Jednadžbe iracionalne i načine kako ih riješiti

Studirajući algebra, učenici dolaze preko jednadžbi mnogih vrsta. Među onima koji su najjednostavniji mogu se zvati linearni koji sadrže jedan nepoznat. Ako se varijabla u matematičkom izrazu podigne do određenog stupnja, tada se jednadžba naziva kvadratna, kubična, biokratna i tako dalje. Ovi izrazi mogu sadržavati racionalne brojeve. Ali postoje iracionalne jednadžbe. Od ostalih razlikuju se prisutnost funkcije u kojoj je nepoznat pod znakom radikala (tj. Čisto vanjska varijabla može se vidjeti zapisano pod kvadratnim korijenom). Rješenje iracionalnih jednadžbi ima svoje osobine. Prilikom izračunavanja vrijednosti varijable da bi dobili točan odgovor potrebno ih je uzeti u obzir.

"Neizrecive riječi"

Nije tajna da su drevni matematičari radili uglavnom s racionalnim brojevima. Takvi, kao što znamo, cjeloviti su, izraženi redovitim i decimalnim periodičnim frakcijama, predstavnici ove zajednice. Međutim, znanstvenici Srednje i Bliskog Istoka, kao i Indije, razvijajući trigonometrija, astronomiju i algebra, također su naučili riješiti iracionalne jednadžbe. Na primjer, Grci su poznavali takve količine, ali, stavljajući ih u verbalni oblik, upotrijebili su izraz "alogos", što je značilo "neizrecivo". Nešto kasnije Europljani, oponašajući ih, takve brojeve nazivaju "gluhima". Od svih ostalih se razlikuju po tome što se mogu prikazati samo u obliku beskonačne nonperiodic frakcije, konačni numerički izraz koji je jednostavno nemoguće dobiti. Stoga su češće takvi predstavnici područja brojeva napisani u obliku brojeva i znakova kao nekog izraza koji je pod korijenom drugog ili većeg stupnja.

Na temelju gore navedenog pokušajte odrediti neracionalnu jednadžbu. Takvi izrazi sadrže takozvane "neizrecive brojeve" napisane pomoću kvadratnog znaka korijena. Oni mogu predstavljati sve vrste prilično složenih varijacija, ali u najjednostavnijem obliku imaju oblik prikazan na donjoj slici.

Kada se okrenemo rješenju neracionalnih jednadžbi, prije svega potrebno je izračunati raspon dopuštenih vrijednosti varijable.

Je li izraz ima smisla?

Nužnost provjere dobivenih vrijednosti slijedi od svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena. Kao što znate, takav je izraz prihvatljiv i ima određeno značenje samo pod određenim uvjetima. U slučaju korijena jednakog stupnja, svi podređeni izrazi moraju biti pozitivni ili jednaki nuli. Ako ovaj uvjet nije zadovoljen, prikazana matematička notacija ne može se smatrati smislenim.

Dajte konkretan primjer kako riješiti neracionalne jednadžbe (na donjoj slici).

U ovom slučaju očito je da navedeni uvjeti ne mogu biti zadovoljeni za sve vrijednosti preuzete potrebnom količinom, budući da se ispada da: 11 le x 4. To znači da samo Ø može biti rješenje.

Metoda analize

Iz gore navedenog postaje jasno kako riješiti neracionalne jednadžbe nekih vrsta. Ovdje jednostavna analiza može biti učinkovit način.

Dajmo brojne primjere koji opet to jasno pokazuju (na donjoj slici).

U prvom slučaju, na bliži pregled izraza odmah postaje jasno da to ne može biti istina. Doista, nakon svega, na lijevoj strani jednadžbe mora se dobiti pozitivan broj koji ni na koji način ne može biti jednak -1.

U drugom slučaju suma dva pozitivna izraza može se smatrati jednakom nuli, samo kada su istovremeno x = 3 = 0 i x + 3 = 0. Ali to je opet nemoguće. Dakle, odgovor bi trebao ponovno napisati Ø.

Treći primjer je vrlo sličan onom koji se već smatra. Doista, budući da ovdje uvjeti DSA zahtijevaju da se zadovolji sljedeća apsurdna nejednakost: 5 x le 2. Takva jednadžba ne može imati zvuk rješenja na isti način.

Neograničena aproksimacija

Priroda iracionalnog može se najjasnije i potpuno objasniti i poznavati samo beskonačnim nizom decimalnih brojeva. To je konkretan, živi primjer članova ove obitelji pi-a. Ne bez razloga, pretpostavlja se da je ova matematička konstanta poznata još od antičkih vremena, koja se koristi za izračunavanje opsega i područja kruga. Ali među Europljanima je prvo upotrijebio u praksi engleski William Jones i švicarski Leonard Euler.

Ova se konstanta javlja na sljedeći način. Ako usporedite različite dužine oko opsega, tada omjer njihovih duljina i promjera nužno je jednak istom broju. Ovo je pi-a. Ako ga izraziti u smislu frakcija, onda smo dobili oko 22/7. Po prvi put je napravio veliku Arhimedovu, čiji je portret prikazan je na slici iznad. Zato je sličan broj dobio ime. Ali to nije jasno, a približna vrijednost možda najviše iznenađuje brojeva. Genijalni znanstvenik u rasponu od 0,02 pronašao željenu količinu, ali u stvari, to konstanta nije realna vrijednost, a izražava se kao 3,1415926535hellip- To je beskonačan broj znamenki, beskrajno bliže mitsku vrijednost.

