Koji su savršeni brojevi u matematici?

Suočeni s brojevima doslovno svaki trenutak našeg zemaljskog života. Čak su i drevni Grci imali gematriju (numerologiju). Za prikaz brojeva koristili su se slova abecede. Svako ime ili pisana riječ odgovarale su određenom broju. Danas je znanost matematike dostigla vrlo visok stupanj razvoja. Brojevi korišteni u različitim proračunima toliko su brojni da su grupirani zajedno. Posebno mjesto među njima zauzima savršeni broj.

gornji tok rijeke

U staroj Grčkoj ljudi su usporedili svojstva brojeva u skladu s njihovim imenima. Divizori brojeva dobili su posebnu ulogu u numerologiji. U vezi s tim, idealni (savršeni) brojevi bili su oni koji su bili jednaki zbroju njihovih dijelitelja. No, drevni Grci nisu uključili taj broj u divizore. Da bismo bolje razumjeli koji su savršeni brojevi, neka je prikazati primjerima.

Na temelju ove definicije, najmanje idealni broj je 6. Nakon što će biti 28. Tada 496.

Pitagora je vjerovao da postoje posebni brojevi. Isto mišljenje dijeli i Euklid. Za njih su ti brojevi bili toliko izvanredni i specifični da su ih povezali s mističnim. Takvi brojevi imaju tendenciju da budu savršeni. To su savršeni brojevi za Pitagore i Euklid. To uključuje 6 i 28.

ključ

Matematičari uvijek pokušavaju naći zajednički ključ za pronalaženje odgovora pri rješavanju problema s nekoliko rješenja.

Dakle, tražili su formulu koja definira idealni broj. Ali dobila se samo hipoteza, koja je morala biti dokazana. Zamislite da ste već odredili koji su savršeni brojevi, matematičari su proveli više od tisuću godina kako bi odredili petinu njih! Nakon 1500 godina postalo je poznato.

Vrlo značajan doprinos izračunavanju idealnih brojeva napravili su znanstvenici Fermat i Mersen (XVII. Stoljeće). Predložili su formulu za njihov izračun. Zahvaljujući francuskim matematičarima i djelima mnogih drugih znanstvenika početkom 2018. godine, broj savršenih brojeva dosegao je 50.

napredak

Naravno, ako je otvaranje savršenog broja, koji je već bio peti račun, trajao pola i tisućljeća, danas, zahvaljujući računalima, izračunavaju se mnogo brže. Na primjer, otvaranje 39. idealnog broja pala je 2001. godine. Ima 4 milijuna znakova. U veljači 2008. otvorili smo 44. jedinstveni broj. U 2010. godini - 47. ideal, a do 2018., kako je gore spomenuto, otvoren je 50. broj s statusom savršenstva.

Postoji još jedna zanimljivost. Proučavajući što su savršeni brojevi, matematičari su otkrili - svi su jednaki.

Malo povijesti

To je za određeni nepoznat kada su brojevi koji odgovaraju idealu su prvi put vidjeli. Međutim, sugerira se da su čak i u starom Egiptu i Babilonu bili prikazani na računu prsta. I nije teško pogoditi kakav je savršen broj prikazao. Naravno, ovo bio je 6. Do petog stoljeća poslije Krista, račun je držao prstima. Da bi prikazao broj 6 na ruci, prst prstiju bio je savijen i ostali su bili ispravljeni.

U drevnom Egiptu, mjera duljine bila je lakat. Bilo je ekvivalentno duljini dvadeset i osam prsta. Na primjer, u starom Rimu postojao je zanimljiv običaj - da se šestu gozbu na čuvenim i uglednim gostima uzme.

Sljedbenici Pitagore

Sljedbenici Pitagora također su voljeli idealne brojeve. Koji od brojeva je savršen nakon 28., bio je vrlo zainteresiran za Euklid (IV. Stoljeće prije Krista). Dao je ključ za pronalaženje svih idealnih parnih brojeva. Zanimljivo je deveta knjiga Euklidskih "elemenata". Među njegovim teoremima je onaj koji objašnjava da je savršen broj koji posjeduje izvanrednu imovinu:

vrijednost p će biti ekvivalentna izrazu 1 + 2 + 4 + hellip- + 2n, što se može napisati kao 2n + 1-1. Ovo je glavni broj. Ali već će 2np biti savršeni.

