Sinus, kosinus, tangens: što je to? Kako pronaći sinus, kosinus i tangent?

Jedan od dijelova matematike s kojim se studenti suočavaju s najvećim poteškoćama jest trigonometrija. To ne iznenađuje: da slobodno svladati ovu polje znanja, to zahtijeva prostorno razmišljanje, sposobnost pronaći sinus, kosinus, tangens, kotangens formula na pojednostavljenju izraza, biti u mogućnosti da se koristi u izračunavanju vrijednosti Pi. Osim toga, morate biti u mogućnosti primijeniti trigonometrija u dokazu teorema, a to zahtijeva naprednu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.

Podrijetlo trigonometrije

Poznavanje ove znanosti treba započeti definicijom sinusa, kosinusa i tangente kuta, ali prvo moramo razumjeti što trigonometrija uopće čini.

Povijesno gledano, glavni cilj istraživanja u ovom dijelu matematičke znanosti bili su pravokutni trokuti. Prisustvo pod kutom od 90 stupnjeva omogućuje izvršavanje različitih operacija koje omogućuju određivanje vrijednosti svih parametara dotične figure na dvije strane i jedan kut ili na dva kraja i jednoj strani. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj uzorak i počeli ga aktivno koristiti u gradnji zgrada, navigaciji, astronomiji pa čak i umjetnosti.

Početna faza

U početku, ljudi su govorili o odnosu kutova i strana isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otvorene posebne formule koje su dopustile širenje granica uporabe u svakodnevnom životu ovog dijela matematike.

Proučavanje trigonometrije u školi danas započinje s pravokutnim trokutima, a zatim koristiti znanja stečena studente fizike i rješavanje apstraktnih trigonometrijske jednadžbe, rad koji počinje u srednjoj školi.

Sferična trigonometrija

Kasnije, kada je znanost je ušao u sljedeći stupanj razvoja, s formulom sine, kosinusu, tangencijalne, kotangens su se u sfernoj geometriji, gdje postoje različita pravila, a zbroj kuteva u trokutu je uvijek veći od 180 stupnjeva. Ovaj dio se ne uči u školi, ali da znaju za njegovo postojanje mora biti minimalno, jer je zemljina površina i površina bilo koje druge planete, je konveksan, a time i sve oznake na površini će biti u trodimenzionalnom prostoru „luk”.

Uzmi globus i nit. Spojite nit na bilo koje dvije točke na globusu kako bi se pružila. Obratite pažnju - pronašao je oblik luka. S takvim oblicima primjenjuje se sferična geometrija, koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primjenjenim poljima.

Pravokutni trokut

Nekoliko metoda za učenje o primjeni trigonometrija, vraćamo se na osnovnu trigonometrije dodatno razumjeti što sine, kosinus, tangens, neki izračuni mogu ih koristiti za obavljanje i kakve formule gdje se koriste.

Prije svega, potrebno je razumjeti pojmove koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenzija je strana koja leži nasuprot kutu od 90 stupnjeva. To je najduži. Sjećamo se da je po pitagoranskom teoremu brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata s druge strane.

Na primjer, ako su dvije strane 3 i 4 centimetra, duljina hipotenuse će biti 5 centimetara. Usput, drevni Egipćani znali su o tome prije četiri i pol tisuće godina.

Dvije preostale strane, koje čine pravu kut, nazivaju se katetama. Osim toga, moramo se sjetiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu 180 stupnjeva.

definicija

Konačno, čvrsto razumijevanje geometrijske baze, može se pretvoriti u definiciju sinusa, kosina i tangenta kuta.

Sinus kut je omjer suprotne nogu (tj., Stranu nasuprot željenog kuta) prema hipotenusu. Kosinus kuta je omjer susjedne noge prema hipotenusu.

Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jednog! Zašto? Budući da je hipotenuza po zadanom najduža stranu desnog trokuta. Bez obzira koliko dugo je katetat, to će biti kraće od hipotenuse, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jednog. Dakle, ako imate sinus ili kosinus s vrijednosti veće od 1 u odgovoru na problem, potražite pogrešku u izračunima ili obrazloženju. Ovaj odgovor je nedvosmislen netočan.

Konačno, tangenta kuta je omjer suprotne strane od susjedne strane. Isti rezultat će rezultirati dijeljenjem sine kosinusom. Gledajte: prema formuli dijeli dužinu bočne strane hipotenusom, a zatim podijelimo po duljini druge strane i pomnožimo hipotenuzom. Tako dobivamo isti odnos kao u definiciji tangente.

Cotangent, respektivno, je omjer bočne strane u kutu na suprotnu stranu. Isti rezultat dobiva se dijeljenjem jedinice tangentom.

Zato smo razmotrili definicije o tome što su sinus, kosinus, tangent i cotangent, a možemo se baviti formulama.

Najjednostavnije formule

U trigonometrima, ne možete bez formule - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, cotangent bez njih? Ali to je potrebno za rješavanje problema.

