Sustav nejednakosti je rješenje. Sustav linearnih nejednakosti

Nejednakosti i nejednakosti jedna su od tema koje se podučavaju u srednjoj školi u algebru. Na razini složenosti nije najteži jer ima jednostavna pravila (o njima malo kasnije). U pravilu, studenti lako mogu riješiti sustav nejednakosti. To je također zbog činjenice da nastavnici jednostavno "osposobljavaju" svoje učenike o ovoj temi. I ne mogu to učiniti jer se u budućnosti proučava pomoću drugih matematičkih veličina i provjerava se i za OGE i USE. Školski udžbenici tema posvećena nejednakosti i sustava nejednakosti otkrivenim u detalje, pa ako ćete ga učiti, onda je najbolje posegnuti za njima. Ovaj članak opisuje samo velike materijale, a u njemu mogu biti i propusti.

Koncept sustava nejednakosti

Ako se okrenemo znanstvenom jeziku, onda možemo definirati pojam "sustava nejednakosti". Ovo je matematički model koji predstavlja nekoliko nejednakosti. Iz ovog modela, naravno, treba rješenje, te u svojoj sposobnosti da djeluje kao zajednički odgovor za sve nejednakosti sustava predloženih u poslu (obično u tome i pisati, na primjer: „Riješiti sustav nejednakosti 4 x + 1> 2 i 30 - x > 6 ... "). Međutim, prije nego što se prebacimo na vrste i metode rješenja, moramo nešto shvatiti.

Sustavi nejednakosti i sustava jednadžbi

U procesu proučavanja nove teme često se pojavljuju nesporazumi. S jedne strane, sve je jasno i radije žele početi rješavati zadatke, as druge strane - neki trenuci ostaju u "sjeni", a ne sasvim dobro shvaćeni. Također, neki elementi već stečenog znanja mogu biti isprepleteni s novima. Kao rezultat ovog "preklapanja" često se javljaju pogreške.

Stoga, prije nego počnemo analizirati našu temu, trebamo se sjetiti razlika između jednadžbi i nejednakosti, njihovih sustava. Da bismo to učinili, moramo još jednom objasniti što su matematički pojmovi. Jednadžba je uvijek jednaka, i uvijek je nešto jednako (u matematici ova riječ označena je znakom "="). Nejednakost je model u kojem jedna ili više količina, ili manje od druge, ili sadrži izjavu da nisu iste. Dakle, u prvom slučaju, prikladno je govoriti o jednakosti, au drugom slučaju, međutim, očigledno može zvučati iz naslova, nejednakost izvornih podataka. Sustavi jednadžbi i nejednakosti praktički se međusobno ne razlikuju, a metode njihova rješavanja su iste. Jedina je razlika u tome što u prvom slučaju koristimo jednakosti, dok se u drugoj nejednakosti koristi.

Vrste nejednakosti

Postoje dvije vrste nejednakosti: numerički i nepoznate varijable. Prvi tip je daje količina (broj), različit od drugoga, na primjer, 8> 10. II - nejednakosti sadrži nepoznata (označene slovom abecede, obično X). Ova varijabla zahtijeva njeno pronalaženje. Ovisno o tome kako su mnogi od njih, u matematički model istaknutim nejednakosti s jednim (čine sustav nejednakosti s jedne varijable) ili više varijabli (čine sustav nejednakosti s nekoliko varijabli).

Posljednje dvije vrste u smislu stupnja njihove konstrukcije i razine složenosti rješenja su podijeljene na jednostavne i složene. Jednostavni se nazivaju i linearne nejednakosti. Oni, zauzvrat, podijeljeni su na strog i nepristojan. Strogo specifično "kaže" da jedna vrijednost nužno mora biti manje ili više, pa je to u svom čistom obliku nejednakost. Možemo dati nekoliko primjera: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, itd. Ne-jednostavni uključuju jednakost. To jest, jedna vrijednost može biti veća ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "ge;") ili manja ili jednaka drugoj vrijednosti ("le;" znak). Čak iu linearnim nejednakostima, varijabla ne stoji u korijenu, kvadrati, ne može se dijeliti ništa, zbog onoga što se naziva "jednostavnim". Složene one uključuju nepoznate varijable, čiji nalaz zahtijeva više matematičkih operacija. Oni se često nalaze u kvadrat, kocka ili ispod korijena može biti modularan, prijavite se, djelomični itd Ali zato naš je zadatak da razumiju potrebu za rješavanje sustava nejednakosti, govorimo o sustavu linearnih nejednakosti. Međutim, prije toga trebali biste reći nekoliko riječi o njihovim svojstvima.