Da biste potvrdili ovu izjavu, moramo uzeti u obzir sve ispravne dijelove broja 2np i izračunati njihov iznos.

Ovo otkriće navodno pripada učenicima Pitagora.

Euklidsko pravilo

Osim toga, Euclid je dokazao: oblik čak i savršenog broja predstavlja matematički kao 2n-1 (2n-1). Ako je n premijera i 2n-1 je jednostavna.

Po Euklidovu pravilu Drevni grčki matematičar Nikomak od Gerasa (I.-II. Stoljeće). Pronašao idealne brojeve kao što su 6, 28, 496, 8128. Nicomachus Gerazsky govorio je o idealnom broju kao pro je jako lijepa, ali brojčano mali matematičkih pojmova.

Jedna i pol tisuća godina kasnije njemački znanstvenik Regiomontan (Johann Muller) otkrio je peti savršeni broj u matematici. Bili su 33 550 336.

Daljnja istraživanja matematike

Brojevi koji se smatraju jednostavnima i pripadaju seriji 2n-1 nazivaju se Mersenne brojevima. Ovo im se ime daje u čast francuskog matematičara koji je živio u XVII stoljeću. On je 1644. otvorio osmi savršeni broj.

250 godina kasnije ruski naučio matematičara Pervushin IM iz Pokrajina Perm pronašao je deveti idealni broj.

Od 1952. godine, računala (elektronička računala) povezana su sa sličnim matematičkim istraživanjima. Brzina izračuna znatno je porasla. Na primjer, postalo je poznato da, za razliku od prvog idealnog broja 6, koji je nedvosmislen, dvadeset i četvrti ima u svom arsenalu više od 12.000 znakova!

Povijest šahovske ploče

Postoji jedna vrlo zanimljiva priča o šahovskoj ploči, kralju i zrnu. Jednom kralj, diveći šahovsku igru, pozvao je kreatora igre da izabere nagradu. Tada je mudrac izabrao skromnu, čini se, nagradu - staviti na kaveze šahovske ploče žita. Iznenađena je redoslijeda rasporeda: prva ćelija 1 žitarica, drugi - 2, treći kavez trebao bi sadržavati 4, i tako napuniti cijelu ploču. Zanimljivo je da je u posljednjih 64 stanice bilo 1 199 038 364 791, 120 tona, što je 18 446 744 073 709 551 615 zrna.

Ova je količina otprilike 1800 puta veća od žetve svjetske žitarice prikupljene za cijelu ljudsku povijest.

Ako uzmemo masu jednog zrna kao 0,065 g, tada će ukupna masa na šahovskoj ploči iznositi 1200 trilijuna tona.

Kad bi se izgraditi žitnicu za pohranu takve količine žita, njegova veličina bila bi više nego Mount Everest: 10 x 10 x 15 (km), te u količinama to bi iznosilo oko 1.500 kmsup3-!

numerologija

U numerologiji postoji takva stvar kao najprikladniji broj 108 koji donosi uspjeh. Njegovi korijeni idu u vedsku kulturu. Vjeruje se da ako izvršite točno određenu akciju točno 108 puta, tada će u ovom slučaju biti postignuta određena razina savršenstva. Ovo se gledište odnosi na uređaj ljudske memorije: podijeljen je na kratkotrajnu i trajnu (unutarnju) memoriju. Dakle, u unutarnjoj se sjećanju nalaze ti pojmovi da je osoba ispunila 108 puta. Možda, dakle, kuglice za molitvu u klasičnoj verziji sadrže točno 108 kuglica. Dakle, nakon čitanja molitve na punom krugu krunica, postaje dio stalne memorije osobe.

Mističnost i činjenice

Da li broj je savršen, potrebno je napraviti određene izračune. Nema drugog načina. I takvi brojevi su rijetki. Na primjer, Pitagorin Jamblih pisao o idealnom broju kao fenomena s kojima se susreću nebrojenim do bezbrojnih bezbrojnih, a zatim iz bezbrojnih bezbrojnih do bezbrojnih bezbrojnih bezbrojnih, i tako dalje. D. Međutim, provjere izračuna XIX stoljeću su provedene, koja je pokazala kako su savršene brojevi sretnemo čak i rjeđe. Dakle, od 1020 do 1036, ne postoji savršen broj, a ako slijedite Jamblih, onda ne bi trebalo biti četiri.

