Linearne i homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja

Mislim da bismo trebali početi s poviješću takvog veličanstvenog matematičkog alata kao i diferencijalne jednadžbe. Kao i svi diferencijalni i integralni kalkulatori, ove jednadžbe su izumili Newton krajem 17. stoljeća. On vjeruje da je njegovo otkriće toliko važno da je čak i šifrirane poruke, koji danas može biti preveden na sljedeći način: „Sve prirodne zakone opisani pomoću diferencijalnih jednadžbi” Čini se kao pretjerivanje, ali sve je to istina. Svaki zakon fizike, kemije i biologije može se opisati ovim jednadžbama.

Golemi doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi napravili su matematičari Euler i Lagrange. Već u 18. stoljeću otkrili su i razvili ono što se sada studira na višim sveučilišnim tečajevima.

Novi korak u istraživanju diferencijalnih jednadžbi započeo je Henri Poincare. On je stvorio "kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi", koja je u kombinaciji s teorijom funkcija složene varijable učinila značajan doprinos temeljima topologije - znanosti o prostoru i njegovim svojstvima.

Koje su diferencijalne jednadžbe?

Mnogi se boje jedne fraze "diferencijalna jednadžba". Međutim, u ovom članku ćemo detaljno opisati cijelu bit ovog vrlo korisnog matematičkog aparata, koji zapravo nije tako složen kao što se čini iz naslova. Da bi se počelo govoriti o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo se treba upoznati s osnovnim pojmovima koji su inherentno povezani s tom definicijom. I mi ćemo početi s diferencijalom.

diferencijal

Mnogi ljudi znaju taj koncept iz škole. Međutim, mi ćemo se detaljnije ukazati. Zamislite grafikon funkcije. Možemo je povećati do te mjere da će neki od njegovih segmenata biti u obliku ravne linije. Na njemu uzmemo dvije točke koje su beskrajno bliske jedna drugoj. Razlika u njihovim koordinatama (x ili y) je infinitezimalna. Naziva se diferencijal i označava znakove dy (diferencijal y) i dx (diferencijal x). Vrlo je važno shvatiti da diferencijal nije konačna količina, a to je njegovo značenje i osnovna funkcija.

I sada moramo uzeti u obzir sljedeći element koji je koristan za objašnjenje koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je derivat.

Derivat

Svi smo vjerojatno čuli u školi i ovom konceptu. Kaže se da je derivat brzina rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, većina te definicije postaje neshvatljiva. Pokušajmo objasniti derivat kroz razlike. Vratimo se u infinitezimalni dio funkcije s dvije točke, koje su na najmanjoj udaljenosti jedna od druge. Ali čak i za ovu udaljenost funkcija ima vremena promijeniti do neke mjere. I opisati ovu promjenu i izvući se s derivatom koji se inače može pisati kao omjer diferencijala: f (x) `= df / dx.

Sada moramo razmotriti osnovna svojstva derivata. Postoje samo tri:

1. Derivat zbroj ili razlika može biti predstavljen kao zbroj ili razlika derivata: (a + b) = a + b ` `i (a-b)`= a`-b”.
2. Druga se imovina odnosi na umnožavanje. Izvedeni radi - je zbroj od djela jednog funkcije u drugi derivat: (a * b) `= a` * b + a * b”.
3. Derivat razlike može zapisati kao sljedećoj jednadžbi: (A / B) `= (A` * b-a * b „) / b².

Sva ta svojstva korisna su za pronalaženje diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Postoje i djelomični derivati. Pretpostavimo da imamo funkciju z koja ovisi o varijablama x i y. Za izračun djelomičnog derivata ove funkcije, recimo, s obzirom na x, moramo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno razlikovati.

sastavni

Drugi važan koncept je integralni. Zapravo, ovo je izravna suprotnost od derivata. Integrals su nekoliko vrsta, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi trebamo najneobičnije neodređene integrale.

I tako, Što je sastavni dio? Pretpostavimo da imamo određenu ovisnost o na x. Od nje uzimamo integral i dobijemo funkciju F (x) (često se naziva antiderivativni), čiji je derivat jednak izvornoj funkciji. Dakle, F (x) `= f (x). Iz toga slijedi da je integral derivata jednak izvornoj funkciji.

Kod rješavanja diferencijalnih jednadžbi, vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju cjeline, jer je vrlo često potrebno da ih pronađu kako bi pronašli rješenje.

Jednadžbe su različite ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem ćemo odjeljku razmotriti vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim saznati kako ih riješiti.

Razredi diferencijalnih jednadžbi

"Difuzori" su podijeljeni prema redoslijedu derivata koji sudjeluju u njima. Dakle, postoji prva, druga, treća ili više reda. Također se mogu podijeliti u više klasa: obični i djelomični derivati.

U ovom radu razmatramo redovne obične diferencijalne jednadžbe. Primjeri i metode za njihovo rješavanje također će se raspravljati u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE jer su to najčešći tipovi jednadžbi. Obični su podijeljeni u podvrste: s razdvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se međusobno razlikuju i naučiti ih riješiti.

