Pravi brojevi i njihova svojstva

Pitagora je tvrdio da se broj nalazi u podnožju svijeta u usporedbi s glavnim elementima. Platon vjeruje da taj broj povezuje fenomen i noumenon, pomažući spoznavanju, mjerenju i zaključivanju. Aritmetika dolazi od riječi "arithmos" - broj, početak je započeo u matematici. On može opisati bilo koji predmet - od elementarne jabuke do apstraktnih prostora.

Potrebe kao faktor razvoja

U početnim fazama formiranja društva ljudske potrebe bili su ograničeni na nužnost prebrojavanja - jedna vreća zrna, dvije vrećice zrna, itd. Da bi to učinili, bilo je dovoljno da imaju prirodne brojeve čiji je skup beskonačan pozitivni niz cjelina N.

Kasnije, s razvojem matematike kao znanosti, pojavila se potreba za zasebnim poljem integracija Z - uključuje negativne količine i nulu. Njegov nastup na domaćoj razini izazvao je činjenica da je u odjelu za primarne račune nekako bilo potrebno popraviti dugove i gubitke. Na znanstvenoj razini, negativni brojevi omogućili su rješavanje protozoa linearne jednadžbe. Među ostalim, sada je postalo moguće prikazati trivijalni koordinatni sustav jer se pojavila referentna točka.

Sljedeći korak bio je potreba za unosom frakcijskih brojeva, jer znanost nije stajala, sve više novih otkrića zahtijevalo je teorijsku osnovu za novi poticaj rastu. Tako je bilo polja racionalni brojevi P:

Konačno, racionalnost prestala zadovoljiti zahtjeve, jer svi novi zaključci zahtijevaju opravdanje. Pojavio se polje stvarnih brojeva R, Euklidova djela na nesumjerljivost određenih količina zbog svoje iracionalnosti. To jest, drevni grčki matematičari postavili su broj ne samo kao stalnu, već i kao apstraktnu vrijednost, koju karakterizira omjer nejednakih količina. Zahvaljujući činjenici da su se stvarni brojevi pojavili, "vrijednosti" poput "pi" i "e" bile su "vidljive", bez kojih moderna matematika nije mogla nastupiti.

Konačna inovacija bila je kompleksni broj C. Odgovorilo je na niz pitanja i opovrglo prethodno predstavljene postulate. Zbog brzog razvoja algebre, ishod je bio predvidljiv - s realnim brojevima, rješenje mnogih problema bilo je nemoguće. Na primjer, zahvaljujući složenim brojevima, teorija niza i kaosa, proširene su jednadžbe hidrodinamike.

Postavi teoriju. kantor

Koncept beskonačnosti u svakom trenutku bio je kontroverzan jer se nije mogao ni dokazati ni opovrgnuti. U kontekstu matematike, koja je djelovala sa strogo provjerenim postulatima, ovo se najjasnije očitovalo, pogotovo jer je teološki aspekt još imao težinu u znanosti.

Međutim, zahvaljujući radu matematičara Georga Cantora, sve je s vremenom pala na svoje mjesto. Pokazao je da beskonačni setovi postoje beskonačni skup, a činjenica da je polje R veća od polja N, neka oboje nemaju kraj. Sredinom XIX. Stoljeća njegove su ideje glasno zazivale zločine protiv klasičnih, nepokolebljivih kanonika, ali vrijeme je stavilo sve na svoje mjesto.

Osnovna svojstva polja R

Pravi brojevi imaju ne samo iste osobine kao i podmisije koje su uključene u njih, ali ih dopunjuju i zbog težine njihovih elemenata:

• Zero postoji i pripada polju R. c + 0 = c za bilo c u R.
• Nula postoji i pripada polju R. c x 0 = 0 za bilo c u R.
• Omjer c: d za d ne-0 postoji i pravi je za bilo c, d u R.
• Polje R je naredjeno, tj. Ako c le d, d le c, tada c = d za bilo c, d u R.
• Dodatak u polju R je komutativan, tj. C + d = d + c za bilo c, d u R.
• Množenje u polju R je komutativno, tj. Cx d = dx c za bilo c, d u R.
• Dodatak u polju R je asocijativni, tj. (C + d) + f = c + (d + f) za bilo c, d, f u R.
• Množenje u polju R je asocijativ, tj. (C x d) x f = c x (d x f) za bilo c, d, f u R.
• Za svaki broj iz polja R postoji suprotan, tako da c + (-c) = 0, gdje c, -c iz R.
• Za svaki broj u polju R postoji inverzni takav da c x c^-1 = 1, gdje c, c^-1 iz R.
• Jedinica postoji i pripada R, tako da c x 1 = c, za bilo c u R.
• Propis distribucije, tako da c x (d + f) = c x d + c x f, za bilo c, d, f u R.
• U polju R, nula nije jednaka jednoj.
• Polje R je tranzitivno: ako c le d, d le-f, zatim c le-f za bilo c, d, f u R.
• U polju R, redoslijed i dodavanje međusobno su povezani: ako c le-d, zatim c + f le-d + f za bilo c, d, f u R.
• U polju R redoslijed i množenje su međusobno povezani: ako je 0 le-c, 0 le-d, zatim 0 le-c xd za bilo c, d iz R.
• I negativni i pozitivni realni brojevi su kontinuirani, tj. Za bilo c, d u R, postoji f u R tako da c le f ld.

Modul u polju R

Pravi brojevi uključuju takvu stvar kao modul. Označava se kao | f | za bilo koji f u R. | f | = f ako je 0 le-f i | f | = -f ako 0> f. Ako uzmemo u obzir modul kao geometrijsku vrijednost, onda je udaljenost putovana - nije bitno ako ste "prošli" za nulu u minusu ili prema naprijed na plus.

Složeni i stvarni brojevi. Što je zajedničko i koje su razlike?

Općenito, složeni i stvarni brojevi jedan su i isti, osim što je zamišljena jedinica i, čiji je kvadrat -1, pridružio prvoj. Elementi polja R i C mogu se prikazati kao sljedeća formula:

• c = d + f x i, gdje d, f pripadaju polju R, a i je imaginarna jedinica.

Da bi dobili c iz R u ovom slučaju, f se jednostavno smatra jednakim nuli, tj. Ostaje samo pravi dio broja. Budući da polje kompleksnih brojeva ima isti skup svojstava kao polje stvarnih brojeva, f x i = 0, ako f = 0.

S obzirom na praktične razlike, onda, na primjer, u polju R kvadratna jednadžba Nije riješeno ako je diskriminant negativan, dok polje C ne nameće takvo ograničenje zbog uvođenja imaginarne jedinice i.

rezultati

"Cigle" aksioma i postulata na kojima se temelji matematika ne mijenjaju se. Neki od njih, u svezi s povećanjem informacija i uvođenjem novih teorija, stavljaju sljedeće "cigle", koje u budućnosti mogu postati osnova za sljedeći korak. Na primjer, prirodni brojevi, unatoč tome što su podskup stvarnog polja R, ne gube svoju važnost. Na njima se zasniva sva osnovna aritmetička s kojom počinje spoznaja čovjeka svijeta.

S praktičnog gledišta, stvarni brojevi izgledaju ravno. Na njemu možete odabrati smjer, navesti podrijetlo i korak. Ravna crta sastoji se od beskonačnog broja točaka, od kojih svaki odgovara jednom stvarnom broju, bilo da je to racionalno ili ne. Iz opisa jasno je da govorimo o konceptu na kojemu i matematika općenito i matematička analiza osobito.