Umjesto toga, to je nemogućnost pronalaženja takvih brojeva iznjedrile osnažiti svoje tajanstvene svojstva. Iako se na temelju biblijske priče, njegovi istraživači su zaključili da je svijet stvoren stvarno lijepa i savršena, budući da je broj dana stvaranja - to je 6. Ali čovjek nije savršen, kao što je stvorio i živi na dnu sedmoga. Međutim, njezin zadatak je težiti izvrsnosti.

Zanimljive činjenice su sljedeće:

• Nakon Noći poplave, 8 ljudi je spašeno u Noinom arku. U njemu je spremljeno sedam parova čistih i nečistih životinja. Ako sumiramo sve preživjele u Noinom arku, pojavljuje se broj 28, što je savršeno.
• Ljudske su ruke savršeni alat. Imaju 10 prsta, koji su obdareni sa 28 phalanges.
• Mjesec vrši svemirske revolucije svakih 28 dana.
  

Pitagorinci broj 6 smatraju se psihogenim. Geometrijski simbol koji odgovara 6 je heksagram.

Kad izvučete kvadrat, u njega možete nacrtati dijagonalu. Zatim će biti lako vidjeti da su njegovi vrhovi povezani s 6 segmenata. Ako to učinite i kockom, dobivate 12 rubova i 16 dijagonala (12 lica, 4 kocke). U sumi dobivamo 28. Analogna situacija bit će s tetraedrom čiji su vrhovi povezani s 6 rubova. Octagon također ima umiješanost u savršen broj od 28 (20 dijagonalnih plus 8 strana). Sedamdesetih piramida ima 7 rubova i 7 strana baze s 14 dijagonalama. Ukupno taj broj je 28.

Zanimljivi izračuni

Dakle, savršeni broj je broj jednak zbroju razdjelnika:

1 + 2 + 3 + hellip- + n

Dodaju se svi razdjelnici koji su manji od samog broja.

Svaki idealan broj, osim 6, je djelomični zbroj serije koja se sastoji od neparnih brojeva u trećem stupnju: 13 + 33 + 53 + hellip- nsup3-.

Još jedan iznenađujući vlasništvo tih brojeva je kako slijedi: zbroj recipročnih vrijednosti djelitelja, uključujući i jednak broj uvijek biti 2. Na primjer, uzeti 28, a zatim 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1 / 14 + 1/28 = 2.

Kao što je gore, od kojih svi mogu naći pomoću Euklidove formula navedenih, čak. Do sada, ne znamo neparne idealne brojeve. Naravno, u posljednjih nekoliko godina postigla veliki napredak u znanosti i matematike u nekoliko savršenih brojeva posebno. Međutim, problem proučavanja ovih matematičkih pojmova ostaje otvoren. Čak i ako pretpostavimo postojanje ak savršenih brojeva, onda će morati biti više od 10 300, a najmanje 75 imati premijera djelitelja, s obzirom na mnoštvo (9 od njih mora biti različiti).

Također je potpuno nerazumljiva, je li broj savršenih brojeva konačan ili je li ograničen?

Svi čak i savršeni brojevi ekvivalentan su zbroju uzastopnih prirodnih brojeva. Drugim riječima, one su trokutaste.

Brojevi koji se mogu pisati kao 2p - 1 nazivaju se Mersenne brojevima. Svaki takav broj ima odgovarajući savršeni broj. Naprotiv, isti se može reći: svaki idealni broj odgovara Mersenneovom broju.

Još jedno važno otkriće bilo je odnos binarne i savršenosti. Ako pomno pogledate, vidimo povezanost s geometrijskom progresijom.

Uz savršen, vrijedno je spomenuti i prijateljske brojeve. To su dva broja na koja je pravilo tipična: svaki je ekvivalentan zbroju razdjelnika drugog. Manji od njih su 220 i 284. Oni su bili poznati po pitagorejcima. Dobile su status simbola prijateljstva. Sljedeći par otvoren je 1636. Ovo je 17.296 i 18.416. Ovaj prijateljski par postao je poznat nama zahvaljujući francuskom odvjetniku i matematičaru Pierre Ferme.

No, u 1867 on je šokiran vijestima matematički svijet od šesnaest talijanske Niccolo Paganini (prezimenjak slavnog violinista), koji je prijavio prijateljski par brojeva u 1184. i 1210. To je najbliža 220 i 284. Začudo, par previdjeti sve eminentnih matematike koja proučava prijateljske brojeve ,