedne do dvadeset devet, nakon čega sve umnožimo sve do 28. Dobivamo odgovor 2,4757335 sdot- 〖10〗 ^ 32

Rješenje primjera. Formula za broj položaja

U ovom zadatku potrebno je saznati koliko načina da se na jednoj polici stave petnaest svezaka, ali pod uvjetom da ukupno ima trideset svezaka.

U ovom je rješenju nešto jednostavnije nego u prethodnom. Upotrebom već poznate formule, potrebno je izračunati ukupan broj rasporeda od trideset svezaka do petnaest.

A_30 ^ 15 = 30 sdot- 29 sdot-28sdot -... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot-... sdot-16 = 202,843,204,931,727,360,000

Odgovor, odnosno, iznosit će 202 843 204 931 727 360 000.

Sada neka je zadatak malo složeniji. Potrebno je saznati koliko načina na koji se nalaze trideset knjiga na dva polica s knjigama, pod uvjetom da samo petnaestak volumena može biti na jednoj polici.

Prije nego što počnem rješenje, želio bih pojasniti da su neki problemi riješeni na nekoliko načina, stoga postoje dva načina, ali oboje koriste istu formulu.

U ovom zadatku možemo uzeti odgovor iz prethodnog, jer smo ovdje izračunali koliko je puta moguće ispuniti policu za petnaest knjiga na različite načine. Ispalo je da A_30 ^ 15 = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot-... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot- 16.

Druga polica izračunat će se prema permutationskoj formuli, budući da se u njoj nalaze petnaest knjiga, dok ostaje tek petnaest knjiga. Upotrebljavamo formulu P_15 = 15!.

Ispada da će zbroj biti A_30 ^ 15 sdot- P_15 načine, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest će biti pomnožen proizvod brojevima od jedan do petnaest, na kraju ispalo proizvod svih brojeva od jedan do sedam, odnosno, odgovor je 30!

Ali taj zadatak može se riješiti na drugačiji način - to je lakše. Za to možete zamisliti da postoji jedna pukovnija za trideset knjiga. Svi oni su postavljeni na ovoj razini, nego zato što je stanje zahtijeva da postoje dvije police, jedna duga mi piljenje na pola, dva zavoja petnaest. Iz toga se ispostavlja da varijante aranžmana mogu biti P_30 = 30!.

Rješenje primjera. Formula za kombinacijski broj

Sada ćemo razmotriti varijantu trećeg problema iz kombinatorika. Potrebno je saznati koliko načina dogovarati petnaest knjiga, pod uvjetom da je potrebno odabrati između trideset apsolutno istih.

Za rješenje, naravno, primijenit će se formula za broj kombinacija. Iz stanja postaje jasno da redoslijed identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga je u početku potrebno utvrditi ukupan broj kombinacija od trideset knjiga do petnaest.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30 - 15))! : 15! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraćem vremenu bilo je moguće riješiti takav problem, odnosno odgovor je 155 117 520.

Rješenje primjera. Klasična definicija vjerojatnosti

Koristeći gornju formulu, odgovor možete naći u jednostavnom zadatku. Ali to će vizualno pomoći vidjeti i slijediti tijek akcije.

U problemu se daje deset apsolutno identičnih kuglica u urni. Od njih četiri su žuta i šest su plava. Jedna lopta se iz urne. Morate znati vjerojatnost dobivanja plave boje.

Kako riješiti problem potrebno je odrediti dostavanie plava lopta događaj A. To iskustvo može imati deset ishoda, koji se, pak, osnovne i jednako vjerojatno. Istovremeno, od deset i šest su povoljni za događaj A. Odlučili smo prema formuli:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Primjenom ove formule saznali smo da je sposobnost dobivanja plave kugle 0,6.

Rješenje primjera. Vjerojatnost zbroja događaja

Sada će se prikazati varijanta koja se rješava pomoću formule vjerojatnosti zbroja događaja. Dakle, s obzirom na stanje koje postoje dva slučaja, prvi je sivo i pet bijelih kuglica, dok je drugi - osam sive i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je preuzet iz prve i druge kutije. Potrebno je saznati koja je šansa da će primljene kuglice biti sive i bijele.

Da bi riješio taj problem, potrebno je odrediti događaje.

• Dakle, A - uze siva lopta s prve ladice: P (A) = 1/6.
• Arsquo- - uze i bijelu kuglu iz prve ladice: P (A `) = 5/6.
• B - izvukla siva lopta iz druge kutije: P (B) = 2/3.
• Vrsquo- - uze siva lopta iz druge kutije: P (B `) = 1/3.

Prema stanju problema, neophodno je da se dogodi jedan od fenomena: ABrsquo- ili Arsquo-B. Pomoću formule dobivamo: P (AB `) = 1/18, P (A`B) = 10/18.

Sada je korištena formula za množenje vjerojatnosti. Nadalje, kako bi se ustanovio odgovor, potrebno je primijeniti jednadžbu njihova dodavanja:

P = P (AB `+ A`B) = P (AB`) + P (A`B) = 11/18.

Dakle, pomoću formule možete riješiti slične probleme.

Rezultat

U članku su prikazane informacije o teoriji vjerojatnosti, vjerojatnosti događaja u kojem igra ključnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali, na temelju prezentiranog teksta, teoretski se možete upoznati sa ovom odjeljkom matematike. Ova znanost može biti korisna ne samo u profesionalnoj praksi nego iu svakodnevnom životu. Pomoću nje možete izračunati bilo koju mogućnost događaja.

Tekst se također odnosio na značajne datume u povijesti pojavljivanja teorije vjerojatnosti kao znanosti i imena ljudi čiji su radovi uloženi u nju. Tako je ljudska znatiželja dovela do činjenice da su ljudi naučili računati čak i slučajne događaje. Jednom su se upravo zainteresirali za to, ali danas svi znaju za to. I nitko neće reći što nas čeka u budućnosti, koje druge sjajne otkrića vezane uz teoriju koja se razmatra bit će počinjena. Ali jedno je sigurno - istraživanje na licu mjesta ne vrijedi!