Konveksni poligoni. Definicija konveksnog poligona. Dijagonalnosti konveksnog poligona

Ove geometrijske figure nas okružuju posvuda. Konveksni poligoni su prirodni, na primjer, pčelinji ili umjetni (stvoreni od strane ljudi). Ove brojke koriste se u izradi različitih vrsta premaza, slikanja, arhitekture, ukrasa itd. Konveksne poligone imaju svojstvo da su im točke leže na jednoj strani ravne linije koja prolazi kroz par susjednih vrhova geometrijske figure. Postoje i druge definicije. Konveks je taj poligon koji se nalazi u jednoj polovici u odnosu na bilo koju liniju koja sadrži jednu od njegovih strana.

Konveksni poligoni

U elementarnoj geometriji, uvijek uzmemo u obzir samo jednostavne poligone. Razumjeti sva svojstva takvih geometrijski oblici potrebno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak treba razumjeti da se svaka crta čiji se krajevi podudaraju zove zatvoreni. I lik koji je formirao, može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena poligonalna linija čije susjedne veze ne leže na istoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, odnosno, strane i vrhovi ove geometrijske figure. Jednostavna poliklina ne smije imati samo-raskrižja.

Vrhovi poligona se nazivaju susjedni ako predstavljaju krajeve jedne od njezinih strana. Geometrijski lik koji ima n-ti broj vrhova, a time i n-ti broj stranaka nazivaju n-gon. Slomljena crta se zove granica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonalna ravnina ili ravninski poligon zove se konačni dio bilo koje ravnine koja je omeđena. Susjedne strane ove geometrijske figure su segmenti isprekidane linije počevši od jednog vrha. Oni neće biti susjedni ako dolaze iz različitih vrhova poligona.

Ostale definicije konveksnih poligona

U elementarnoj geometriji postoji nekoliko više ekvivalentnih definicija u smislu njegove vrijednosti, što ukazuje na to da se poligon zove konveks. I sve te formulacije su jednako istinite. Konveksni poligon se smatra:

• svaki segment koji povezuje bilo koje dvije točke u njoj potpuno leži;

• unutar njega leže sve njegove dijagonale;

• svaki unutarnji kut ne prelazi 180 °.

Poligon uvijek dijeli zrakoplov na dva dijela. Jedan od njih je ograničen (može biti zatvoren u krug), a drugi je neograničen. Prva se zove unutarnja regija, a druga se zove vanjski dio ove geometrijske figure. Ovaj poligon je raskrižje (drugim riječima - zajednička komponenta) nekoliko pola ravnina. U tom slučaju, svaki segment koji završava na točkama koje pripadaju poligonu u potpunosti pripada tomu.

Vrste konveksnih poligona

Definicija konveksnog poligona ne znači da postoji mnogo vrsta. I svaki od njih ima određene kriterije. Tako, ispupčene poligona, koji imaju unutarnji kut od 180 °, s obzirom na malo konveksan. Konveksna geometrijski lik koji ima tri vrha, naziva se trokut, četiri - četverokut, pet - peterokut, itd svaki od konveksnog n-gons ispunjava sljedeće bitne uvjete: .. N mora biti jednak ili veći od 3. Svaka od trokuta je konveksan. Geometrijski lik ove vrste u kojoj su svi vrhovi nalaze na krug, pod nazivom upisan krug. Konveksni poligon naziva se opisan ako ga dodiruju sve strane u blizini kruga. Dva poligona nazivaju se jednakom samo ako se mogu kombinirati uz pomoć preklapanja. Poligonalna ravnina naziva se ravnina poligona (dio ravnine) koja je ograničena ovom geometrijskom figurom.

Redoviti konveksni poligoni

Ispravni poligoni su geometrijske figure s jednakim kutovima i stranama. Unutar njih nalazi se točka 0, koja je na istoj udaljenosti od svakog od njegovih vrhova. Naziva se središtem ove geometrijske figure. Segmenti koji povezuju središte s vrhovima ove geometrijske figure nazivaju se apopemije, a oni koji povezuju točku 0 sa stranama su širine.

Pravi četverokut je trg. Pravi trokut naziva se jednakostraničnim. Za takve figure postoje sljedeća pravila: svaki kut konveksnog poligona je 180 ° * (n-2) / n,

gdje je n broj vrhova ove konveksne geometrijske figure.

Područje bilo kojeg redovitog poligona definirano je formulom:

S = p * h,

gdje je p jednak polovini zbroja svih strana danog poligona, a h jednaka duljini apopheme.

