Aritmetička progresija

Problemi s aritmetičkom progresijom postojali su već u davnim vremenima. Oni su se pojavili i zahtijevali rješenja jer su imali praktičnu potrebu.

Na primjer, u jednom od papirusa iz drevnog Egipta, koji je matematički sadržaj, - papirusa Rhind (XIX stoljeća prije Krista) - sadrži takav problem: podijeliti deset mjera žita za deset osoba, pod uvjetom da ako je razlika između svake od njih je jedna osmina od mjera ".

A u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantni teoremi koji se odnose na aritmetičku progresiju. Tako je Gipsicle of Alexandria (II. Stoljeće prije Krista) u iznosu od puno zanimljivih zadataka i dodao četrnaest knjiga na „početku” Euclid formulirana ideja: „U aritmetika progresija imaju paran broj članova, iznos članova drugoj polovici više od zbroja prvih članova na višekratnik na kvadrat 1/2 od broja izraza. "

Preuzimo proizvoljnu seriju prirodni brojevi (veća od nule): 1, 4, 7, hellip-n-1, n, hellip-, koji se zove numerički slijed.

Označava slijed a. Brojevi sekvenci nazivaju se njezinim članovima i obično se označavaju slovima s indeksima koji upućuju na redni broj ovog člana (a1, a2, a3 hellip- se glasi: "prvi", "drugi", "3-in" i tako dalje).

Redoslijed može biti beskonačan ili konačan.

A što je aritmetička progresija? Pod njima razumiju slijed brojeva, dobiven dodavanjem prethodnog pojma (n) s istim brojem d, što je razlika u progresiji.

Ako d<0, onda imamo smanjenje napredovanja. Ako je d> 0, tada se takav napredak smatra povećanjem.

Smatra se da je aritmetička napredovanja konačna ako se uzmu u obzir samo neki od njegovih prvih pojmova. S vrlo velikim brojem članova, ovo je beskrajan napredak.

Bilo koja aritmetička napredovanja dana je sljedećom formulom:

a = kn + b, pri čemu b i k su neki brojevi.

Izjava koja je obrnuto apsolutno je istinita: ako je sekvencija dana sličnom formulom, onda je to točno aritmetička progresija koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg.
2. Obrnuto, ako je, počevši od drugog, svaki izraz aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg, tj. ako je uvjet zadovoljen, onda je ova sekvenca aritmetička progresija. Ova jednakost je također znak progresije, pa se, u pravilu, naziva i karakterističnim svojstvom progresije.
   Slično tome, teorem koji odražava ovu imovinu je istinit: slijed je aritmetička napredak samo ako je ta jednakost istinita za bilo koji od pojmova slijeda, počevši od druge.

Karakteristično svojstvo bilo kojeg četiri broja aritmetičke napredovanja može se izraziti formulom a + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji nužni (N-th) izraz može se naći primjenom sljedeće formule:

a = a1 + d (n-1).

Na primjer: dan je prvi izraz (a1) u aritmetičkoj progresiji i jednak tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Pronađite četrdeset peti član ovog progresije. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula a = ak + d (n - k) omogućuje nam da odredimo nth pojam aritmetičke napredovanja kroz bilo koji od njegovih k-th pojmova, pod uvjetom da je poznat.

Zbroj izraza aritmetičke napredovanja (misli se na prve n pojmove konačne napredovanja) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Ako je poznata razlika između aritmetičke progresije i prvog pojma, tada je druga formula praktična za računanje:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Zbroj aritmetičke napredovanja, koji sadrži n pojmove, izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Izbor formula za izračunavanje ovisi o uvjetima zadataka i početnim podacima.

Prirodni niz bilo kojeg broja, kao što su 1,2,3, ..., n, ..., najjednostavniji je primjer aritmetičke napredovanja.

Uz aritmetičku napredak, postoji i geometrijska progresija, koja ima svojstva i svojstva.