Prva formula koju trebate znati kada počnete naučiti trigonometrija jest da je zbroj kvadrata sinus i kosinus kuta jedan. Ova je formula izravna posljedica pitagoranskog teorema, ali štedi vrijeme ako želite znati veličinu kuta, a ne stranu.

Mnogi studenti ne mogu se sjetiti drugi formula je također vrlo popularan u rješavanju problema u školi: količina jedinica i kvadratnom tangente jednak je jedan podijeljena s kvadratom kosinus kuta. Pripazite bliže: to je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta bile podijeljene na trg kosinskog. Ispada da je jednostavna matematička operacija se trigonometrijska formula u potpunosti neprepoznatljiv. Sjeti se, znajući što je sine, kosinus, tangens i kotangens, transformacije pravila i nekoliko osnovnih formula, uvijek možete donijeti sami potrebne složenije formule na komad papira.

Dvostruke kutne formule i dodavanje argumenata

Dvije formule koje želite naučiti povezane su sine i kosinusne vrijednosti za zbroj i razliku kutova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sine i kosinus množe u oba slučaja, au drugom slučaju dodaje se parni produkt sinusa i kosinusa.

Postoje i formule povezane s argumentima u obliku dvostrukog kuta. Oni su u cijelosti izvedeni od prethodnih - kao vježba, pokušajte ih sami uzeti tako da uzmete alfa kut koji odgovara beta kutu.

Konačno, imajte na umu da se dvoslojne formule mogu transformirati tako da se smanje stupanj sinus, kosinus, tangent alfa.

teorema

Dva osnovna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosovski teorem. Pomoću tih teorema lako možete shvatiti kako pronaći sinus, kosinus i tangent, a time i područje likova, veličine svake strane i tako dalje.

Sinusni teorem izjavljuje da kao rezultat dijeljenja duljine svake strane trokuta za iznos suprotnog kuta dobivamo isti broj. Štoviše, taj će broj biti jednak dvjema radijusima opisanog kruga, odnosno kruga koji sadrži sve točke danog trokuta.

Kosinski teorem generalizira Pitagorejski teorem, projicirajući ga na bilo koji trokut. Ispada da iz zbroja kvadrata dviju strana oduzme njihov proizvod pomnožen dvostrukim kosinom susjednog kuta - dobivena vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Dakle, pitagorejski teorem pokazuje da je poseban slučaj kosinskog teorema.

Pogreške zbog nepažnje

Čak i znajući što je sinus, kosinus i tangent, lako je napraviti pogrešku zbog odvraganosti pažnje ili pogreške u najjednostavnijim proračunima. Da bismo izbjegli takve pogreške, upoznat ćemo se s najpopularnijim.

Prvo, ne biste trebali pretvoriti obične frakcije u desetke dok ne dobijete konačni rezultat - odgovor možete ostaviti kao obični dio, ako uvjet ne odredi drugačije. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi zadatka mogu pojaviti novi korijeni koji bi se prema autorskoj namjeri trebali smanjiti. U ovom slučaju, trošite svoje vrijeme u nepotrebne matematičke operacije. To je osobito vrijedno za vrijednosti kao što su korijen tri ili dvije, jer se susreću u zadacima u svakom koraku. Isto se odnosi i na zaokruživanje "ružnih" brojeva.

Nadalje, imajte na umu da je u bilo kojem trokutu kosinski teorem primjenjiv, ali ne i teorem Pitagora! Ako pogrešno zaboravite oduzimati udvostručeni proizvod stranica množen kosinom kutova između njih, nećete dobiti samo posve pogrešan rezultat, već pokazati i potpuni nerazumijevanje predmeta. Ovo je gore od pogreške zbog nepažnje.

Treće, nemojte zbuniti vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosine, tangente, cotangente. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. One se lako zbunjuju pa ćete neizbježno doći do pogreške.

primjena

Mnogi učenici nemaju žurbu da počnu proučavati trigonometrija, jer ne razumiju njeno primijenjeno značenje. Što je sinus, kosinus, tangent za inženjer ili astronom? To su koncepti pomoću kojih možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteora, poslati sondu na drugi planet. Bez njih ne možete graditi zgradu, dizajnirati auto, izračunati opterećenje na površini ili putanju kretanja objekta. A to su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija u jednom ili drugom obliku se koristi svugdje, od glazbe do medicine.

U zaključku

Dakle, znaš što je sinus, kosinus, tangenta. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno riješiti probleme u školi.

Cijela točka trigonometrije svodi se na činjenicu da nepoznati parametri trokuta trebaju izračunati nepoznate. Ukupno, ovi parametri su šest: duljina tri strane i veličina triju kutova. Sva razlika u zadacima je da se daju različiti ulazi.

Kako pronaći sinus, kosinus, tangent od poznatih duljina nogu ili hipotenusa, sada znate. Budući da ovi izrazi ne znače samo odnos, a omjer je frakcija, glavna svrha trigonometrijskog problema je pronaći korijene obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I ovdje će vam biti pomaže obična školska matematika.