Osnovni koncept teorije vjerojatnosti. Zakoni teorije vjerojatnosti

Mnogi, suočeni s konceptom "teorije vjerojatnosti", preplašeni su, misleći da je to nešto što je izvan kapaciteta, vrlo teško. No, sve nije stvarno tako tragično. Danas ćemo razmotriti osnovni koncept teorije vjerojatnosti, naučiti kako riješiti probleme na specifičnim primjerima.

znanost

Što proučava takvu granu matematike kao "teorija vjerojatnosti"? Bilješke uzoraka slučajnih događaja i količine. Prvi put znanstvenici zainteresirani za ovaj problem u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni koncept teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja se utvrđuje iskustvom ili promatranjem. Ali što je iskustvo? Drugi osnovni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da ovaj skup okolnosti nije stvoren slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, tada sam istraživač ne sudjeluje u iskustvu, već je jednostavno svjedok tih događaja, on nema nikakvog utjecaja.

događaji

Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nije razmatrao klasifikaciju. Svi oni spadaju u sljedeće kategorije:

• Pouzdana.
• Nemoguće.
• Random.

Bez obzira na događaje koji se promatraju ili stvaraju tijekom eksperimenta, svi su predmet ove klasifikacije. Predlažemo da se upoznate sa svakom vrstom zasebno.

Pouzdan događaj

To je takva okolnost, prije čega je napravljen neophodan kompleks mjera. Da bismo bolje razumjeli bit, bolje je dati nekoliko primjera. Ovaj zakon podliježe fizici, kemiji, ekonomiji i višoj matematici. Teorija vjerojatnosti uključuje takav važan koncept kao pouzdan događaj. Dajmo neke primjere:

• Radimo i primamo nagradu u obliku plaća.
• Ispuni su prošli ispit, položili su natječaj za koji smo dobili naknadu u obliku prijama u obrazovnu ustanovu.
• Ulagali smo novac u banku, ako je potrebno, vratit ćemo ih.

Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, onda ćemo sigurno dobiti očekivani rezultat.

Nemoguće događaje

Sada razmatramo elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo da nastavimo objašnjenjem sljedećeg tipa događaja, naime, nemogućeg. Najprije razgovarajmo o najvažnijem pravilu - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Iz ove formulacije ne možete se povući kada riješite probleme. Za objašnjenje dajemo primjere takvih događaja:

• Voda se zamrzila na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
• Odsutnost struje ne utječe na proizvodnju na bilo koji način (to je jednako nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Još ne treba dati više primjera, kao što je gore opisano jasno odražavaju suštinu ove kategorije. Nesposoban događaj se nikada neće dogoditi tijekom eksperimenta ni pod kojim okolnostima.

Slučajni događaji

Proučavajući elemente teorije vjerojatnosti, posebnu pozornost treba posvetiti ovoj vrsti događaja. Oni su oni koji proučavaju tu znanost. Kao rezultat iskustva, nešto se može dogoditi ili ne. Osim toga, test se može provesti neograničen broj puta. Snažni primjeri su:

• Bacanje novčića je iskustvo, ili test, orao je događaj.
• Ispustivši loptu iz vrećice slijepo - test, crvena kugla je uhvaćena - ovaj događaj i tako dalje.

Takvi primjeri mogu biti neograničeni broj, ali općenito bit mora biti jasan. Sažeti i sistematizirati stečeno znanje o događajima, daje se tablica. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu svih prikazanih.

zakoni

Teorija vjerojatnosti je znanost koja istražuje mogućnost odustajanja od događaja. Kao i drugi, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:

• Konvergencija sekvenci slučajnih varijabli.
• Zakon velikih brojeva.

Prilikom izračunavanja mogućnosti složenog, može se upotrijebiti kompleks jednostavnih događaja kako bi se postigao rezultat lakšim i bržim načinom. Napominjemo da su zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazani pomoću određenih teorema. Predlažemo da se prvo upoznate s prvim zakonom.

Konvergencija sekvenci slučajnih varijabli

Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:

• Redoslijed slučajnih varijabli konvergira se u vjerojatnosti.
• Gotovo nemoguće.
• Srednja kvadratna konvergencija.
• Konvergencija u distribuciji.