Svojstva konveksnih poligona

Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, segment koji povezuje bilo koje dvije točke takve geometrijske figure nužno se nalazi u njemu. dokaz:

Pretpostavimo da je P određeni konveksni poligon. Uzeti dvije proizvoljne točke, npr A i B, koji pripadaju P. Prema trenutnom definiciji poligona, te točke nalaze se na jednoj strani ravne linije koja sadrži bilo kojeg smjera R. Prema tome, AB također ima to svojstvo, a koja je sadržana u R. A poligona uvijek Moguće je podijeliti u više trokuta apsolutno sve dijagonalne koje se izvlače iz jednog od njegovih vrhova.

Kutovi konveksnih geometrijskih slika

Kutovi konveksnog poligona su kutovi koji se formiraju sa strane. Unutarnji uglovi su u unutarnjem području ove geometrijske figure. Kut koji je oblikovan sa strane, koji se konvergiraju na jednom vrhu, naziva se kut konveksnog poligona. Kutovi susjedni s unutarnjim kutovima određene geometrijske figure, zovu se vanjski. Svaki kut konveksnog poligona koji se nalazi unutar nje jednak je:

180 ° - x,

gdje je x vrijednost vanjskog kuta. Ova jednostavna formula odnosi se na sve geometrijske figure ove vrste.

Općenito, za vanjske kutove, postoji sljedeće pravilo: svaki kut konveksnog poligona je jednak razlici između 180 ° i vrijednosti unutarnjeg kuta. Može imati vrijednosti u rasponu od -180 ° do 180 °. Stoga, kada je unutarnji kut 120 °, vanjski kut će biti 60 °.

Zbroj kutova konveksnih poligona

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog poligona određen je formulom:

180 ° * (n-2),

gdje n je broj vrhova n-gona.

Zbroj kutova konveksnog poligona izračunava se vrlo jednostavno. Razmotrite svaku takvu geometrijsku figuru. Da bi se odredio zbroj kutova unutar konveksnog poligona, jedan od njegovih vrhova mora biti povezan s drugim vrhovima. Kao rezultat ove akcije, dobivamo (n-2) trokuta. Poznato je da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta uvijek 180 °. Budući da je njihov broj u bilo kojem poligonu jednak (n-2), zbroj unutarnjih kutova takve slike je 180 ° x (n-2).

Zbroj kutova konveksnog poligona, naime bilo koja dva unutarnja i susjedna vanjska kuta, za određenu geometrijsku konveksnu sliku uvijek će biti 180 °. Polazeći od toga, moguće je odrediti zbroj svih njegovih kutova:

180 h n.

Zbroj unutarnjih kutova je 180 ° * (n-2). Polazeći od toga, zbroj svih vanjskih kutova navedene figure određuje se formulom:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Zbroj vanjskih kutova bilo kojeg konveksnog poligona uvijek će biti 360 ° (bez obzira na broj svojih stranica).

Vanjski kut konveksnog poligona općenito se prikazuje razlika između 180 ° i vrijednosti unutarnjeg kuta.

Ostala svojstva konveksnog poligona

Osim osnovnih svojstava ovih geometrijskih figura, oni imaju i druge koji nastaju prilikom manipuliranja njima. Dakle, bilo koji od poligona može se podijeliti u nekoliko konveksnih n-gona. Za to je potrebno nastaviti svaku stranu i izrezati ovu geometrijsku figuru duž ovih ravnih linija. Podijeliti bilo poligon u nekoliko konveksnih dijelova je moguće i tako da je vrh svakog komada podudaraju sa svim svojim vrhovima. Iz ove geometrijske figure vrlo je jednostavno napraviti trokuta držanjem svih dijagonala iz jednog vrška. Dakle, bilo koji poligon, u konačnici, može se podijeliti u određeni broj trokuta, što je vrlo korisno u rješavanju različitih zadataka u vezi s tim geometrijskim oblicima.

Opseg konveksnog poligona

Segmenti isprekidane linije, zvane strane poligona, najčešće su označeni sljedećim slovima: ab, bc, cd, de, ea. To su strane geometrijske figure s vrhovima a, b, c, d, e. Zbroj duljina svih strana ovog konveksnog poligona zove se njezin perimetar.

Krug poligona

Konveksni poligoni mogu biti upisani i opisani. Krug koji dodiruje sve strane ove geometrijske figure naziva se upisan u njega. Takav poligon zove se opisano. Centar krug koji je upisan u poligonu je točka sjecište simetrala kutova unutar određenog geometrijskog oblika. Područje takvog poligona jednako je:

S = p * r,

gdje je r polumjer upisane kružnice, a p je semiperimetar danog poligona.

