Fizičko značenje derivata neke funkcije. Zadaci za fizičko značenje derivata: primjeri rješenja

Matematički problemi pronalaze svoju primjenu u mnogim znanostima. To uključuje ne samo fiziku, kemiju, tehnologiju i ekonomiju, nego i medicinu, ekologiju i druge discipline. Jedan od važnih pojmova koji treba naučiti kako bi pronašli rješenja za velike dileme je derivat funkciju. Fizički značenje objasniti nije tako teško kao što svibanj činiti se nepoduzetan u materiju. Dovoljno je pronaći prikladne primjere toga u stvarnom životu i običnim svakodnevnim situacijama. Zapravo, svaki se vozač svaki dan suočava s ovim zadatkom, kada gleda brzinomjer, određujući brzinu svog automobila u određenom trenutku određenog vremena. U ovom se parametru nalazi lažnost fizičkog značenja derivata.

Kako pronaći brzinu

Odredite brzinu osobe na cesti, znajući da je udaljenost putovao i vrijeme na cesti, lako svaki peti razred može lako. Da biste to učinili, prva od navedenih vrijednosti podijeljena je na drugu. Ali ne i svi mladi matematičari znaju da u ovom trenutku pronalazi omjer inkrementa funkcije i argumenata. Doista, ako je prisutan pokret u obliku grafa, plotanje na ordinati put, a apscisa - vrijeme, to će biti slično.

Međutim, brzina pješaka ili bilo kojeg drugog objekta koji definiramo na velikom dijelu staze, uz pretpostavku da je prijedlog jednaka, može se razlikovati. U fizici su poznati mnogi oblici kretanja. To se može dogoditi ne samo sa stalnim ubrzanjem, već usporavanjem i povećanjem proizvoljnog. Treba napomenuti da u ovom slučaju linija koja opisuje kretanje više neće biti prava linija. Grafički, ona može prihvatiti najsloženije konfiguracije. Ali za bilo koju od točaka grafikona uvijek možemo privući tangent prikazan linearnom funkcijom.

Da bi se pojasnio parametar mijenjanja kretanja u funkciji vremena, potrebno je skratiti izmjerene segmente. Kad postanu beskonačni, izračunata brzina će biti trenutna. Ovo iskustvo pomaže nam dati definicija derivata. Fizičko značenje također slijedi logično slično razmišljanje.

S gledišta geometrije

Poznato je da je veća brzina tijela, strmijim graf pomicanja vremena, a time i kuta nagiba tangente na grafikonu u nekom određenom trenutku. Indikator takvih promjena može biti tangenta kuta između osi apscisa i tangentne linije. Kako je vrijeme on određuje vrijednost derivata i izračunati omjer duljina protivnička susjedne nogu na pravokutnog trokuta okomica iz točke na apscisi.

Ovo je geometrijsko značenje prvog derivata. Fizička se otkriva u činjenici da je veličina suprotne noge u našem slučaju prolazna staza, a susjedni je vrijeme. U ovom slučaju, njihov omjer je brzina. I opet dolazimo do zaključka da je trenutačna brzina, određena nastojanjem obje praznine do infinitezimalnog, suština pojma derivata, što ukazuje na njegovo fizičko značenje. Drugi derivat u ovom primjeru je ubrzanje tijela, što zauzvrat pokazuje stupanj promjene brzine.

Primjeri pronalaženja derivata u fizici

Derivat je pokazatelj brzine kojom se svaka funkcija mijenja, čak i kad se ne radi o pomicanju u doslovnom smislu riječi. Da bismo ovo ilustrirali, dajemo nekoliko konkretnih primjera. Pretpostavimo da trenutna snaga, ovisno o vremenu, varira u skladu sa sljedećim zakonom: ja = 0.4t². Potrebno je pronaći vrijednost brzine kojom se ovaj parametar mijenja na kraju 8. sekunde procesa. Napominjemo da se sama količina, kako se procjenjuje iz jednadžbe, stalno povećava.

Za rješenje je potrebno pronaći prvu izvedbu, čije je fizičko značenje bilo ranije. ovdje dI/dt = 0,8t. Zatim ćemo ovo pronaći t= 8, ustanovili smo da je stopa po kojoj se trenutno razlikuje jednaka 6.4 /c. Ovdje se smatra da se struja mjeri u amperu i vremenu u sekundama.

Sve je promjenjivo

Vidljivi okolni svijet, koji se sastoji od materije, stalno mijenja, u pokretu različitih procesa koji se u njemu odvijaju. Različiti parametri mogu se koristiti za opisivanje njih. Ako su povezani odnosom, matematički su napisani kao funkcija koja vizualno pokazuje svoje promjene. A gdje postoji pokret (u bilo kojem obliku koji se izražava), postoji derivat, čije fizičko značenje u ovom trenutku razmatramo.

S tim u vezi, sljedeći primjer. Pretpostavimo da se tjelesna temperatura mijenja sukladno zakonu T= 0,2t². Potrebno je naći brzinu zagrijavanja na kraju 10. sekunde. Rješenje problema provodi se na način analogan onom opisanom u prethodnom slučaju. To jest, nalazimo derivat i zamjenjujemo u njemu vrijednost zat = 10, dobivamo T = 0,4t = 4. Dakle, konačni odgovor je 4 stupnja u sekundi, tj. Proces zagrijavanja i promjena temperature mjerene stupnjevima, događa se upravo po ovoj brzini.