Dakle, u letu, vrlo je teško doći do te točke. Evo definicija koje će vam pomoći da razumijete ovu temu. Za početak, prvi prikaz. Poziva se redoslijed konvergentna vjerojatnost, ako je zadovoljen sljedeći uvjet: n ima tendenciju da se beskonačno, broj kojemu je slijed niza veći od nule i blizu je jedinstva.

Idemo do sljedećeg obrasca, gotovo sigurno. Kaže se da slijed konvergira gotovo sigurno na slučajnu varijablu pri n, sklonostu beskonačnosti, i P u odnosu na vrijednost blizu jedinstva.

Sljedeća vrsta je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC-konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa smanjuje se na proučavanje njihovih koordiniranih slučajnih procesa.

Zadnji tip ostaje, neka je kratak pogled na njega i otići izravno na rješavanje problema. Konvergencija u distribuciji ima još jedno ime - "slaba", dalje objasniti zašto. Slaba konvergencija Je li konvergencija distribucije funkcionirala na svim točkama kontinuiteta ograničene funkcije raspodjele.

Obavezno ispunite obećanje: slaba konvergencija razlikuje se od svih navedenih u tom slučaju da slučajna varijabla nije definirana na prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer je stanje formirano isključivo pomoću funkcija distribucije.

Zakon velikih brojeva

Izvrsni teoretičari u dokazu ovog zakona bit će teoremi teorije vjerojatnosti, kao što su:

• Chebyshevova nejednakost.
• Chebyshevov teorem.
• Generalizirani Chebyshevov teorem.
• Markovjev teorem.

Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, ovo pitanje može odgoditi nekoliko desetaka listova. U našoj zemlji glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Predlažemo da to učinite upravo sada. No, prije nego što razmotrimo aksiome teorije vjerojatnosti, oni će biti glavni asistenti u rješavanju problema.

aksiomi

Od prvog smo se već upoznali kada smo govorili o nemogućem događaju. Zapamtite: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Primjer koji smo dali bio je vrlo svijetao i nezaboravan: snijeg je pao na temperaturu zraka od trideset stupnjeva Celzijusa.

Drugi zvuči ovako: pouzdani događaj se događa s vjerojatnosti jednakom jednom. Sada pokažimo kako se to može pisati matematičkim jezikom: P (B) = 1.

Treće: slučajni događaj može nastati ili ne, ali mogućnost uvijek varira od nule do jednog. Što je vrijednost bliže jedinstvu, to su veće šanse, ako vrijednost pristupe nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Ovo pišemo u matematičkom jeziku: 0

Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji glasi kako slijedi: vjerojatnost zbroja dva događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Pišemo je na matematičkom jeziku: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiomi teorije vjerojatnosti najjednostavnija su pravila koja se lako mogu pamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme, oslanjajući se na već stečeno znanje.

Ulaznica za lutrije

Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer - lutrija. Zamislite da ste kupili jednu lutričku kartu za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno je u optjecaj uključeno tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od petsto rubalja, deset za stotinu rubalja, pedeset za dvadeset rubalja, a sto za pet rubalja. Problemi u teoriji vjerojatnosti temelje se na pronalaženju šanse za uspjeh. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gore navedenog zadatka.

Ako označimo pismo A dobitkom od petsto rubalja, tada će vjerojatnost gubitka A biti 0,001. Kako smo to dobili? Trebate samo broj "sretnih" karata podijeljenih s ukupnim brojem njih (u ovom slučaju: 1/1000).

U - to je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti 0,01. Sada smo djelovali na isti princip kao u prošlosti (10/1000)

C - pobjeda je jednaka dvadeset rubalja. Pronašli smo vjerojatnost, jednako je 0,05.

Ostali ulaznice nisu od interesa za nas, budući da je njihov nagradni fond manji od one postavljene u stanju. Primijenite četvrti aksiom: Vjerojatnost dobitka najmanje dvadeset rubalja je P (A) + P (B) + P (C). Slovo P označava vjerojatnost nastanka ovog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim radnjama. Ostaje samo dodati potrebne podatke, u odgovoru dobivamo 0,061. Taj će broj biti odgovor na pitanje zadatka.

