Neodređeni integral. Izračun neodređenih integrala

Jedna od osnovnih grana matematičke analize je integralni račun. Pokriva najširi polje objekata, gdje je prvi neodređeni integral. Pozicija to stoji kao ključ koji je još uvijek u srednjoj školi otkriva sve veći broj izgledima i mogućnostima, koji opisuje više matematike.

izgled

Na prvi pogled, cjelina izgleda krajnje moderna, relevantna, ali u praksi se pokazalo da se pojavio 1800. godine Prije Krista. Domovinsko područje službeno se smatra Egipatom, budući da nismo dobili raniji dokaz o njenom postojanju. On, zbog nedostatka informacija, sve je to vrijeme postavljen upravo kao fenomen. Još jednom je potvrdio razinu razvoja znanosti među narodima tih vremena. Konačno, pronađeni su radovi drevni grčki matematičari, datiraju iz 4. stoljeća prije Krista. Opisali su metodu u kojoj je primijenjen neodređeni integral, čija je suština bila pronaći volumen ili područje krivudave figure (trodimenzionalne i dvodimenzionalne ravnine). Načelo izračuna temelji se na podjeli početnog broja u infinitezimalne komponente, pod uvjetom da je njihova količina (površina) već poznata. Tijekom vremena, metoda je rasla, Arhimed je upotrijebio za pronalaženje područja parabole. Istodobno su analogni izračuni provedeni od strane znanstvenika u drevnoj Kini, štoviše, bili su potpuno neovisni o grčkoj braći u znanosti.

razvoj

Sljedeći proboj u XI stoljeću prije Krista postao je djelo arapskog učenjaka „karavan” Abu Ali al-Basri, koji je pomaknuo granice već poznato, izvedeni su iz integralne formula za izračunavanje sume iznosa i stupnjeva od prvog do četvrtog, prijavljuje za to zna da nas metoda matematičke indukcije.
Umovi danas se dive drevni Egipćani stvorio nevjerojatne spomenike bez posebnih alata, osim njihovih vlastitih ruku, ali se nije a snaga ludi znanstvenici tog vremena ne manje čudo? U usporedbi sa sadašnjim vremenima njihove živote čini gotovo primitivno, ali odluka o neodređenim integrali zaključiti svugdje i koriste u praksi za daljnji razvoj.

Sljedeći korak je održan u XVI stoljeća, kada je talijanski matematičar Cavalieri donio nedjeljivu metodu koja pokupila Pierre Fermat. To su ta dva pojedinca postavili temelje za suvremeni integralni račun koji je poznat u ovom trenutku. Vezali su se koncepti diferencijacije i integracije, koje su prethodno percipirane kao autonomne jedinice. Uglavnom, matematika tih vremena bila je fragmentirana, čestica zaključaka postojala je sama, imaju ograničeno područje primjene. Put ujedinjenja i potrage za zajedničkim tlom bio je jedini točan u to doba, zahvaljujući modernom matematička analiza imali priliku rasti i razvijati se.

S vremenom se sve promijenilo i oznaka integralnog. Općenito govoreći, to su nazvali znanstvenici koji su, primjerice, Newton koristili kvadratnu ikonu u kojoj je stavio integriranu funkciju ili je jednostavno stavio pokraj njega. Ovo neslaganje nastavljeno je sve do 17. stoljeća, kada je ikonasti znanstvenik Gottfried Leibniz upoznao simbol koji nam je upoznat s cijelom teorijom matematičke analize. Rastegnuti "S" stvarno se temelji na ovom pismu latinska abeceda, budući da označava zbroj antiderivijata. Ime je dobilo integralnu zahvalnost Jacobu Bernoulliu nakon 15 godina.

Formalna definicija

Neodređeni integral ovisi izravno o definiciji antiderivativa, pa je prvo razmotrite.

Primitivna je funkcija inverzna na derivat, u praksi je također nazvana primitivnim. Inače: antiderivativa funkcije d je funkcija D čiji je derivat v <=> V `= v. Potraga za antiderivativnim je izračun neodređenog integralnog, a proces se naziva integracijom.

primjer:

Funkcija s (y) = y³, i njegov antiderivativni S (y) = (y⁴/ 4).

Skup svih antiderivativa funkcije koja se razmatra je neodređeni integral i označava se kako slijedi: int-v (x) dx.