Osim toga, te se jednadžbe mogu kombinirati tako da nakon dobivanja sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Također ćemo razmotriti takve sustave i naučiti ih kako ih riješiti.

Zašto smatramo samo prvim redom? Zato što morate početi s jednostavnim, a jednostavno je nemoguće opisati sve što se odnosi na diferencijalne jednadžbe u jednom članku.

Jednadžbe s razdvojivim varijablama

To su možda najjednostavnija diferencijalna jednadžba prvog reda. To uključuje primjere koji se mogu napisati kao: y `= f (x) * f (y). Da bismo riješili ovu jednadžbu trebamo formulu za predstavljanje derivata kao omjer razlikama: y `= dy / dx. Pomoću nje dobivamo sljedeću jednadžbu: dy / dx = f (x) * f (y). Sada možemo obratiti načinu rješavanja standardnih primjera: odvojiti varijable u dijelovima, odnosno brzo naprijed sve varijable Y u dijelu gdje se nalazi dy, a također bi varijablu x ... Dobivamo jednadžbu oblika dy / f (y) = f (x) dx, što je riješeno uzimanjem integrala s obje strane. Nemojte zaboraviti na konstantu koja mora biti postavljena nakon uzimanja integralnog.

Rješenje bilo kojeg "difuzora" funkcija je ovisnosti x na y (u našem slučaju) ili, ako postoji numeričko stanje, tada je odgovor u obliku broja. Analizmo na konkretnom primjeru cijeli tijek rješenja:

y `= 2y * sin (x)

Prenosimo varijable u različitim smjerovima:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Sad uzmemo integrale. Svi oni mogu se naći u posebnoj tablici integrala. I dobivamo:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ako je potrebno, možemo izraziti "yorek" kao funkciju "X". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena, ako se stanje ne daje. Stanje se može odrediti, na primjer, y (n / 2) = e. Zatim zamjenjujemo vrijednost tih varijabli u rješenju i pronađemo vrijednost konstantnom. U našem primjeru je 1.

Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Sada idite na složeniji dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se napisati u općem obliku kako slijedi: y `= z (x, y). Treba napomenuti da je pravo funkcija dviju varijabli je jedinstvena, a to ne može biti podijeljena u dvije, ovisno o: z x i z y. Provjerite je li jednadžba homogena ili ne, vrlo je jednostavna: mi napraviti zamjenu x = k * x i y = k * y. Sad smo izrezali sve k. Ako su sva ta slova smanjena, jednadžba je homogena i sigurno možete nastaviti riješiti. Naprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera je također vrlo jednostavan.

Trebamo napraviti zamjenu: y = t (x) * x, gdje t je funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti derivat: y `= t` (x) * x + t. Zamjenjujući sve ovo u našu izvornu jednadžbu i pojednostavljivanjem, dobivamo primjer s razdvojivim varijablama t i x. Riješimo ga i dobijemo ovisnost t (x). Kad smo ga primili, jednostavno zamjenjujemo y = t (x) * x u našoj prethodnoj zamjeni. Zatim dobivamo ovisnost y na x.

Da bismo je jasnije, uzmimo primjer: x * y `= y-x * e^{y / x}.

Pri provjeravanju s zamjenom sve se smanjuje. Dakle, jednadžba je doista homogena. Sada napravimo još jednu zamjenu, o kojoj smo govorili: y = t (x) * x i y `= t` (x) * x + t (x). Nakon pojednostavljenja dobivamo sljedeću jednadžbu: t `(x) * x = -e^t. Rješavamo dobiveni primjer s odvojenim varijablama i dobivamo: e^-t= ln (C * x). Ostaje nam samo da zamijenimo t pomoću y / x (jer ako y = t * x, t = y / x), dobivamo odgovor: e^{-y / x}= ln (x * C).

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Vrijeme je da razmotrimo još jednu široku temu. Analizirat ćemo neromogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Kako se razlikuju od prethodne dvije? Shvatimo. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se u općem obliku pisati sljedećom jednadžbom: y `+ g (x) * y = z (x). Vrijedno je pojasniti da z (x) i g (x) mogu biti konstantne količine.

A sada je primjer: y `- y * x = x².

Postoje dva načina za rješavanje, a mi ćemo se baviti oboje kako bi bili u redu. Prva je metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Kako bi se na taj način riješila jednadžba, prvo je potrebno izravnati desnu stranu na nulu i riješiti dobivenu jednadžbu koja će nakon prijenosa dijelova biti u obliku:

y `= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x²/ 2 + C;

y = e^{x2 / 2}* y^C= C₁* e^{x2 / 2}.

Sada moramo zamijeniti konstantnu C₁ na funkciji v (x), koju moramo pronaći.

y = v * e^{x2 / 2}.

Zamijenit ćemo derivat:

y `= v` * e^{x2 / 2}-x * v * e^{x2 / 2}.