U njemu se opisuje krug koji sadrži vrhove poligona. U ovom slučaju, ova konveksna geometrijska slika zove se upisana. Središte kruga, koji je opisan u blizini takvog poligona, predstavlja točku sjecišta tzv. Središnjih perpendikula sa svih strana.

Dijagonalne konveksne geometrijske figure

Dijagonalnosti konveksnog poligona su segmenti koji ne povezuju susjedne vrhove. Svaki od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-gona određen je formulom:

N = n (n-3) / 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trokuta (K), u koji se svaki konveksni poligon može podijeliti, izračunava se sljedećom formulom:

K = n - 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona uvijek ovisi o broju njegovih vrhova.

Odjeljivanje konveksnog poligona

U nekim slučajevima, za rješavanje geometrijskih problema potrebno je razbiti konveksni poligon u više trokuta s dijagonalnim dijagonalama. Taj se problem može riješiti dobivanjem određene formule.

Definicija problema: pozivamo određenu particiju konveksnog n-gona u više trokuta dijagonalama koji se križaju samo na vrhovima ove geometrijske figure.

Rješenje: Pretpostavimo da su P1, P2, P3 hellip-, Pn su vrhovi ovog n-gona. Broj Xn je broj njezinih particija. Pažljivo razmotrimo rezultirajuću dijagonalu geometrijske figure Pi Pn. U bilo kojoj od redovitih particija P1 Pn pripada određenom trokutu P1 Pi Pn, za koji je 1

Neka i = 2 bude jedna grupa redovnih particija, koja uvijek sadrži dijagonalu P2 Pn. Broj particija koje ulaze u nju podudara se s brojem particija (n-1) -gon P2 P3 P4hellip-Pn. Drugim riječima, jednak je Xn-1.

Ako je i = 3, ova druga grupa particija uvijek će sadržavati dijagonalu P3 P1 i P3 Pn. Štoviše, broj redovnih particija sadržanih u ovoj skupini podudara se s brojem particija (n-2) -gon P3 P4hellip-Pn. Drugim riječima, bit će jednak Xn-2.

Neka i = 4, a zatim ispravan pregrada između trokuta mora sadržavati trokut P4 P1 PN, koji se graniče četverostrana P1 P2 P3 P4, (n-3) gon R5hellip- P4 Pn. Broj točnih pregrada kao četverokut jednaka X4, a broj pregrada (n-3) jednak gon Xn-3. Na temelju navedenog, možemo reći da je ukupan broj redovnih particija koje su sadržane u ovoj skupini jednaka Xn-3 X4. Druge skupine, u kojima je i = 4, 5, 6, 7hellip- sadrže Xn-4 X5, X6-5 Xn, X7 Xn-6 hellip-regularne particije.

Ako je i = n-2, broj regularnih particija u datoj skupini podudara se s brojem particija u skupini za koju je i = 2 (drugim riječima, jednak je Xn-1).

Budući da X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2hellip-, broj svih particija konveksnog poligona je jednak:

Xn = Xn-l + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + hellip- + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

primjer:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Broj redovnih particija koje presijecaju jednu dijagonalu

U verifikaciji pojedinih slučajeva, može se pretpostaviti da je broj dijagonala konveksnih n-gona jednak proizvodu svih particija ove figure s (n-3).

Dokaz ove pretpostavke: pretpostavimo da P1n = Xn * (n-3), tada se bilo koji n-gon može raspasti u (n-2) -tangrijele. Istovremeno, jedan od njih može se kombinirati (n-3) - četverokut. Uz to, svaka četverostrana će imati dijagonale. Budući da se u ovoj konveksnoj geometrijskoj slici mogu nacrtati dvije dijagonale, to znači da je moguće nacrtati dodatne dijagonale (n-3) u bilo kojem (n-3) -two-laparonu. Polazeći od toga, može se zaključiti da je u bilo kojoj redovnoj particiji moguće izvršiti (n-3) -dijagonalne oblike koji odgovaraju uvjetima ovog problema.

Područje konveksnih poligona

Često, pri rješavanju različitih problema osnovne geometrije, postaje potrebno odrediti područje konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi Yi), i = 1,2,3hellip-n niz koordinata svih susjednih vrhova poligona koji nemaju samo-raskrižja. U ovom se slučaju njezino područje izračunava sljedećom formulom:

S = frac12- (sum- (X_ja + X_{i + 1}) (Y_ja + Y_{i + 1})),

gdje (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).