Svojstva nejednakosti

Sljedeće odredbe primjenjuju se na svojstva nejednakosti:

1. Signal nejednakosti se poništava ako se operacija koristi za preokrenu strane (na primjer, ako je t₁ le t₂, zatim t₂ ge- t₁).
2. Oba dijela nejednakosti omogućuju dodavanje istom broju (na primjer, ako je t₁ le t₂, zatim t₁ + broj le t₂ + broj).
3. Dvije ili više nejednakosti koje imaju znak jednog smjera omogućuju dodavanje lijeve i desne strane (na primjer, ako je t₁ge- t₂, t₃ge- t₄, zatim t₁ + t₃ge- t₂ + t₄).
4. Oba dijela nejednakosti mogu se umnožiti ili podijeliti s istim pozitivnim brojem (na primjer, ako t₁ le t₂ i broj le-0, zatim broj middot- t₁ broj middot- t₂).
5. Dvije ili više nejednakosti koje imaju pozitivne uvjete i znak jednog pravca dopuštaju da se razmnožavaju jedna drugoj (na primjer, ako je t₁ le t₂, t₃ le t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ge- 0 onda t₁ middot- t₃ le t₂ middot- t₄).
6. Oba dijela nejednakosti dopuštaju da se množi ili podijeli s istim negativnim brojem, ali promjena znaka nejednakosti (npr. Ako je t₁ le t₂ i broj le-0, zatim broj middot- t₁ broj middot- t₂).
7. Sve nejednakosti imaju svojstvo tranzitivnosti (na primjer, ako t₁ le t₂ i t₂ le t₃, zatim t₁ le t₃).

Sada, nakon proučavanja glavnih odredbi teorije koja se odnosi na nejednakosti, možemo izravno razmišljati o pravilima za rješavanje njihovih sustava.

Rješenje sustava nejednakosti. Opće informacije. načina rješavanja

Kao što je gore spomenuto, rješenje je vrijednost varijable, koja je pogodna za sve nejednakosti datog sustava. Rješenje sustava nejednakosti je provedba matematičkih akcija koje na kraju dovode do rješenja cijelog sustava ili dokazuju da nema rješenja. U ovom slučaju, recite da se varijabla odnosi na prazan numerički skup (napisan ovako: slovo označava varijablu isin- (znak "pripada") ø (znak "prazni set"), na primjer, x isin- ø (pročitajte ovako: "Varijabla" x "pripada praznom setu"). Postoji nekoliko načina za rješavanje sustava nejednakosti: grafički, algebarski, način supstitucije. Važno je napomenuti da se odnose na one matematičke modele koji imaju nekoliko nepoznatih varijabli. U slučaju da postoji samo jedan, metoda intervala je prikladna.

Grafička metoda

Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti s nekoliko nepoznatih vrijednosti (od dva i više). Zahvaljujući ovoj metodi, sustav linearnih nejednakosti riješen je vrlo lako i brzo, stoga je najčešća metoda. To je zato što konstrukcija grafikona smanjuje količinu pisanja matematičkih operacija. Posebno postaje ugodan da se malo pomakne iz ručke, podigne olovku s vladarom i nastavi s daljnjim radnjama uz pomoć, kada se radi puno posla i želi malo raznolikosti. Međutim, ovu metodu ne sviđa se činjenica da se morate odvojiti od zadatka i prebacivati ​​svoju mentalnu aktivnost na crtež. Ipak, ovo je vrlo učinkovit način.

Kako bi se riješio sustav nejednakosti pomoću grafičke metode, svi uvjeti svake nejednakosti moraju biti prebačeni na lijevu stranu. Znakovi se poništavaju, desno treba biti zapisano nula, tada morate zasebno pisati svaku nejednakost. Kao rezultat, nejednakosti donose funkcije. Nakon toga možete dobiti olovku i vladar: sada će biti potrebno nacrtati svaku primljenu funkciju. Cijeli niz brojeva, koji će biti u intervalu njihovog križanja, bit će rješenje sustava nejednakosti.

Algebarska metoda

Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti s dvije nepoznate varijable. Nejednakost mora imati isti znak nejednakosti (npr. E. se zahtijeva da sadrže bilo samo znak „više”, ili samo znak „manje od” i tako dalje.) Unatoč ograničenjima, ova metoda je složeniji. Primjenjuje se u dvije faze.

Prvi uključuje čin otklanjanja jedne od nepoznatih varijabli. Najprije morate odabrati, a zatim provjerite prisutnost brojeva prije ove varijable. Ako nisu (tada je varijabla će izgledati samo jedno slovo), onda ništa neće promijeniti ako postoji (vrsta varijable je, na primjer, tako da - 5y i 12y), onda morate biti sigurni da u svakom nejednakosti broja prije odabrane varijable je isto. Da biste to učinili, množe svaki član nejednakosti zajedničkim faktorom, na primjer, ako je prvi nejednakost zabilježen 3y, 5g i drugi, potrebno je svim članovima prve nejednakosti pomnožen 5, a drugi - na 3. dobiti 15 Y i 15 Y, respektivno.