Budući da je V (x) samo neka primitivna u izvornoj funkciji, sljedeći izraz sadrži: int-v (x) dx = V (x) + C, gdje je C konstanta. Jedinstvena konstanta se podrazumijeva kao svaka konstanta, jer je njegov derivat nula.

nekretnine

Svojstva koja imaju neodređeni sastav temelje se na osnovnoj definiciji i svojstvima derivata.
Razmotrite ključne točke:

• cjelina derivata primitivnog je samo antiderivativna plus proizvoljna konstanta C <=> int-V `(x) dx = V (x) + C;
• Derivat integralne funkcije izvorna je funkcija <=> (int-v (x) dx) `= v (x);
• Konstanta se izvlači iz znaka cjeline <=> int-kv (x) dx = kint-v (x) dx, gdje k ​​je proizvoljan;
• Integrirani, koji se uzima iz zbroja, jednako je jednak zbroju integralnih <=> int- (v (y) + w (y)) dy = int-v (y) dy + int-w (y) dy.

Od posljednja dva svojstva može se zaključiti da je neodređeni integral linearan. Zahvaljujući ovome imamo: int- (kv (y) dy + int-lw (y)) dy = kint-v (y) dy + lint-w (y) dy.

Za fiksaciju uzimamo u obzir primjere rješenja neodređenih integrala.

Potrebno je pronaći cjelinu int- (3sinx + 4cosx) dx:

• int- (3sinx + 4cosx) dx = int-3sinxdx + int-4cosxdx = 3int-sinxdx + 4int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Iz ovog primjera možemo zaključiti: ne znamo kako riješiti neodređene integrale? Samo pronađi sve antitypical! Evo načela pretraživanja ispod.

Metode i primjeri

Da bismo riješili integral, možemo se pridržavati sljedećih metoda:

• upotrijebite gotov stol;
• integrirati po dijelovima;
• integrirati promjenom varijable;
• subdukcija pod znakom diferencijal.

stolovi

Najlakši i najugodniji način. Trenutno se matematička analiza može pohvaliti prilično opsežnom tablicom u kojoj su propisane osnovne formule neodređenih integrala. Drugim riječima, postoje predlošci koji su izvedeni prije vas i za vas, ostaje ih samo koristiti. Slijedi popis glavnih stolnih pozicija na kojima se može izvesti gotovo svaki primjer koji ima rješenje:

• int-0dy = C, gdje je C konstanta;
• int-dy = y + C, gdje je C konstantna;
• int-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, gdje C je konstanta, a n je nula-broj;
• int- (1 / y) dy = ln | y | + C, gdje je C konstanta;
• int-e^ydy = e^y + C, gdje je C konstantna;
• int-k^ydy = (k^y/ ln k) + C, gdje je C konstanta;
• int-cosydy = siny + C, gdje je C konstantna;
• int-sinydy = -cosy + C, gdje C je konstanta;
• int-dy / cos²y = tgy + C, gdje je C konstantna;
• int-dy / sin²y = -ctgy + C, gdje je C konstantna;
• int-dy / (1 + y²) = arctgy + C, gdje je C konstantna;
• int-chydy = stidljiv + C, gdje je C konstanta;
• int-shydy = chy + C, gdje je C konstanta.

Ako je potrebno, poduzmite nekoliko koraka, unesite integrand na stol i uživajte u pobjedi. primjer: int-cos (5x -2) dx = 1 / 5int-cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C.

Odlukom je jasno da za primjer u tablici integrand nema multiplikator od 5. Dodamo ga, pomnožimo se 1/5 paralelno, tako da se opći izraz ne mijenja.

Integracija po dijelovima

Razmotrite dvije funkcije - z (y) i x (y). Moraju se kontinuirano razlikovati na cijeloj domeni definicije. Jedno od svojstava diferencijacije imamo: d (xz) = xdz + zdx. Integrirajući obje strane jednakosti, dobivamo: int-d (xz) = int- (xdz + zdx) => zx = int-zdx + int-xdz.

Prepoznavanje dobivene jednadžbe dobivamo formulu koja opisuje metodu integracije po dijelovima: int-zdx = zx - int-xdz.

Zašto je to potrebno? Činjenica je da neki primjeri imaju priliku pojednostaviti, relativno govoreći, smanjiti int-zdx do int-xdz, ako je potonji blizu tabličnog obrasca. Također, ova formula može se primijeniti više puta, postižući optimalan rezultat.

Kako riješiti neodređene integrale na ovaj način:

• potrebno je izračunati int- (s + 1) e^2sdS

int- (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2int-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• potrebno je izračunati INT-lnsds

int-lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - int-s x ds / s = slns - int-ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Zamjenska zamjena

Ovo načelo rješavanja neodređenih integrala nije manje traženo od prethodnih, iako je teže. Metoda se sastoji od sljedećeg: neka V (x) bude sastavnica neke funkcije v (x). U slučaju da je sam sastav u primjeru složen, postoji velika vjerojatnost da se zbunjuju i idu na pogrešan način. Kako bi se to izbjeglo, prakticira se prijelaz iz varijable x do z, u kojem se opći izraz vizualno pojednostavljuje kada se očuva zasebnost z na x.

