Što je jednakost? Prvi znak i načela jednakosti

"Jednakost" je tema u kojoj su učenici još uvijek u osnovnoj školi. Ona također prati njezinu "nejednakost". Ta dva pojma usko su povezana. Osim toga, oni su povezani s izrazima kao što su jednadžbe, identiteti. Dakle, što je jednakost?

Pojam jednakosti

Pod tim pojmom razumjeti izjave, u zapisima kojih postoji znak "=". Jednake su podijeljene na istinito i netočno. Ako je u unosu umjesto = je <,>, onda govorimo o nejednakostima. Usput, prvi znak jednakosti kaže da su oba dijela izraza identični u svom rezultatu ili rekordu.

Uz pojam jednakosti, škola također proučava temu "Numeričke jednakosti". Ovom izjavom misli se na dva numerička izraza koji stoje na obje strane znaka =. Na primjer, 2 * 5 + 7 = 17. Oba dijela zapisa su međusobno jednaka.

U numeričkim izrazima ovog tipa mogu se koristiti zagrade koje utječu na red djelovanja. Dakle, postoje 4 pravila koja treba uzeti u obzir pri izračunavanju rezultata numeričkih izraza.

1. Ako u zapisniku nema nosača, tada se akcije izvode iz višeg stupnja: III → II → I. Ako postoji nekoliko radnji jedne kategorije, onda se izvršavaju s lijeva na desno.
2. Ako u zapisu postoje zagrade, onda se radnja izvodi u zagradama, a zatim uzimajući u obzir korake. Možda će u zagradama biti nekoliko akcija.
3. Ako je izraz zastupljen kao frakcija, najprije se izračunava brojitelj, a zatim nazivnik, a zatim se brojnik dijeli s nazivnikom.
4. Ako u zapisniku postoje ugniježđene zagrade, prvo se procjenjuje izraz u zagradama.

Dakle, sad je jasno što je jednakost. U budućnosti će se razmotriti pojmovi jednadžbe, identiteta i metoda njihovog izračuna.

Svojstva numeričkih jednakosti

Što je jednakost? Proučavanje ovog koncepta zahtijeva poznavanje svojstava numeričkih identiteta. Sljedeće tekstne formule omogućuju bolju proučavanje ove teme. Naravno, ta svojstva su prikladnija za proučavanje matematike u višim razredima.

1. Numerička jednakost neće biti povrijeđena ako se u oba dijela dodaje jedan i isti broj postojećem izrazu.

A = B harr-A + 5 = B + 5

2. Jednadžba neće biti povrijeđena ako su oba njegova dijela pomnožena ili podijeljena na isti broj ili izraz, koji su različiti od nule.

P = O P-5 = O ∙ 5

P = O harr-P: 5 = 0: 5

3. Dodavanjem oba dijela identiteta iste funkcije, što ima smisla za bilo koje dopuštene vrijednosti varijable, dobivamo novu jednakost, ekvivalentnu izvornom.

F (X) = Psi-(X) harr- F (X) + R (X) = Psi-(X) + R (X)

4. Svaki izraz ili izraz može se prenijeti na drugu stranu jednakog znaka, dok mijenja znakove na suprotno.

X + 5 = Y-20 harr- X = Y - 20 - 5 harr- X = Y - 25

5. višestruko ili podijeliti obje strane istu funkciju koja je različit od nule i ima značenje za svaku vrijednost X od DHS, dobivamo novi jednadžbe, koja je ekvivalentna originala.

F (X) = Psi- (X) harr- F (X) ∙ R (X) = Psi- (X) ∙ R (X)

F (X) = Psi-(X) harr- F (X): G (X) = Psi-(X): G (X)

Navedena pravila izričito upućuju na načelo ravnopravnosti koja postoji pod određenim uvjetima.

Koncept udjela

U matematici postoji takva stvar kao jednakost odnosa. U ovom slučaju, određuje se udio. Ako je presjek A do točke B, onda je rezultat je omjer broja od A do B. Proporcije iz jednakosti dva odnosa:

Ponekad je udio napisan kako slijedi: A: B = C: D. To podrazumijeva osnovno svojstvo udjela: A * D = D * C, gdje su A i D ekstremni uvjeti u omjeru, a B i C su prosjek.

identiteti

Identitet je jednakost koja će vrijediti za sve dopuštene vrijednosti onih varijabli koje ulaze u posao. Identiteti se mogu prikazati abecednim ili numeričkim jednakostima.

Jednako su jednaki izrazi koji u oba dijela jednadžbe sadrže nepoznatu varijablu koja je u stanju izjednačiti dva dijela iste cjeline.

Ako zamijenimo jedan izraz drugom, koji će biti jednak onome, onda se govori o transformaciji identiteta. U ovom slučaju, mogu se koristiti formule smanjene množenja, zakoni aritmetičkih i drugih identiteta.

Da bi se smanjio udio, potrebno je provesti identične transformacije. Na primjer, daju se frakcije. Da bi se dobio rezultat, treba koristiti formulacije skraćenog umnožavanja, faktorizacije, pojednostavljenja izraza i smanjenja frakcija.

Treba uzeti u obzir da će taj izraz biti isti kada nazivnik nije jednak 3.

5 načina dokazivanja identiteta

Da bismo dokazali identitet identičan, moramo pretvoriti izraze.

Ja putujem

Potrebno je provesti ekvivalentne transformacije na lijevoj strani. Kao rezultat, dobiva se desna strana, a možemo reći da je dokazan identitet.

II metoda

Sve radnje za pretvaranje izraza se pojavljuju na desnoj strani. Rezultat izvršenih manipulacija je lijeva strana. Ako su oba dijela identična, onda se dokazuje identitet.

