Matematičko očekivanje i varijancija slučajne varijable

Teorija vjerojatnosti je posebna grana matematike, koju studiraju samo studenti visokih učilišta. Sviđa li vam se izračuni i formule? Zar se ne bojiš mogućnosti da se upoznate s normalnom distribucijom, entropijom ansambla, matematičkim očekivanjem i varijancijom diskretne slučajne varijable? Tada će vam ova tema biti vrlo zanimljiva. Upoznajmo nekoliko važnih osnovnih pojmova ovog dijela znanosti.

Podsjetimo se na osnove

Čak i ako se sjetite najjednostavnijih koncepata teorije vjerojatnosti, nemojte zanemarivati ​​prve stavke članka. Činjenica je da bez jasnog razumijevanja osnova, ne možete raditi s niže opisanim formulama.

Dakle, postoji neki slučajni događaj, eksperiment. Kao rezultat akcija koje poduzimamo, možemo dobiti nekoliko ishoda - neki od njih se češće pojavljuju, drugi - rjeđe. Vjerojatnost događaja je omjer broja stvarno dobivenih ishoda jednog tipa prema ukupnom broju mogućih ishoda. Samo znajući klasičnu definiciju ovog koncepta, možete početi proučavati matematički očekivanja i varijance kontinuiranih slučajnih varijabli.

Aritmetička sredina

Povratak u školu u matematici, počeli ste raditi s prosječnom aritmetičkom. Ovaj je koncept široko korišten u teoriji vjerojatnosti, i stoga ga se ne može zanemariti. Osnovna stvar za nas u ovom trenutku je da ćemo je susresti u formulama matematičkih očekivanja i varijance slučajne varijable.

Imamo niz brojeva i želimo pronaći aritmetičku sredinu. Sve što je od nas potrebno je zbrojiti sve što je dostupno i podijeliti po broju elemenata u slijedu. Imamo brojeve od 1 do 9. Suma elemenata će biti 45, a vrijednost ćemo podijeliti s 9. Odgovor: - 5.

disperzija

Znanstveno govoreći, varijansa je srednja kvadratna devijacija dobivenih vrijednosti karakteristične od aritmetičke sredine. Označeno je jednim velikim slovom D. Što trebate izračunati? Za svaki element slijeda izračunavamo razliku između postojećeg broja i aritmetičke sredine i kvadratiramo. Vrijednosti će biti upravo onoliko koliko mogu postojati ishodi u slučaju s kojim razmišljamo. Zatim ćemo sažeti sve rezultate i podijeliti po broju elemenata u slijedu. Ako imamo pet mogućih ishoda, dijeli se za pet.

Dispersion ima svojstva koja trebate zapamtiti za rješavanje problema. Na primjer, kad se slučajna varijabla povećava za faktor X, varijanta se povećava kvadratično u X (to jest X * X). Nikad nije niža od nule i ne ovisi o pomicanju vrijednosti jednake vrijednosti u većoj ili manjoj mjeri. Osim toga, za neovisna ispitivanja, varijanta zbroja jednaka je zbroju varijancija.

Sada moramo razmotriti primjere varijance diskretne slučajne varijable i matematičke očekivanja.

Pretpostavimo da smo proveli 21 pokus i dobili 7 različitih ishoda. Svaki od njih smo promatrali, odnosno, 1,2,2,3,4,4 i 5 puta. Koja je varijanta?

Prvo, neka je izračunata aritmetička sredina: zbroj elemenata je, naravno, 21. Dijelite ga sa 7, dobivajući 3. Sada, iz svakog izvornog slijeda, oduzmite 3, svaka vrijednost se kvadrati, a rezultati se zbrajaju zajedno. Ispalo je 12. Sada ostaje za nas da podijelimo broj po broju elemenata, i, očigledno, sve. Ali postoji ulov! Razgovarajmo o tome.

Ovisnost o broju eksperimenata

Ispada da kod izračuna varijancije u nazivniku, jedan od dva broja može stajati: ili N ili N-1. Ovdje N je broj izvršenih eksperimenata ili broj elemenata u slijedu (što je u osnovi ista stvar). Odakle ovisi?

Ako se broj testova mjeri u stotinama, onda moramo navesti nazivnik N. Ako su jedinice, onda N-1. Znanstvenici su odlučili provesti granicu vrlo simbolično: za danas prolazi kroz brojku 30. Ako smo proveli eksperimente manje od 30, onda ćemo podijeliti zbroj N-1, a ako je više - do N.

zadatak

Vratimo se na naš primjer rješavanja problema varijance i matematičkih očekivanja. Imamo srednji broj 12, koji se mora podijeliti na N ili N-1. Budući da smo proveli eksperimente 21, koji je manji od 30, odabiremo drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijansa je 12/2 = 2.

Matematičko očekivanje

Prijeđimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti ovaj članak. Očekivanje je rezultat sažetka svih mogućih ishoda pomnoženih odgovarajućim vjerojatnostima. Važno je shvatiti da se dobivena vrijednost, kao i rezultat izračuna varijance, dobiva samo jednom za cijeli zadatak, bez obzira na to koliko je postignutih rezultata.