Rješavanje praktičnih problema

Naravno, u stvarnom životu, sve je puno složenije nego u teorijskim problemima. U praksi, vrijednost količina se obično određuje tijekom eksperimenta. Istodobno se upotrebljavaju uređaji koji daju indikaciju prilikom mjerenja s određenom pogreškom. Stoga, u proračunima se mora baviti približnim vrijednostima parametara i pribjegavati zaokruživanju neugodnih brojeva, kao i drugih pojednostavljenja. Uzimajući to u obzir, ponovno započnemo probleme fizičkog značenja derivata, uzimajući u obzir da su oni samo određeni matematički model najsloženijih procesa koji se odvijaju u prirodi.

Vulkanska erupcija

Zamislite da postoji vulkanska erupcija. Koliko može biti opasno? Kako bi se pojasnio ovaj problem, potrebno je razmotriti mnoge čimbenike. Pokušat ćemo uzeti u obzir jednu od njih.

Iz usta "vatrenog čudovišta" kamenje se baci vertikalno prema gore, s početnom brzinom od trenutka izlaska van 120 m / s. Potrebno je izračunati kako mogu doseći maksimalnu visinu.

Da bismo pronašli željenu vrijednost, sastavit ćemo jednadžbu ovisnosti visine H, mjerene u metrima, na ostalim količinama. To uključuje početnu brzinu i vrijeme. Pretpostavlja se da je vrijednost ubrzavanja poznata i približno jednaka 10 m / s².

Djelomični derivat

Fizičko značenje derivata funkcije sada smatramo malo s druge strane, jer sama jednadžba ne može sadržavati niti jednu, već nekoliko varijabli. Na primjer, u prethodnom problemu, ovisnost visine penjanja kamenja koja se emitira iz otvora vulkana određena je ne samo mijenjanjem vremenskih karakteristika već i vrijednosti početne brzine. Pretpostavljeno je da je ovo posljednja fiksna vrijednost. Ali u drugim problemima s potpuno različitim uvjetima, sve bi moglo biti drugačije. Ako su vrijednosti na kojima ovisi kompleksna funkcija nekoliko, izračuni se izrađuju prema dolje navedenim formulama.

Tjelesno značenje čestog derivata treba odrediti, kao u uobičajenom slučaju. Ovo je brzina kojom se funkcija mijenja u određenoj točki dok se parametar povećava. Izračunava se na takav način da su sve druge komponente uzete kao konstante, samo jedna se smatra varijablom. Tada se sve događa u skladu s uobičajenim pravilima.

Neovisan savjetnik o mnogim pitanjima

Razumijevanje fizičkog značenja derivata, primjeri rješavanja složenih i složenih problema, odgovor na koji se može naći sličan znanje, lako je dati. Ako imamo funkciju koja opisuje potrošnju goriva ovisno o brzini automobila, možemo izračunati na kojim će parametrima zadnja potrošnja benzina biti najmanje.

U medicini se može predvidjeti kako ljudsko tijelo reagira na propisan lijek. Uzimanje lijeka utječe na različite fiziološke pokazatelje. To uključuje promjene u krvnom tlaku, brzini otkucaja srca, tjelesnoj temperaturi i još mnogo toga. Svi ovise o dozi lijeka. Ovi izračuni pomažu predvidjeti tijek liječenja, kako u povoljnim manifestacijama, tako iu neželjenim nesrećama koje mogu pogubno utjecati na promjene u tijelu bolesnika.

Bez sumnje je važno razumjeti fizičko značenje derivata u tehničkim pitanjima, posebice u elektrotehnici, elektronici, gradnji i konstrukciji.

Udaljenost kočenja

Razmotrimo sljedeći zadatak. Kreće konstantnom brzinom, automobil približava most 10 sekundi prije stupanja bila prisiljena usporiti jer je vozač primijetio putokaz zabranjuje kretanje na brzinu veću 36 km / h. Je li vozač prekršio pravila ako se kočna udaljenost može opisati formulom S = 26t - t²?

Izračunavanjem prvog derivata nalazi se formula za brzinu, dobivamo v = 28 - 2t. Zatim zamijenite vrijednost t = 10 u naznačenom izrazu.

Budući da je ova vrijednost izražena u sekundama, brzina je 8 m / s, što znači 28,8 km / h. To omogućuje da shvate da je vozač počeo kočiti na vrijeme i ne krše prometne propise, a time i ograničenje navedeno na znaku brzine.

To dokazuje važnost fizičkog značenja derivata. Primjer rješavanja ovog problema pokazuje širinu korištenja ovog koncepta u različitim sferama života. Uključivanje u svakodnevne situacije.

Izvedeno u gospodarstvu

Do devetnaestog stoljeća, ekonomisti su uglavnom radili na prosječnim vrijednostima, bilo da je produktivnost rada ili cijena proizvedenih proizvoda. No, iz određene točke za učinkovita predviđanja na ovom području, granične su vrijednosti postale nužne. To uključuje rubni korisni programi, prihodi ili troškovi. Razumijevanje toga potaknulo je stvaranje potpuno novog alata u ekonomskom istraživanju, koji je postojao i razvio se više od stotinu godina.

Sastaviti takve izračune, gdje prevladavaju takvi pojmovi, barem i maksimalno, jednostavno je potrebno razumjeti geometrijsko i fizičko značenje derivata. Među osnivačima teorijske osnove tih disciplina su takvi istaknuti engleski i austrijski ekonomisti kao američki Jevons, K. Menger i drugi. Naravno, granične vrijednosti u ekonomskim proračunima ne mogu uvijek biti prikladno korištene. Na primjer, tromjesečna izvješća ne moraju se nužno uklopiti u postojeću shemu, ali je u mnogim slučajevima primjena takve teorije korisna i učinkovita.