Kako istražiti i izgraditi grafikon funkcije?

Danas predlažemo da zajedno s nama istražujemo i izgradimo grafikon funkcija. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, ne morate se dugo znojiti za obavljanje takvog zadatka. Nije lako istražiti i konstruirati grafikon funkcije, rad je opsežan, zahtijeva maksimalnu pažnju i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučiti istu funkciju, objasniti sve naše postupke i izračune. Dobrodošli u prekrasan i fascinantan svijet matematike! Idemo!

Domena definicije

Da bismo istražili i konstruirali grafikon funkcije, potrebno je poznavati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (matematičkih) pojmova u matematici. Odražava odnos između nekoliko varijabli (dva, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost setova.

Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon varijacija. Dakle, y je funkcija x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. Štoviše, varijabla y ovisi, a nazivamo funkcijom. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u funkcionalna ovisnost. Radi veće jasnoće ove ovisnosti, građen je grafikon funkcije. Što je grafikon funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaku vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna crta, hiperbola, parabola, sinusoid i tako dalje.

Grafikon funkcije ne može se konstruirati bez istrage. Danas ćemo naučiti provesti studiju i konstruirati grafikon funkcije. Vrlo je važno u koordinirati ravninu napravi bilješke. Zato će se nositi s tim zadatkom puno lakše. Najprikladniji plan studija:

1. Opseg definicije.
2. Kontinuitet.
3. Paritet ili neobičnost.
4. Periodičnost.
5. Asimptota.
6. Nula.
7. Znak trajnosti.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Krajnosti.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvim odlomkom. Pronašli smo domenu definicije, tj. Na kojim intervalima postoji funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za sve vrijednosti x, to jest, domenu definicije R. To se može zapisati na sljedeći način xVR.

neprekidnost

Sad ćemo ispitati funkciju za odmor. U matematici je pojam "kontinuitet" nastao kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskrajno? Prostora, vrijeme, neke funkcije (na primjer, mogu služiti kao zavisnu varijablu S i t kretanju zadataka), temperatura zagrijane objekta (voda, prženje, termometrom, i tako dalje), puna linija (tj onaj koji se može izvući bez podizanja od folije olovka).

Grafikon se smatra kontinuiranim, što se u nekom trenutku ne prekida. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusoid, koji možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekom trenutku x0 ako se zadovolje određeni broj uvjeta:

• funkcija je definirana na danoj točki;
• desne i lijeve granice na točki su jednake;
• Granica je jednaka vrijednosti funkcije na točki x0.

Ako jedan od uvjeta nije zadovoljen, kažu da funkcija pati od prekida. A točke na kojima je funkcija razbijena, uobičajeno je nazvati točke diskontinuiteta. Primjer funkcije koja je "rastrgana" u grafičkom prikazu može biti: y = (x + 4) / (x-3). Štoviše, y ne postoji na točki x = 3 (jer je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju istražujemo (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) sve se pokazalo jednostavno jer će grafikon biti kontinuiran.

Paritet, neobičnost

Sada proučite funkciju za paritet. Započeti malo teorije. Čak je i funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost x (iz raspona vrijednosti). Primjeri su:

• modul x (grafikon je sličan daw, simetrala prvog i drugog kvartala grafikona);
• x na trgu (parabola);
• kosinus x (kosinus).

Imajte na umu da su svi ti grafikoni simetrični ako uzmemo u obzir u odnosu na y-os (tj. Y).

A što se onda zove neobična funkcija? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) = -f (x) za bilo koju vrijednost x. primjeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusni val;
• tangentu i tako dalje.

Imajte na umu da ove funkcije imaju simetriju o točki (0: 0), odnosno podrijetlu. Polazeći od onoga što je rečeno u ovom odjeljku članka, jednaka i neparna funkcija mora imati svojstvo: x pripada skupu definicije i -x previše.

Ispitajmo funkciju prema paritetu. Možemo vidjeti da ne odgovara niti jednom opisu. Slijedom toga, naša funkcija nije niti ni čudna.

asimptota

Počnimo s definicijom. Asimptot je krivulja koja je što je moguće bliža grafu, tj. Udaljenost od neke točke je nula. Postoje tri vrste asimptota:

• Okomito, tj. Paralelno s osi y;
• Horizontalno, to jest paralelno s osi x;
• skloni.

Što se tiče prve vrste, ove ravne linije treba tražiti na nekim mjestima:

• razbiti;
• krajeva domene definicije.

U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domena definicije je R. Zbog toga nema vertikalnih asimptota.

Horizontalni asimptot je za grafikon funkcije, koji odgovara sljedećem zahtjevu: ako x ima tendenciju beskonačnosti ili minus beskonačnosti, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju y = a - ovo je horizontalni asimptot. Nema horizontalnih asimptota u funkciji koju istražujemo.

Sklona asimptota postoji samo ako su zadovoljena dva uvjeta:

• lim (f (x)) / x = k;
• limf (x) -kx = b.