Na matematičkom jeziku izgleda ovako: int-v (x) dx = int-v (y (z)) y `(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), gdje x = y (z) je permutacija. I, naravno, inverzna funkcija z = y^-1(x) u potpunosti opisuje ovisnost i međusobnu povezanost varijabli. Važna napomena - diferencijalna DX nužno zamijeniti novim diferencijalne dz, s obzirom na promjene varijable u neodređeno integral uključuje zamijenivši ga svugdje, ne samo u integrandu.

primjer:

• treba pronaći int- (s + 1) / (s² + 2s-5) ds

Primjenjujemo supstituciju z = (s + 1) / (s²+2S-5). Zatim dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Kao rezultat toga dobivamo sljedeći izraz, koji je vrlo jednostavan za izračun:

int- (s + 1) / (s²+2s-5) ds = int- (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+2s-5 | + C;

• potrebno je pronaći cjelinu int 2^ae^adx

Za rješenje ćemo prepisati izraz u sljedećem obliku:

int 2^ae^ads = int- (2e)^aDS.

Označavamo pomoću a = 2e (zamjenjujući argument koji ovaj korak nije, još uvijek je), na prvi pogled dajemo složeni integral na elementarnu tabličnu formu:

int- (2e)^ads = int-a^ads = a^a / lna + C = (2e)^a / ln (2e) + C = 2^ae^a / ln (2 + ln) + C = 2^ae^a / (ln2 + 1) + C.

Crtanje pod znakom diferencijal

Uglavnom, ova metoda neodređeno integrali - brat blizanac principu promjene varijable, ali postoje razlike u procesu registracije. Razmotrimo više pojedinosti.

Ako je int-v (x) dx = V (x) + C i y = z (x), tada int-v (y) dy = V (y) + C.

Istodobno, ne treba zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima:

• dx = d (x + a), gdje je a bilo koja konstanta;
• dx = (1 / a) d (xs + b), gdje je a opet konstanta, ali ne i jednaka nuli;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ako uzmemo u obzir opće slučaj kada izračunamo neodređeni integral, primjeri se mogu reducirati na opću formulu w `(x) dx = dw (x).

primjeri:

• treba pronaći int- (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

int- (2s + 3)²ds = 1 / 2int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

int-tgsds = int-sins / cossds = int-d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online pomoć

U nekim slučajevima, krivnja koja može biti lijenost ili hitna potreba, možete upotrijebiti savjete na mreži, odnosno upotrijebiti kalkulator nesigurnih integrala. Unatoč svemu vidljivoj složenosti i kontroverzi integrala, njihovo je rješenje podložno određenom algoritmu, koji je izgrađen na principu "ako ne ..., onda ...".

Naravno, posebno finski primjeri takvi kalkulator ne mogu svladati, jer postoje slučajevi kada se rješenje mora naučiti umjetno, "prisilno" uvođenjem određenih elemenata u proces, jer se očigledni načini rezultata ne mogu postići. Unatoč svačijoj kontroverzi ove tvrdnje, to je istina, budući da je matematika u načelu apstraktna znanost i smatra njegovu primarnu zadaću proširiti granice mogućnosti. Doista, vrlo je teško krenuti i razvijati se glatko usavršenim teorijama, stoga nemojte pretpostavljati da su primjeri rješavanja neodređenih integrala koje smo dali bili vrh mogućnosti. Međutim, vratimo se tehničkoj strani stvari. Barem za provjeru izračuna možete koristiti usluge u kojima je sve napisano prije nas. Ako postoji potreba za automatskim izračunavanjem kompleksnog izraza, onda oni ne mogu, morat će se posvetiti ozbiljnijem softveru. Vrijedno je obratiti pažnju prije svega u MatLab okruženje.

primjena

Rješenje neodređenih integrala na prvi pogled izgleda potpuno razvedeno od stvarnosti, jer je teško vidjeti očigledne aplikacijske avione. Doista, one se ne mogu izravno upotrijebiti nigdje, ali se smatraju neophodnim srednjim elementom u procesu pronalaženja rješenja koja se koriste u praksi. Dakle, integracija je obrnuto diferencirana zbog čega aktivno sudjeluje u procesu rješavanja jednadžbi.
Zauzvrat, ove jednadžbe izravno utječu na rješavanje mehaničkih problema, izračun putanja i toplinsku vodljivost - ukratko, sve što čini sadašnjost i oblikuje budućnost. Neodređeni integral, primjeri koje smo razmotrili iznad, trivijalan je samo na prvi pogled, jer je osnova za stvaranje sve više i više novih otkrića.