Теоретические основы электротехники: метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений – это расчет электрических цепей, в которых переменными являются значения напряжений в узлах цепей относительно базисного узла. Уравнения составляются на базе первого закона Кирхгофа

Узловыми напряжениями называются напряжения между произвольным опорным узлом (в нем потенциал принимается равным нулю) и каждым из узлов. На схемах опорный узел отображают заземленным.

Рассмотрим различные методы расчета электрических цепей

Сущность этого метода, заключается в решении системы уравнений, при помощи которых определяются потенциалы каждого узла схемы по отношению с опорным узлом. После этого производится расчет цепей при помощи закона Ома, то есть определяются значения токов всех ветвей.

Расчет сложных цепей производится в следующей последовательности:

1. Составляется принципиальная схема, со всеми элементами.

2. Назначается произвольный опорный узел. Причем рекомендуется выбирать такой узел, в котором сходится наибольшее количество ветвей.

3. Задается произвольное направление токов во всех ветвях, что и обозначается на схеме.

4. Для расчета потенциалов оставшихся узлов по отношению к выбранному опорному узлу составляется система уравнений.

Равенства такой системы будут иметь следующий вид:

U1G11 – U2G12 - &hellip- - UsG1s – UnG1n = &sum-1EG + &sum-1J

-U1G21 + U2G22 - &hellip- - UsG2s – UnG2n = &sum-2EG + &sum-2J

&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-&hellip-.

U1Gn1 – U2Gn2 - &hellip- - UsGns + UnGnn = &sum-nEG + &sum-nJ, где:

• G – сумма проводимости ветвей подключенных к узлу;
• U – значение узловых напряжений;
• &sum-EG – алгебраическая сумма значений произведений ЭДС ветвей, которые примыкают к узлу, на их проводимости. (В том случае, когда ЭДС действует в направлении узла, тогда произведению присваивается знак «+», в обратном случае – «-».)

Описанная выше система уравнений разрешает легко рассчитывать искомые значения узловых напряжений. Она имеет название – система узловых уравнений. В том случае, когда сложная электрическая цепь состоит из n-го количества узлов, необходимо составить узловые уравнения на один меньше, чем численность узлов. Учитывая то, что все уравнения записаны на базе первого закона Кирхгофа, то рассчитываемая цепь должна содержать исключительно независимые источники электрического тока. В том случае, когда схема содержит источники напряжения, их необходимо заменять на эквивалентные источники тока. Кроме того, узловые уравнения возможно записать в матричной форме.

5. Система уравнений решается относительно узловых напряжений, определяя их значения.

6. После этого для каждой ветви отдельно по закону Ома вычисляются все значения электрического тока в цепи.

I = (Ua – Ub + &sum-Eab)/ &sum-Rab, где:

• I – значение тока ветви цепи;
• Ua – потенциал узла а;
• Ub – потенциал узла b;
• &sum-Eab - алгебраическая сумма данной ветви;
• &sum-Rab – арифметическая сумма сопротивлений данной ветви.

Метод узловых напряжений для схем, состоящих из двух узлов

При расчете электрических цепей, которые содержат всего два узла, система уравнений будет состоять из одного уравнения, из которого возможно напрямую вычислить значение узлового напряжения:

U = (&sum-nEnGn + &sum-nJn)/ &sum-mGm, где:

• &sum-nEnGn – алгебраическая сумма значений произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей;
• &sum-nJn – алгебраическая сумма значений источников тока;
• &sum-mGm – арифметическая сумма проводимостей всех ветвей между узлами.

Метод узловых напряжений имеет следующие математические преимущества: удобство вычислений и значительное сокращение количества арифметических операций.