Kako riješiti nejednakosti? Kako riješiti frakcijske i kvadratne nejednakosti?

Koncept matematičke nejednakosti nastao je u ekstremnoj antici. To se dogodilo kad je primitivni čovjek imao potrebu na rezultat i aktivnosti s različitim predmetima za usporedbu njihov broj i vrijednost. Polazeći od davnina koristi nejednakosti u svojim argumentima Arhimeda, Euklida i drugih poznatih znanstvenika: matematičara, astronoma, inženjera i filozofa.

Ali oni su, u pravilu, koristili verbalnu terminologiju u svojim djelima. Po prvi put, u Engleskoj su u praksi izumljeni i primijenjeni moderni znakovi za pojmove "više" i "manje", kao što su danas poznati svakom učeniku. Matematičar Thomas Garriott pružio je takvu uslugu potomcima. I dogodilo se prije četiri stoljeća.

Postoje mnoge vrste nejednakosti. Među njima je jednostavna, koja sadrži jednu, dvije ili više varijabli, kvadratne, frakcije, složene odnose i čak predstavljaju sustav izraza. I kako bi shvatili kako riješiti nejednakosti, najbolje je na različitim primjerima.

Nemojte propustiti vlak

Za početak, zamislite da stanovnik ruralnog područja prolazi do željezničke stanice, koja se nalazi 20 km od njegova sela. Da ne kasni za vlak koji polazi u 11 sati, mora otići kući na vrijeme. U kojem je satu to potrebno ako je brzina kretanja 5 km / h? Rješenje ovog praktičnog problema svodi se na ispunjenje uvjeta ekspresije: 5 (11 - X) ge-20, gdje je X vrijeme odlaska.

To je razumljivo, jer je udaljenost koju seljak mora prevladati do postaje jednak brzini kretanja pomnožen s brojem sati na cesti. Muškarac može doći ranije, ali ne može kasniti. Znajući kako riješiti nejednakosti i primjenjivati ​​njihove vještine u praksi, na kraju ćemo dobiti X le-7, što je odgovor. To znači da bi seljak trebao otići do željezničke stanice u sedam ujutro ili malo ranije.

Broj praznina na koordinatnoj liniji

Sad ćemo saznati kako mapirati opisane odnose koordinirati liniju. Gore dobivena nejednakost nije stroga. To znači da varijabla može uzeti vrijednosti manje od 7, a može biti jednaka tom broju. Dajemo i druge primjere. Da biste to učinili, pažljivo razmotrite sljedeće četiri figure.

Na prvoj od njih možete vidjeti grafički prikaz intervala [-7-7]. Sastoji se od skupa brojeva smještenih na koordinatnoj liniji i nalazi se između -7 i 7, uključujući granice. U ovom slučaju, točke na grafikonu prikazane su u obliku ispunjenih krugova, a razmak je snimljen pomoću kvadratne zagrade.

Druga slika je grafički prikaz stroge nejednakosti. U tom slučaju granični brojevi -7 i 7, prikazani probijanim (a ne zasjenjenim) točkama, nisu uključeni u navedeni skup. I zapis o jazu se izrađuje u zagradama kako slijedi: (-7-7).

To je, saznati kako riješiti neravenstvatakogo tip, i dobio ovaj odgovor, možemo zaključiti da se sastoji od brojeva koji se nalaze između tih granica, osim -7 i 7. sljedeća dva slučaja mora se ocijeniti na isti način. Treći lik Slike su praznine (-infin-- -7] U [7- + infin-), a četvrti - (-infin-- -7) U (7- + infin-).

Dva izraza u jednom

Često možete pronaći sljedeći unos: 7 < 2X - 3 < 12. Kako riješiti dvostruke nejednakosti? To znači da su dva uvjeta odmah postavljena na izraz. I svaki od njih treba uzeti u obzir kako bi dobili točan odgovor za varijablu X. Uzevši to u obzir, dobivamo iz odnosa 2X - 3> 7 i 2X - 3 < 11 sljedeće:

5 < X < 7. Konačni odgovor napisan je na ovaj način: (5-7). To znači da varijabla uzima skup vrijednosti zatvorenih u jaz između brojeva 5 i 7, isključujući granice.

Slična svojstva s jednadžbom

Jednadžba je izraz kombiniran znakom =, što znači da su oba njegova dijela (lijevo i desno) identični po veličini. Stoga se često ti odnosi povezuju sa slikom starih ljestvica, imajući zdjele postavljene i pričvršćene pomoću poluge. Ovaj uređaj je uvijek u ravnoteži ako su oba kraja uravnotežena. U tom se slučaju položaj ne mijenja ako se lijevi i desni dijelovi nadopunjuju ili izgube opterećenja iste mase.

U matematičkoj jednadžbi, na oba dijela jednadžbe, tako da se ne prekida, također možete dodati isti broj. U tom slučaju može biti pozitivan ili negativan. Kako riješiti nejednakosti u ovom slučaju, i možete li to učiniti isto s njima? Prethodni primjeri pokazali su da.

Razlika od jednadžbe

Oba dijela izraza, povezana znakovima < ili>, može se pomnožiti i podijeliti s bilo kojim pozitivnim brojem. U ovom slučaju, istinitost odnosa nije povrijeđena. Ali kako riješiti nejednakost s frakcijama s negativnim i cjelobrojnim množiteljima, prije kojih postoji znak minus? Ovdje se situacija potpuno razlikuje.

Pogledajmo ovaj primjer: -3X < 12. Da biste odabrali varijablu na lijevoj strani, morate ih podijeliti za -3. U tom se slučaju znak nejednakosti poništava. Dobivamo: X> -4, što je odgovor na problem.