Kvadratni kvadrat

Ali vratimo se neracionalnim jednadžbama. Da biste pronašli nepoznato, u ovom slučaju vrlo često pribjegavaju jednostavnoj metodi: oni podižu oba dijela postojeće jednakosti na trgu. Takva metoda obično daje dobre rezultate. Ali moramo uzeti u obzir lukavstvo iracionalnih vrijednosti. Svi korijeni koji proizlaze iz ovoga trebaju biti provjereni, jer možda nisu prikladni.

No, nastavit ćemo uzeti u obzir primjere i pokušati pronaći nove varijable na novo predloženi način.

Jednostavno je, koristeći Vietov teorem, pronaći tražene vrijednosti količina nakon što je formirana određena kvadratna jednadžba kao posljedica određenih operacija. Ovdje se ispostavlja da će među korijenima biti 2 i -19. Međutim, prilikom potvrđivanja, zamjenom dobivene vrijednosti u početnom izrazu možete se pobrinuti da niti jedan od tih korijena nije prikladan. Ovo je čest fenomen u iracionalnim jednadžbama. Dakle, naša dilema opet nema rješenja, a odgovor bi trebao označiti praznu skupinu.

Primjeri su složenije

U nekim je slučajevima potrebno zatražiti oba dijela izraza, ne jedan, već nekoliko puta. Razmotrite primjere gdje je to potrebno. Mogu se vidjeti dolje.

Nakon što je primio korijene, ne zaboravite da provjerite ih, jer može biti suvišno. Trebao bi se objasniti zašto je to moguće. U primjeni ove metode javlja na neki način racionalizacije jednadžbe. No, uzimajući osloboditi od neželjenih nas korijena koji sprečavaju proizvoditi aritmetika, kao da smo proširiti postojeći raspon vrijednosti, koji je pun (kao što možete reći) posljedice. Predviđamo to, provodimo ček. U tom slučaju, postoji mogućnost da bi bili sigurni da samo stane jedan od korijena: x = 0.

sistem

Što učiniti u slučajevima kada je potrebno riješiti sustave iracionalnih jednadžbi, a mi nemamo samo dva nepoznata? Ovdje nastavljamo na isti način kao u uobičajenim slučajevima, ali uzimajući u obzir gornja svojstva navedenih matematičkih izraza. I u svakom novom zadatku, naravno, treba koristiti kreativan pristup. Ali opet, bolje je razmotriti sve na konkretnom primjeru prikazanom u nastavku. Ovdje nije neophodno pronaći varijable xi y, već i naznačiti u odgovoru njihov zbroj. Dakle, postoji sustav koji sadrži iracionalne količine (vidi sliku u nastavku).

Kao što možete vidjeti, ova zadaća ne predstavlja ništa supernaturalno složeno. Potrebno je samo pokazati pamet i pretpostaviti da je lijeva strana prve jednadžbe kvadrat zbroja. Slični zadaci nalaze se u USE.

Iracionalno u matematici

Svaki put je potreba za stvaranjem novih vrsta brojeva nastala u čovječanstvu kad nije imao "prostor" za rješavanje nekih jednadžbi. Iracionalni brojevi nisu iznimka. Kao što svjedoče činjenice iz povijesti, prvi put su veliki mudraci privukli pozornost na to još prije naše ere u VII. Stoljeću. Napravio je matematičara iz Indije, poznat kao Manav. Jasno je shvatio da je nemoguće izvaditi korijen iz nekih prirodnih brojeva. Na primjer, oni su 2-17 ili 61, kao i mnogi drugi.

Jedan od Pitagorejci zove Hippasus mislioca, došao do istog zaključka, pokušavajući obavljati izračune s brojčanim izrazima PENTAGRAM stra. Otvaranje matematičke elemente koji se ne mogu izraziti u brojčanim vrijednostima i nemaju svojstva obične brojeve, on je bio toliko razljutila svoje kolege koji je u more bačen u more. Činjenica da drugi Pitagorejci smatra svoje argumente pobunu protiv zakona svemira.

Radikalni znak: evolucija

Korijen znak izraziti vrijednost „gluh” brojeva počela se koristiti u rješavanju iracionalne jednadžbe i nejednakosti nije odmah. Po prvi put radikalna počeo razmišljati europske, osobito talijanski, matematičare oko XIII. Onda smo došli do koje se odnose na korištenje latinski R. No, njemački mathematicians u djelima učiniti drugačije. Ih u obliku slova V. germanij simbolom V (2) ubrzo proširila, V (3), koji je bio namijenjen za izražavanje kvadratni korijen od 2, 3 i tako dalje. Kasnije u nizozemskom intervenirala i mijenjati radikalnu znak. Ispunjena evolucija Rene Descartes, donoseći kvadratni korijen znak modernog savršenstva.

Uzimajući osloboditi od iracionalnog

Iracionalni jednadžbe i nejednakosti mogu sadržavati varijablu, a ne samo u znaku kvadratni korijen. Može biti bilo koji stupanj. Najčešći način da biste dobili osloboditi od njega je sposobnost da izgrade obje strane odgovarajućeg stupnja. Ova primarna akcija koja pomaže u poslovanju s iracionalnim. Akcije u čak slučajeva nije posebno drugačiji od onih koji su već ranije demontirana. Mora se uzeti u obzir uvjetima ne-negativnosti u radicand, a na kraju mora biti donesena odluka screening nevažnih varijabli na takav način, kao što je prikazano u primjerima već raspravljali.

Od dodatnih transformacija koje pomažu u pronalaženju točnog odgovora često se koristi množenje izraza u konjugatu, a često je potrebno i uvođenje nove varijable što olakšava rješenje. U nekim slučajevima, da biste pronašli vrijednost nepoznatog, preporučljivo je primijeniti grafikone.