Kako izračunati područje piramide: bazu, stranu i punu?

Pri pripremi za uporabu u matematici, studenti moraju sustaviti znanje o algebru i geometriji. Želim kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. I polazeći od baze i bočnih strana do površine cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuta, dno je uvijek drugačije.

Kako se nalaziti kada pronađete područje baze piramide?

To može biti bilo koja vrsta likova: od proizvoljnog trokuta do n-gona. I ovaj temelj, osim razlike u broju kutova, može biti pravi lik ili pogrešan. U školskim zadaćama od interesa za učenike, susreću se samo poslovi s točnim brojevima u bazi. Stoga ćemo samo razgovarati o njima.

Pravi trokut

To je jednakostraničan. Onaj sa svim stranama jednak i označen slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:

S = (a² * radic-3) / 4.

kvadrat

Formula za izračunavanje područja je najjednostavnija, ovdje je "a" ponovno strana:

S = a².

Slučajni redoviti n-gon

Strana poligona ima isti zapis. Za broj kutova koristite latino slovo n.

S = (n * a²) / (4x tg (180nm- / r)).

Što trebam učiniti prilikom izračuna područja bočne i pune površine?

Budući da baza ima pravu figuru, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednodijelni trokut, budući da su bočni rubovi jednaki. Zatim, kako bismo izračunali bočno područje piramide, trebamo formulu koja se sastoji od zbroja identičnih monomala. Broj pojmova određen je brojem stranica baze.

Područje jednodijelnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica produkta baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apophema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za površinu bočne površine je sljedeća:

S = frac12-P * A, gdje je P perimetar baze piramide.

Postoje situacije u kojima nisu poznate strane baze, no na njegovom vrhu nalaze se bočni rubovi (c) i ravni kut (alfa). Tada bi trebala upotrijebiti takvu formulu za izračunavanje bočnog područja piramide:

S = n / 2 * in² grijeh alfa.

Zadatak broj 1

Stanje. Pronađite ukupnu površinu piramide, ako se nalazi u svojoj bazi jednakostranični trokut sa stranom od 4 cm, a apophema je važna radic-3 cm.

Rješenje. Počinje izračunavanjem perimetra baze. Budući da je to pravi trokut, onda je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je poznata apophema, možemo odmah izračunati površinu cjelokupne bočne površine: frac12- * 12 * radic-3 = 6radic-3 cm².

Za trokut na dnu dobivamo sljedeću vrijednost područja: (4²* radic-3) / 4 = 4radic-3 cm².

Da biste odredili ukupnu površinu, trebate dodati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6radic-3 + 4radic-3 = 10radic-3 cm².

Odgovor. 10radic-3 cm².

Zadatak broj 2

stanje. Postoji obična četverokutna piramida. Duljina stranice postolja je 7 mm, a bočni rub 16 mm. Potrebno je znati površinu svoje površine.

Rješenje. Budući da je polyhedron četverokutna i redovita, nalazi se trg na svojoj bazi. Nakon što je naučio područje podnožja i bočnih strana, moći će se brojati površina piramide. Formula za kvadrat daje gore. A na bočnim stranama poznate su sve strane trokuta. Zato možete upotrijebiti Geronovu formulu kako biste izračunali njihova područja.

Prvi izračuni su jednostavni i dovode do takvog broja: 49 mm². Za drugu vrijednost moramo izračunati semiperimetar: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možemo izračunati područje jednodijelnog trokuta: radikalno (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16)²) = radic-2985, 9375 = 54, 644 mm². Postoje samo četiri takva trokuta, tako da kod izračuna konačnog broja morate ga pomnožiti za 4.

Ispada: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm².

odgovor. Tražena vrijednost je 267,576 mm².

Zadatak broj 3

stanje. Redovna četverokutna piramida treba izračunati područje. Poznaje stranu trga - 6 cm i visine - 4 cm.

Rješenje. Najjednostavniji način je da se formula koristi proizvodom perimetra i apopheme. Prva je vrijednost jednostavna za pronalaženje. Drugi je malo složeniji.

Potrebno je prisjetiti teorema Pitagora i uzeti u obzir desni trokut. Oblikovana je visinom piramide i apopheme, što je hipotenuzu. Druga noga je jednaka polovici stranice trga, budući da visina poliedra pada na sredinu.

Željena apophema (hypotenuse pravokutnog trokuta) je radikalno (3² + 4²) = 5 (cm).

Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: frac12 - * (4 * 6) * 5 + 6² = 96 (cm²).

Odgovor. 96 centimetara².

Zadatak broj 4

Stanje. S obzirom na regularnu šesterokutnu piramidu. Stranice njegove baze su 22 mm, bočne rebra su 61 mm. Koja je površina bočne površine ovog poliedra?

Rješenje. Argumenti u njoj su isti kao oni opisani u 2. problemu. Samo je dano piramide s kvadratom na dnu, a sada je šesterokut.

Prvi je korak izračunati površinu baze prema gornjoj formuli: (6 * 22²) / (4 * tg (180ordm- / 6)) = 726 / (tg30ordm-) = 726radic-3 cm².

Sada je potrebno otkriti pola perimetra jednodijelnog trokuta, koji je bočno lice. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 ostaje na heronova formula za izračunavanje područje svaki od trokuta, a zatim ga množe šest puta i onog koji se ispostavilo da na bazu.

Izračuni pomoću Heronove formule: radikalno- (72 * (72-22) * (72-61)²) = radikalno-435600 = 660 cm². Izračuni koji daju površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm². Ostaje ih dodati kako bi saznali cijelu površinu: 5217,47 bas-5217 cm².

Odgovor. Grounds - 726radic-3 cm², bočna površina - 3960 cm², cijelo područje - 5217 cm².