Kartonska paluba

Problemi u teoriji vjerojatnosti složeniji su, primjerice, slijedeći zadatak. Prije nego što ste paluba trideset i šest karata. Vaš zadatak je privući dvije karte u nizu bez miješanja stog, prva i druga kartica moraju biti aces, odijelo nije bitno.

Za početak, naći ćemo vjerojatnost da će prva karta biti as, jer za to dijelimo četiri po trideset šest. Stavili su ga na stranu. Dobivamo drugu karticu, bit će as kao vjerojatnost od tri trideset i pet. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome na koju smo karticu prvi izvukli, pitamo se je li to bio as ili nije. Iz toga slijedi da događaj B ovisi o događaju A.

Sljedeći korak nalazimo vjerojatnost istodobnog provođenja, tj umnožiti A i B. Njihov rad je kako slijedi: vjerojatnost jednog događaja pomnožen uvjetne vjerojatnosti drugog, izračunali smo, uz pretpostavku da je došlo do prvog događaja, odnosno, prva kartica smo izvukli asa.

Kako bi sve postalo jasno, dati ćemo oznaku elementu kao što je uvjetna vjerojatnost događanja. Izračunava se, uz pretpostavku da je došlo do događaja A. Izračunato kako slijedi: P (B / A).

Nastavljamo rješavanje našeg problema: P (A_*B) = P (A)_*P (B / A) ili P (A_*B) = P (B)_*P (A / B). Vjerojatnost je (4/36)_*((3/35) / (4/36). Izračun, zaokruživanje na najbližu stotinu Imamo: 0,11_*(0,09 / 0,11) = 0,11_*0,82 = 0,09. Vjerojatnost da ćemo privući dva ica u redu je jednaka devetstotinki. Vrijednost je vrlo mala, pa slijedi da je vjerojatnost nastanka događaja iznimno mala.

Zaboravljeni broj

Predlažemo rastavljanje još nekoliko varijanti zadataka koje studija teorije vjerojatnosti provodi. Primjeri rješenja nekih od onih koje ste vidjeli u ovom članku pokušati riješiti sljedeći problem: Dječak zaboravio telefonski broj za posljednju znamenku svog prijatelja, ali budući da je poziv bio vrlo važan, a onda je počeo da pokupi svaki zauzvrat. Moramo izračunati vjerojatnost da će zvati više od tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako su poznata pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti.

Prije nego pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da zadnja slika može biti od nula do devet, tj. Samo deset vrijednosti. Vjerojatnost tipa željenog je 1/10.

Zatim moramo razmotriti varijante podrijetla događaja, pretpostavimo da je dječak pogodio i odmah upisao u pravu, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv je propust, a drugi je na meti. Izračunajte vjerojatnost takvog događaja: 9/10 pomnožen s 1/9, na kraju dobivamo i 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv nisu bili na adresi, samo od trećeg dječaka je dobio gdje je htio. Izračunamo vjerojatnost takvog događaja: 9/10 pomnožen sa 8/9 i 1/8, dobivamo 1/10 kao rezultat. Ostale inačice ne zanima nas na stanje problema, stoga moramo dodati rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerojatnost da će dječak zvati najviše tri puta iznosi 0,3.

Kartice s brojevima

Prije nego što imate devet kartica, od kojih je svaki pisan brojem od jednog do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavili su ih u kutiju i temeljito izmiješani. Morate izračunati vjerojatnost da

• bit će jednolik broj-
• dvoznamenkasti.

Prije nego što prijeđemo na rješenje, recimo da je m broj uspješnih slučajeva, a n je ukupan broj opcija. Pronađimo vjerojatnost da će broj biti jednak. Neće biti teško izračunati da postoje čak i četiri brojeva, to će biti naš m, može biti devet inačica, tj. M = 9. Tada je vjerojatnost 0,44 ili 4/9.

Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a ne može biti uspjeha, tj. M jednak nuli. Vjerojatnost da će izduljena kartica sadržavati dvoznamenkasti broj također je nula.