Zatim se može pronaći pomoću formule: y = kx + b. Opet, u našem slučaju nema sklonih asimptota.

Funkcija Zeros

Sljedeći korak je ispitivanje grafikona funkcije nulama. Važno je napomenuti da je zadatak povezan s pronalaženje nula funkcije se ne nalazi samo u studiju i izgradnju grafu funkcije, ali i kao samostalni zadatak, a kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nulte funkcije na grafikonu ili upotrijebiti matematički zapis.

Pronalaženje tih vrijednosti pomoći će vam da napravite točniji grafikon funkcije. Na jednostavnom jeziku, nula funkcije je vrijednost varijable x za koju je y = 0. Ako pogledate nulte funkcije na grafikonu, trebate obratiti pažnju na točke u kojima se pojavljuje sjecište grafikona s aksijalnom osi.

Da biste pronašli nula funkcije, potrebno je riješiti sljedeću jednadžbu: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Nakon provedenih potrebnih proračuna dobivamo sljedeći odgovor:

• x = 1;
• 4;
• 9.

Preporuča se odmah označiti pronađene točke na grafikonu.

Znak trajnosti

Sljedeća faza istraživanja i izgradnja funkcije (graf) je pronalaženje intervala znakovne konstante. To znači da moramo odrediti u kojim vremenskim razmacima funkcija ima pozitivnu vrijednost, i na kojoj - negativnom. To će nam pomoći da napravimo nula funkcije koja se nalazi u posljednjem dijelu. Dakle, moramo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafikona) i ispravno poredati nulte funkcije od manjih do veće. Sada moramo odrediti koji od primljenih intervala ima znak "+" i koji ";".

U našem slučaju, funkcija zauzima pozitivnu vrijednost u intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativna vrijednost:

• od minus beskonačnosti do 1;
• od 4 do 9.

To je jednostavno za definiranje. Zamijenite bilo koji broj iz praznine u funkciju i pogledajte koji je znak bio odgovor (minus ili plus).

Povećanje i smanjenje funkcije

Da bismo istražili i konstruirali funkciju, moramo znati gdje će grafikon rasti (uspeti se koordinirati liniju Oy), i gdje će pasti (puzanje dolje uz osi ordinata).

Funkcija raste samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veći od x1 i f (x2) veći od f (x1). I obrnuti učinak je opažen u funkciji smanjenja (više x, manje y). Da biste odredili intervalima povećanja i smanjenja, potrebno je pronaći sljedeće:

• domenu definicije (već imamo);
• derivat (u našem slučaju: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• riješiti jednadžbu 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Nakon izračuna dobivamo rezultat:

• 7/3;
• 7.

Dobivamo: funkcija se povećava na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a smanjuje se na intervalu od 7/3 do 7.

ekstremi

Funkcija y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) je kontinuirana i postoji za sve vrijednosti varijable x. Točka krajnje točke pokazuje maksimalnu i minimalnu funkciju. U našem slučaju, nema, što uvelike pojednostavljuje problem izgradnje. inače ekstremne točke također su pronađeni pomoću izvedene funkcije. Nakon pronalaženja, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo istraživati ​​funkciju y (x). Sada moramo testirati za konveksnost i konkavnost. Definicije tih pojmova teško je poduzeti, bolje je analizirati sve pomoću primjera. Za test: funkcija je konveksna ako jest neodređeni integral funkcija nestabilnosti. Slažem se, ovo je nejasno!

Moramo pronaći derivate funkcije drugog reda. Dobivamo: y = 1/3 (6x-28). Sada smo izjednačili desnu stranu na nulu i riješili jednadžbu. Odgovor je: x = 14/3. Pronašli smo točku infleksije, to jest mjesto gdje grafikon mijenja konveksnost u konkavnost ili obratno. U intervalima od minus beskonačnosti do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačnosti - konkavna. Vrlo je važno napomenuti da točka infleksije na grafikonu mora biti glatka i meka, bez oštrih kutova.

Definicija dodatnih bodova

Naš je zadatak istražiti i konstruirati grafikon funkcije. Završili smo studiju, sada nećemo moći izgraditi grafikon funkcije. Za točniju i detaljnu reprodukciju krivulje ili ravnu liniju na koordinatnoj ravnini, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično je jednostavno izračunati ih. Na primjer, uzmemo x = 3, riješimo dobivenu jednadžbu i pronađemo y = 4. Ili x = 5, i y = -5 i tako dalje. Dodatne točke možete poduzeti koliko vam je potrebno za izgradnju. Pronađeno je najmanje 3-5.

Crtanje grafikona

Trebali smo istražiti funkciju (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Sve potrebne napomene tijekom izračuna su nacrtane na koordinatnoj ravnini. Sve što treba učiniti jest izgraditi grafikon, odnosno povezati sve točke zajedno. Povezivanje bodova glatko i precizno, ovo je stvar vještine - malo prakse i vaš raspored će biti savršen.