Metoda III

"Transformacije" pojavljuju se u oba dijela izraza. Ako je rezultat dva identična dijela, dokaz je identiteta.

IV metoda

Desni dio se oduzima od lijeve strane. Kao rezultat ekvivalentnih transformacija, rezultat bi trebao biti nula. Onda možemo govoriti o identitetu izraza.

V način

S lijeve strane se oduzima s desne strane. Sve ekvivalentne transformacije svode se na nulu u odgovoru. Tek tada možemo govoriti o identitetu jednakosti.

Osnovna svojstva identiteta

U matematici se svojstva jednakosti često koriste za ubrzanje procesa obračuna. Zahvaljujući osnovnim algebarskim identitetima, proces računanja nekih izraza će trajati nekoliko minuta umjesto dugih sati.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (= X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y-C) = X + Y-C
• X - (Y + C) = X-Y-C
• X - (Y-C) = X-Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1 / X = 1, gdje je X ne- 0

Formule skraćenog umnažanja

U biti, formule smanjene umnožavanja su jednakosti. Oni pomažu riješiti puno problema u matematici zbog svoje jednostavnosti i jednostavnosti rukovanja.

• (A + B)² = A² + 2 ∙ AA + +² - kvadrat zbroja para brojeva;
• (A - B)² = A² - 2 ∙ AA + +² - kvadrat razlike parova brojeva;
• (C + B) - (C-B) = C² - u² - razlika kvadrata;
• (A + B)³ = A³ + 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² + U³ - kocka zbroja;
• (A - B)³ = A³ - 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² - u³ - kocka razlike;
• (P + B) ∙ (str² - ⋅ ⋅ +²) = P³ + U³ - zbroj kockica;
• (P - B) ∙ (str² + ∙ + +²) = P³ - u³ - razlika u kockama.

Obrasci skraćenog umnažanja često se koriste ako je potrebno unijeti polinom u uobičajeni oblik, pojednostavljujući ga na sve moguće načine. Prikazane formule su jednostavno dokazane: dovoljno je otvoriti zagrade i dati takve pojmove.

jednačina

Nakon proučavanja pitanja, što je jednakost, možete nastaviti do sljedeće točke: da takva jednadžba. Jednadžba je jednakost u kojoj su prisutne nepoznate količine. Rješenje jednadžbe je pronalaženje svih vrijednosti varijable pod kojima će oba dijela cijelog izraza biti jednaka. Također postoje zadaci u kojima je pronalaženje rješenja jednadžbe nemoguće. U ovom slučaju kažu da nema korijena.

U pravilu, jednakosti s nepoznatim brojevima daju cijele brojeve kao rješenje. Međutim, postoje slučajevi kada je korijen vektor, funkcija i drugi objekti.

Jednadžba je jedan od najvažnijih pojmova u matematici. Većina znanstvenih i praktičnih problema ne dopušta mjerenje ili izračunavanje bilo koje vrijednosti. Stoga je potrebno napraviti omjer koji će zadovoljiti sve uvjete zadatka. U procesu sastavljanja takvog odnosa pojavljuje se jednadžba ili sustav jednadžbi.

Obično rješenje ravnopravnosti s nepoznatim se svodi na transformaciju složene jednadžbe i uočavanje na jednostavne oblike. Neophodno je zapamtiti da se pretvorbe moraju provesti u odnosu na oba dijela, inače izlaz će dobiti pogrešan rezultat.

4 načina za rješavanje jednadžbe

Rješenjem jednadžbe mislimo na zamjenu dane jednakosti drugom, što je ekvivalentno prvoj. Takva supstitucija poznata je kao transformacija identiteta. Da biste riješili jednadžbu, morate koristiti jednu od metoda.

1. Jedan izraz zamjenjuje drugi, koji će nužno biti isti kao i prvi. Primjer: (3 ∙ x + 3)²= 15 ∙ x + 10. Ovaj se izraz može pretvoriti u 9 ∙ x²+18 ∙ x + 9 = 15 ∙ x + 10.

2. Izvršavanje članova ravnopravnosti s nepoznatom s jedne strane na drugu. U tom slučaju morate ispravno promijeniti znakove. Najmanja pogreška će uništiti sav posao. Kao primjer, uzmite prethodni "uzorak".

9 x x² + 12 ∙ x + 4 = 15 ∙ x + 10

9 x x² + 12 ∙ x + 4 - 15 ∙ x - 10 = 0

9 x x² - 3 ∙ x - 6 = 0

Nadalje, jednadžba se rješava pomoću diskriminanta.

3. Pomnoži obje strane jednak broj ili izraz koji nije jednak 0. Međutim, vrijedi podsjetiti da kada nova jednadžba nije ekvivalentna jednakosti prije promjene, tada je količina korijena mogu uvelike razlikovati.

4. Kvadriranje oba dijela jednadžbe. Ova je metoda jednostavno prekrasna, pogotovo kada u jednadžbi postoje iracionalni izrazi, kvadratni korijen i izraz ispod nje. Postoji jedna nijansa: ako podignete jednadžbu ravnomjerno, onda možete imati vanjski korijen koji će iskriviti suštinu zadatka. A ako je pogrešno izvaditi korijen, onda će značenje pitanja u problemu biti nejasno. Primjer: │7 ∙ x│ = 35 → 1) 7 ∙ x = 35 i 2) - 7 ∙ x = 35 → jednadžba će biti ispravno riješena.

Dakle, ovaj članak spominje pojmove kao što su jednadžbe i identiteti. Svi dolaze iz koncepta "jednakosti". Zahvaljujući različitim vrstama ekvivalentnih izraza, rješenje nekih problema je uvelike olakšano.