Formula za očekivanje je vrlo jednostavan: uzeti na ishod, pomnoženoj s vjerojatnošću, dodamo isto za drugi, treći, rezultat, itd sve vezano za taj pojam, izračunava se jednostavno ... Na primjer, zbroj očekivanja očekivanje je zbroja. Za posao je stvaran isti. Takvi jednostavni postupci omogućuju da s nama izvodimo svaku količinu u teoriji vjerojatnosti. Uzmimo zadatak i izračunamo značenje dva koncepta koja smo proučavali. Osim toga, bili smo zbunjeni teorijom - vrijeme je za praksu.

Još jedan primjer

Proveli smo 50 testova i dobili 10 vrsta ishoda - brojevi od 0 do 9 - koji se pojavljuju u različitim postotcima. To, respektivno: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo, da biste dobili vjerojatnosti, morate podijeliti vrijednosti u postocima za 100. Tako dobivamo 0,02 do 0,1, itd. Za varijantu slučajne varijable i matematičke očekivanja predstavljamo primjer rješenja problema.

Izračunamo aritmetičku sredinu prema formuli koju sjećamo iz mlađe škole: 50/10 = 5.

Sada prevodimo vjerojatnosti u broj ishoda "u komadu", tako da bi bilo prikladnije računati. Dobivamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Svaka dobivena vrijednost oduzimati aritmetička sredina, i zatim se svaki od dobivenih rezultata se trga. Pogledajte kako to učiniti pomoću primjera prvog elementa: 1 - 5 = (-4). Dalje: (-4) * (-4) = 16. Za preostale vrijednosti obavite ove operacije sami. Ako ste učinili sve što je u redu, a zatim nakon što sve dodate srednje rezultate dobit ćete 90 bodova.

Nastavimo izračun varijance i matematičke očekivanja, podijelivši 90 po N. Zašto bismo izabrali N, a ne N-1? Tako je, jer je broj izvršenih eksperimenata veći od 30. Tako: 90/9 = 10. Primili smo disperziju. Ako imate drugačiji broj, nemojte očajavati. Najvjerojatnije, napravili ste banalnu pogrešku u izračunima. Ponovno provjerite što je napisano, i sigurno će sve ostati na mjestu.

Konačno, prisjetimo se formule matematičkih očekivanja. Nećemo dati sve izračune, napisat ćemo samo odgovor s kojim se možete konzultirati nakon što završite sve potrebne postupke. Očekivanje je 5.48. Samo ćemo vas podsjećati kako izvršiti operacije na primjeru prvih elemenata: 0 * 0.02 +1 * 0.1hellip- i tako dalje. Kao što vidite, jednostavno povećavamo vrijednost ishodu vjerojatnosti.

odstupanje

Drugi koncept usko povezan s varijancijom i matematičkim očekivanjem je srednje kvadratno odstupanje. Označeno je latinskim slovima sd, ili grčkim malim "sigma". Ovaj koncept pokazuje koliko vrijednosti odstupaju od središnje značajke u prosjeku. Da biste pronašli njegovu vrijednost, morate izračunati kvadratni korijen varijance.

Ako izradite normalan raspored distribucije i želite ga izravno vidjeti prosječna vrijednost kvadratno odstupanje, to se može učiniti u nekoliko faza. Uzmite pola slike lijevo ili desno od moda (srednja vrijednost), nacrtajte okomito na vodoravnu os, tako da su područja nastalih oblika jednaka. Vrijednost segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnoj osi bit će srednja kvadratna devijacija.

softver

Kao što se može vidjeti iz opisa formula i predstavljenih primjera, izračuni varijance i matematičko očekivanje nisu najjednostavniji postupak s aritmetičke točke gledišta. Kako ne bi gubilo vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u ustanovama visokog obrazovanja - naziva se "R". Ima funkcije koje omogućuju izračunavanje vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerojatnosti.

Na primjer, određujete vektor vrijednosti. To je učinjeno na sljedeći način: vektor <-c (l, 2-hellip-). Sada, kada trebate izračunati bilo koje vrijednosti za ovaj vektor, napišite funkciju i postavite ga kao argument. Da biste pronašli varijancu, morat ćete koristiti var funkciju. Primjer njegove uporabe: var (vektor). Dalje, samo pritisnite "ulaz" i dobijete rezultat.

U zaključku

Disperzija i matematička očekivanja su osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti, bez kojih je bilo teško izračunati ništa u budućnosti. U glavnom predmetu predavanja na sveučilištima smatraju se već u prvim mjesecima studija predmeta. To je zbog nedostatka razumijevanja ovih najjednostavnijih koncepata i nemogućnosti da ih se izračuna da se mnogi učenici odmah počinju zaostajati za programom, a kasnije dobivaju loše ocjene na rezultatima sesije, što ih lišava njihovih stipendija.

Vježbajte barem jedan tjedan pola sata dnevno, rješavajući zadatke slične onima prikazanim u ovom članku. Zatim na bilo kojem testu u teoriji vjerojatnosti možete se nositi s primjerima bez stranih tragova i varalica.