Način intervala

Kaže se da je nejednakost kvadratna ako sadrži varijablu podignutu na drugu snagu. Primjer takvog odnosa je sljedeći izraz: X² - 2X + 3> 0. Kako riješiti kvadratne nejednakosti? Najprikladniji način je metoda intervala. Da bi se to postiglo, lijeva strana omjera treba biti faktorizirana. Ispada: (X - 3) (X + 1). Zatim se preporuča pronaći nula funkcije i dogovoriti dobivene točke u ispravnom redoslijedu na koordinatnoj liniji.

Zatim morate distribuirati znakove dobivenih intervala zamjenom u izrazu bilo kojeg broja koji pripada određenom intervalu. U jednostavnim slučajevima, obično je dovoljno razumjeti barem jedan od njih, a ostatak - da se dogovore po pravilu izmjene. U zaključku, ostaje samo odabrati odgovarajuće intervale kako bi se dobilo konačno rješenje.

Kvadratne nejednakosti ovdje se pridržavaju zakona korespondencije negativnih područja s minusima, a pozitivne na pluse. To jest, ako je izraz veći od nule, moramo uzeti numeričke praznine označene znakom +. U suprotnom slučaju, rješenje će biti dijelovi označeni s -. Dakle, rješenje naše nejednakosti je napisano kao (-infin-1) U (3- + infin-).

Drugi primjeri primjene metode intervala

Opisana metoda daje odgovor na još jedno važno pitanje: kako riješiti frakcijske nejednakosti, ako je u ovom slučaju jednaka metoda intervala vrlo primjenjiva? Razmotrimo detaljnije kako se to može učiniti, koristeći primjer veze predstavljenu u nastavku.

Evo, nule su točke -9 i 4. Za pronalaženje rješenja potrebnih da ih stavi na koordinatnom osi i definirati praznine maraka, odabir onih koji će biti označena znakom plus. Treba napomenuti da će samo broj 4 biti ispunjen.

Još jedna točka bit će izbrisana jer -9 nije uključena u raspon prihvatljivih vrijednosti. Uostalom, nazivnik je nula, što je nemoguće u matematici. Kako riješiti frakcijske nejednakosti? U ovom slučaju, konačni odgovor je jedinstvo praznina: (-infin---9) U [4- + infin-).

Parabole na grafikonu

Da biste saznali sve o nejednakostima često se pomažu ne samo crtežima na koordinatnoj liniji, već i slikama u kartezijanskoj ravnini. Poznato je da je grafikon kvadratne ovisnosti parabola. Čak i shematski crtež ove vrste može pružiti gotovo potpune odgovore na postavljena pitanja. Smatramo neke od vrsta parabola koje daju ideje o rješavanju kvadratnih nejednakosti.

Ovdje ćemo prije svega razjasniti neke istine. Svaki izraz ove vrste sveden je na oblik: sjekira² + U ovom slučaju, ako je koeficijent a ispada pozitivan, onda parabola treba izvući s granama, u suprotnom slučaju - dolje. I korijeni jednadžbe su točke gdje grafikon funkcije presijeca os OX.

tumačenje

Poznavanje gore navedenih izjava je vrlo važno za razumijevanje kvadratnih nejednakosti i odgovore na pitanja vezana uz njih. Nakon iscrtavanja parabolske sheme na kartezijanskoj ravnini, potrebno je saznati u kojoj točki funkcija (tj. Vrijednosti koordinata točaka duž OY osi) uzima indekse + i -. Štoviše, ako nejednakost sadrži znak>, tada će njegovo rješenje biti skup vrijednosti prihvaćenih od varijable X za pozitivan Y.

U slučaju znaka < u odgovoru indeksi za X daju se s negativnim Y. To se događa da parabola ne presijeca osi OX uopće. To se događa u slučajevima kada A < 0. Zatim, ako je grafikon u gornjoj polovini, odgovor za kvadratnu nejednakost s znakom je interval (-infin-- + infin-). I za < rješenje je prazan set. S nižom pola ravnina, to je slučaj s točnošću i obratno.

O prednostima grafike

Slike na kartezijanskom planu uvelike pojednostavljuju problem za sustave jednadžbi. Slike jasno pokazuju rješenja koja su točke križanja primijenjenih crta. Ostaje samo izračunati svoje koordinate i zapisati odgovor.

Isto vrijedi i za nejednakosti. Na primjer, rješenje y le-6-x (kao što je vidljivo iz slike) je ravna linija y = 6-x, kao i pola ravnina koja se nalazi ispod ove granice. Za točan odgovor možete uzeti bilo koju točku na grafikonu (na primjer (1-3) i zamijeniti njezine koordinate u nejednakosti. le-6 - 1, to jest, točan omjer. Dakle, gore navedeno razmišljanje bilo je točno.

Nejednakost u ge- x² opisuje područje na kartezijanskoj ravnini koja se nalazi u zdjelici parabole, uključujući njezine granice. A na sjecištu tih sektora, možemo pronaći rješenje odnosa napisano u obliku: x² na le le-6 - x. Bit će ograničeno odozdo prema liniji parabole i odrezana odozgo ravnom linijom. Da bismo bili sigurni, ponovno ćemo izvršiti provjeru, zamjenjujući koordinate bilo koje točke koja pripada ovoj regiji.

Uzmi (1-4). Dobijte: 1 4 le le-6-1, što je opet pravi omjer. Ovdje opet ima smisla primijetiti da nejednakosti imaju mnogo sličnosti s jednadžbama, iako su obdarene značajnim razlikama.