Druga faza rješenja. Moramo prenijeti lijevu stranu svake nejednakosti na njihove desne strane, mijenjajući znak svakog pojma na suprotno, desno, da napiše nulu. Tada dolazi najzanimljivije: uzimanje osloboditi od izabrane varijable (na drugi način se zove "skraćivanje"), dok složivši nejednakosti. Dobivamo nejednakost s jednom varijablom koja se mora riješiti. Nakon toga, trebali biste učiniti isto, samo s drugom nepoznatom varijablom. Dobiveni rezultati bit će rješenje sustava.

Metoda supstitucije

Omogućuje vam da riješite sustav nejednakosti, ako je moguće, da unesete novu varijablu. Obično se ta metoda koristi kada se nepoznata varijabla u jednom pojmu nejednakosti podigne na četvrtu snagu, au drugom izrazu ima kvadrat. Dakle, ova metoda ima za cilj smanjenje stupnja nejednakosti u sustavu. Nejednakost uzorka x⁴ - x² - 1 le-0 na ovaj način riješen je kako slijedi. Nova je varijabla uvedena, na primjer, t. Oni pišu: "Neka t = x²", tada se model prepisuje u novom obliku. U našem slučaju dobivamo t² - t - 1 le-0. Ova nejednakost treba riješiti metodom intervala (oko nje malo kasnije), a zatim opet na varijablu X, a zatim ponoviti isto s drugom nejednakostima. Primljeni odgovori bit će rješenje sustava.

Način intervala

Ovo je najjednostavniji način rješavanja sustava nejednakosti, a istodobno je univerzalan i široko rasprostranjen. Koristi se u srednjoj školi, pa čak iu visokom obrazovanju. Njegova suština leži u činjenici da student traži intervale nejednakosti na brojčanu liniju, koja je izvučena u bilježnicu (to nije grafikon, već samo obična linija s brojevima). Tamo gdje se intervalima nejednakosti presijeca, pronađena je otopina sustava. Da biste koristili metodu intervala, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Svi uvjeti svake nejednakosti prenose se na lijevu stranu s preokretom znaka (nula je napisana udesno).
2. Nejednakosti se ispisuju odvojeno, određuje se odluka svakog od njih.
3. Postoje križanja nejednakosti na brojčanu liniju. Svi brojevi na ovim raskrižjima bit će rješenje.

Koji način upotrebe?

Očito je onaj koji se čini najlakšim i najprikladnijim, ali postoje slučajevi kada zadaci zahtijevaju određenu metodu. Najčešće je u njima pisano, da je potrebno riješiti bilo pomoću rasporeda, ili metodom intervala. Algebarska metoda supstitucije i rijetko se koristi ili ne koristi na sve, jer su složene i zbunjujuće, ali i veću primjenjivost za rješavanje sustava jednadžbi nego nejednakosti, pa treba koristiti za crtanje grafova i intervale. Oni donose jasnoću, što ne samo da može olakšati učinkovito i brzo provođenje matematičkih operacija.

Ako nešto ne radi

Tijekom proučavanja teme o algebru, naravno, može doći do problema s njegovim razumijevanjem. I to je normalno, jer je naš mozak dizajniran tako da ne može razumjeti složeni materijal u isto vrijeme. Često morate ponovno pročitati stavak, uzeti pomoć učitelja ili vježbati zadatak rješavanja tipičnih zadataka. U našem slučaju, primjerice, izgledaju ovako: "Riješite sustav nejednakosti 3 x + 1 ge- 0 i 2 x-1> 3. Dakle, osobna aspiracija, pomoć od strane ljudi i prakse pomažu u razumijevanju bilo koje složene teme.

Preoblikovanje?

A rezabynik je također vrlo dobar, ali ne zbog otpuštanja domaćih zadaća, već samopomoći. Oni se mogu naći u sustavu nejednakosti s odlukom da pogled na njih (kao predlošci), pokušati shvatiti kako autor rješenja nosila sa zadatkom, a zatim pokušati izvesti kao na neovisan način.

nalazi

Algebra je jedan od najtežih predmeta u školi. Pa, što mogu učiniti za to? Matematika je oduvijek bila to: ona se daje nekome jednostavno, ali nekome s teškoćama. Ali u svakom slučaju treba imati na umu da je opći obrazovni program izgrađen na takav način da ga bilo koji učenik može nositi. Osim toga, moramo imati na umu veliki broj pomoćnika. Neki od njih su gore spomenuti.