Koji su racionalni brojevi? Što su oni?

Što je racionalni brojevi? Viši studenti i studenti matematičkih specijalnosti vjerojatno će lako odgovoriti na to pitanje. No, oni koji su profesu daleko od ovoga, bit će teže. Što je to stvarno?

Bit i oznaka

Racionalnim brojevima podrazumijevaju se oni koji se mogu predstaviti kao jednostavna frakcija. Pozitivan, negativan, a također i nula ulaze u ovaj skup. Brojčani dio mora biti cijeli broj, a nazivnik mora biti a prirodni broj.

Ovaj skup u matematici označava se kao Q i naziva se "poljem racionalnih brojeva". Unesite sve prirodne vrijednosti i prirodne, označene kao Z i N. Isto postavljeno Q ulazi u skupinu R. To pismo označava tzv. pravi brojevi.

ideja

Kao što je već spomenuto, racionalni brojevi su skup u koji ulaze sve cijele i frakcijske vrijednosti. Mogu se prikazati u različitim oblicima. Prvo, u obliku običnih frakcija: 5/7, 1/5, 11/15, itd. Naravno, cijeli brojevi mogu biti napisani u sličnom obliku: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, itd drugo, još jedan način izlaganja - konačni decimalni frakcijski dio: .... 0,01, -15,001006, itd To je možda jedan od najčešćih oblika.

No, tu je i treća - periodična frakcija. Ova vrsta nije vrlo uobičajena, ali se i dalje koristi. Na primjer, frakcija 10/3 može se napisati kao 3,33333 ... ili 3, (3). U ovom slučaju, različiti prikazi smatraju se analognim brojevima. Također će se zvati ekvivalentne frakcije, na primjer 3/5 i 6/10. Čini se da je postalo jasno što su racionalni brojevi. Ali zašto se taj pojam koristi za njihovu oznaku?

Podrijetlo imena

Riječ "racionalno" u modernom ruskom uglavnom ima malo drugačije značenje. To je prilično "razumno", "namjerno". Ali matematički pojmovi su bliski izravnom značenju ovoga posuđene riječi. Na latinskom, "omjer" je "odnos", "frakcija" ili "podjela". Dakle, ime odražava bit onoga što racionalni brojevi jesu. Međutim, druga vrijednost nedaleko od istine.

Djelujte s njima

Prilikom rješavanja matematičkih problema neprestano se suočavamo s racionalnim brojevima, bez da to znamo sami. I imaju niz zanimljivih svojstava. Svi od njih slijede bilo iz definicije skupa, bilo od akcija.

Prvo, racionalni brojevi imaju svojstvo odnosa narudžbe. To znači da između dva broja postoji samo jedan odnos - oni su međusobno jednaki, ili je veći ili manji od drugog. E:

ili a = b - ili a> b, ili < b.

Pored toga, ova imovina također podrazumijeva tranzitivnost odnosa. To jest, ako više od b, b više od c, više od c. Na jeziku matematike izgleda ovako:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

Drugo, postoje aritmetičke operacije s racionalnim brojevima, tj. Zbrajanjem, oduzimanjem, dijeljenjem i, naravno, množenjem. U tom procesu, brojne se svojstva mogu razlikovati u procesu transformacije.

• a + b = b + a (promjena mjesta pojmova, komutativnost) -
• 0 + a = a + 0 -
• (a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost) -
• a + (-a) = 0-
• ab = ba-
• (ab) c = a (bc) (distributivnost) -
• a x 1 = 1 x a = a-
• x (1 / a) = 1 (ovdje a nije 0) -
• (a + b) c = ac + ab-
• (a> b) ^ (c 0) => (ac> bc).

Kada je riječ o običnim, a ne decimalima, frakcijama ili cijeli brojevi, postupci s njima mogu uzrokovati određene poteškoće. Dakle, dodavanje i oduzimanje mogući su samo ako su nazivnici jednaki. Ako su početno različiti, trebali biste pronaći zajedničku, pomoću umnožavanja cijele frakcije određenim brojevima. Usporedba je najčešće moguća samo ako se taj uvjet ispuni.

Podjela i umnožavanje običnih frakcija izrađuju se u skladu s prilično jednostavnim pravilima. Smanjenje zajedničkog nazivnika nije potrebno. U međuvremenu, pomnožiti brojnik i nazivnik, dok je u procesu provedbe dio mogućih aktivnosti potrebne kako bi se smanjili i pojednostaviti.

Što se tiče podjele, ova je akcija slična prvoj s malom razlikom. Za drugu frakciju, pronađi inverzni, to jest "okreni". Dakle, brojnik prve frakcije morat će se pomnožiti s drugim nazivnikom i obrnuto.

Konačno, drugo svojstvo inherentno racionalnim brojevima naziva se arimedeanskim aksiomom. Često u literaturi postoji i naziv "princip". Vrijedi za cijeli skup stvarnih brojeva, ali ne i svugdje. Dakle, ovo se načelo ne odnosi na određene skupove racionalnih funkcija. U suštini, ovaj aksiom znači da ako postoje dvije količine a i b, uvijek možete uzeti dovoljan broj od a prema b.

Opseg primjene

Dakle, oni koji su naučili ili sjetili racionalne brojeve postaju jasno da se koriste svugdje: računovodstvo, ekonomija, statistika, fizika, kemija i druge znanosti. Naravno, oni također imaju mjesto u matematici. Ne uvijek znajući da imamo posla, stalno koristimo racionalne brojeve. Ipak, mala djeca, učiti računati stvari, rezanje jabuka u komadiće ili obavljanje drugih jednostavnih akcija, suočiti ih. Doslovno nas okružuju. Pa ipak, za rješavanje nekih problema, oni nisu dovoljni, osobito, koristeći se Pitagorovim teoremom može se razumjeti nužnost uvođenja koncepta iracionalnih brojeva.