A te izraze zamjenjujemo u početnoj jednadžbi:

v `* e^{x2 / 2} - x * v * e^{x2 / 2} + x * v * e^{x2 / 2} = x².

Može se vidjeti da na lijevoj strani odreći dva pojma. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, učinili ste nešto pogrešno. Nastavimo:

v `* e^{x2 / 2} = x².

Sada riješavamo uobičajenu jednadžbu u kojoj trebamo odvojiti varijable:

dv / dx = x²/ e^{x2 / 2};

dv = x²* e^{-x2 / 2}DX.

Da bismo izvukli sastav, moramo primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, to nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako to učiniti sami. Nije teško, a uz dovoljno vještine i pažnje ne traži puno vremena.

Vratimo se na drugu metodu za rješavanje nehomogenih jednadžbi: Bernoullijevu metodu. Koji je pristup brži i lakši - to ovisi o vama.

Dakle, kada rješavamo jednadžbu ovom metodom, moramo napraviti zamjenu: y = k * n. Ovdje k ​​i n su neke funkcije ovisno o x. Zatim će derivat izgledati ovako: y `= k` * n + k * n `. Zamjenjujemo obje supstitucije u jednadžbu:

k `* n + k * n` + x * k * n = x².

Grupa gore:

k `* n + k * (n` + x * n) = x².

Sada moramo izjednačiti na nulu sa zagradama. Sada, ako kombiniramo dvije dobivene jednadžbe, dobivamo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda, koji se moraju riješiti:

n `+ x * n = 0;

k `* n = x².

Prva je jednadžba riješena kao obična jednadžba. Da biste to učinili, morate razdvojiti varijable:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Mi uzimamo cjelinu i dobijemo: ln (n) = x²/ 2. Zatim, ako izrazimo n:

n = e^{x2 / 2}.

Sada smo zamijenili dobivenu jednakost u drugu jednadžbu sustava:

k `* e^{x2 / 2}= x².

I transformirajući, dobivamo jednaku jednakost kao u prvoj metodi:

dk = x²/ e^{x2 / 2}.

Također nećemo rastavljati daljnje akcije. Vrijedno je reći da u početku rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, s dubljim uranjanjem u temu počinje se sve bolje i bolje.

Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?

Vrlo aktivne diferencijalne jednadžbe koriste se u fizici, budući da su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo su rješenje ovih jednadžbi. U kemiji se koriste iz istog razloga: osnovni zakoni izvedeni su uz pomoć. U biologiji se koriste diferencijalne jednadžbe za modeliranje ponašanja sustava, na primjer grabežljivac predatorom. Također se mogu koristiti za stvaranje obrazaca uzgoja, recimo, kolonije mikroorganizama.

Kako će diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?

Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: ni na koji način. Ako niste znanstvenik ili inženjer, vjerojatno ih nećete koristiti. Međutim, za opći razvoj, ne boli znati što je diferencijalna jednadžba i kako je riješeno. A onda pitanje sina ili kćeri "koja je diferencijalna jednadžba?" Nemojte te staviti u slijepu ulicu. Pa, ako ste znanstvenik ili inženjer, razumijete važnost ove teme u bilo kojoj znanosti. Ali najvažnija stvar je da sada pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda?" uvijek možete dati odgovor. Slažem se, uvijek je ugodno kada shvatite što se ljudi čak boji razumjeti.

Glavni problemi u studiji

Glavni problem u razumijevanju ove teme je loša navika integracije i diferencijacije funkcija. Ako ste neugodno PREUZIMANJA derivata i integrali, to je vjerojatno više vrijedi učiti, učiti različite metode integracije i diferencijacije, a tek onda prijeći na proučavanje materijala koji je opisan u članku.

Neki ljudi su iznenađeni kada saznaju da se dx može prenijeti, jer je ranije (u školi) tvrdilo da je djelić dva / dx nedjeljiv. Ovdje morate pročitati literaturu o derivatu i shvatiti da je omjer infinitezimalnih veličina koje se mogu manipulirati u rješavanju jednadžbi.

Mnogi ljudi odmah ne shvaćaju da je rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili ne-sastavni sastav, a ta zabluda im daje puno problema.

Što još može biti proučeno radi boljeg razumijevanja?

Najbolje je započeti daljnje uranjanje u svijet diferencijalnog računanja iz specijaliziranih udžbenika, na primjer, u matematičkoj analizi za učenike ne-matematičkih specijalnosti. Zatim možete ići na specijaliziranu književnost.

Vrijedno je spomenuti da osim diferencijalnih jednadžbi postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati nešto za nastojati i što ćete proučavati.

zaključak

Nadamo se da ćete nakon čitanja ovog članka imati predodžbu o tome koje su diferencijalne jednadžbe i kako ih pravilno riješiti.

U svakom slučaju, matematika na bilo koji način korisna za nas u životu. Razvija logiku i pažnju, bez koje je svaka osoba bez ruku.