Kako pronaći visinu u jednodijelnom trokutu? Formula za pronalaženje, svojstva visine u jednodijelnom trokutu

Geometrija nije samo objekt u školi, na kojem morate dobiti izvrsnu procjenu. To je također znanje koje se često zahtijeva u životu. Na primjer, pri izgradnji kuće s visokim krovom, morate izračunati debljinu trupaca i njihov broj. To je lako ako znate kako pronaći visinu u jednodijelnom trokutu. Arhitektonske strukture temelje se na poznavanju svojstava geometrijskih oblika. Oblici zgrade često ih vizualno sliče. Egipatske piramide, paketi mlijeka, umjetnički vez, sjeverni slikanje, pa čak i kolači - svi trokuti okružuju čovjeka. Kao što je rekao Platon, cijeli svijet temelji se na trokutima.

Isosceles trokut

Da bi to bilo jasnije, ono što će se raspravljati sljedeće, vrijedno je prisjetiti se osnova geometrije.

Trokut je jednoznačan ako ima dvije jednake strane. Oni se uvijek nazivaju lateralno. S druge strane, veličine koje se razlikuju, zove se teren.

Osnovni pojmovi

Kao i svaka znanost, geometrija ima svoja osnovna pravila i koncepte. Mnogo ih je. Razmislite samo o onima bez kojih će naša tema biti nešto nerazumljiva.

Visina je ravna linija nacrtana okomito na suprotnu stranu.

Medijan je segment usmjeren od bilo kojeg vrha trokuta isključivo do sredine suprotne strane.

Kvadranta koda je snop koji podjeljuje kut na pola.

Simetrala trokuta je ravna linija, odnosno segment bisectors of angle, povezujući vrh s suprotnom stranom.

Vrlo je važno zapamtiti da je simetrator kuta nužno zraka, a simetrala trokuta dio je takve zrake.

Kutovi na bazi

Teorem kaže da su kutovi koji se nalaze na dnu bilo kojeg jednakog trokuta uvijek jednaki. Vrlo je jednostavno dokazati ovaj teorem. Razmislite o prikazanom jednodijelnom trokutu ABC, za koji je AB = BC. Iz kuta ABC potrebno je nacrtati simetar VD-a. Sada razmotrite dobivena dva trokuta. Na stanju AB = BC, HP strana trokuta općenito, a kutova AED i SVD su jednaki, jer VD - simetrala. Pozivajući se na prvi znak jednakosti, možemo sigurno zaključiti da su trokuta koja se razmatra jednake. I posljedično, svi odgovarajući kutovi su jednaki. I, naravno, stranke, ali do ove točke vratit ćemo se kasnije.

Visina jednodijelnog trokuta

Temeljna teorem, koji se temelji rješenje za gotovo sve zadatke je: visina unutar jednakostraničnog trokuta je simetrala i medijan. Da biste razumjeli njegovo praktično značenje (ili suštinu), potrebno je izvršiti pomoćni doplatak. Za to je potrebno izrezati jednodijelni trokut od papira. Najjednostavniji način za to je iz standardnog tetradnog lista u ćeliji.

Savijanje trokuta na pola, poravnavanje strane. Što se dogodilo? Dva jednaka trokuta. Sada morate provjeriti nagađanje. Otvorite origami. Nacrtajte liniju presavijanja. Koristeći kutnik, provjerite kut između vučene crte i podnožja trokuta. Što kaže kut od 90 stupnjeva? Činjenica da je crta nacrtana okomito. Po definiciji - visina. Kako pronaći visinu u jednodijelnom trokutu, izdvojili smo je. Sada se nosimo s uglovima na vrhu. Koristeći isti kutnik, provjerite kutove koji su sada formirani pomoću visine. Oni su jednaki. To znači da je visina također simetrala. Naoružani vladarom, izmjerite duljinu na kojoj se visina baze pada. Oni su jednaki. Prema tome, visina u jednodijelnom trokutu dijeli polovicu baze i medijan.

Dokaz teorema

Vizualna pomoć jasno pokazuje istinitost teorema. Ali geometrija - znanost je sasvim točna, stoga zahtijeva dokaz.

Tijekom razmatranja jednakosti kutova na bazi, dokazana je jednakost trokuta. Podsjetimo da je VD simetrala, a trokuti AVD i SVD su jednaki. Zaključak je bio ovo: odgovarajuće strane trokuta i, naravno, kutovi su jednaki. Dakle, AD = SD. Stoga, VD je medijan. Ostaje dokazati da je VD visina. Polazeći od ravnopravnosti trokuta koji se razmatraju, ispada da je kut ADB jednak kutu VDV. Ali ta su dva kuta susjedna i, kako je poznato, daju ukupno 180 stupnjeva. Stoga, koji su jednaki? Naravno, 90 stupnjeva. Dakle, VD je visina u jednodijelnom trokutu nacrtanom na bazu. Kao što je potrebno za dokazivanje.

Glavne značajke

• Da bi se uspješno riješili problemi, potrebno je zapamtiti osnovne značajke jednodijelnih trokuta. Čini se da su inverzni na teoreme.
• Ako se prilikom rješavanja problema pojavi ravnopravnost dvaju kutova, onda se radi o jednodijelnom trokutu.
• Ako je bilo moguće dokazati da je medijan istodobno visina trokuta, hrabro zaključiti - trokut je jednoznačan.
• Ako je simetrala također visina, tada, na temelju glavnih značajki, trokut se naziva isosceles.
• I, naravno, ako se medijan pojavljuje u ulozi visine, onda je takav trokut jednako jednak.

Visina formule 1

Međutim, za većinu problema potrebno je pronaći aritmetičku visinu. Zato razmotrimo kako pronaći visinu u jednodijelnom trokutu.

Vratimo se na gornju ABC prikazanu figuru, u kojoj je a strana, a c je baza. VD je visina ovog trokuta, ima oznaku h.

Koji je trokut AED-a? Budući da je VD visina, trokut je ABD pravokutan, čiji se katet može naći. Upotrebom formule Pitagora dobivamo:

AV² = A2 + ˛2

Utvrdivši od izraza VD i zamjenom prethodno korištenog zapisa dobivamo:

˛² = a2 - (v / 2) ².

Potrebno je izdvojiti korijen:

H = radic-a² - ˛ / 4.

Ako izvadite iz korijenskog znaka frac14-, tada će formula izgledati:

H = frac12- radic-4a² - ˛.

Ovo je visina u jednodijelnom trokutu. Formula slijedi iz teorema Pitagore. Čak i ako zaboravite ovaj simbolički ulaz, tada, znajući način pronalaženja, uvijek ga možete povući.

Visina formula 2

Gore opisana formula je glavna i najčešće se koristi za rješavanje većine geometrijskih problema. Ali to nije jedini. Ponekad u stanju, umjesto baze, daje se vrijednost kuta. S takvim podacima, kako pronaći visinu u jednodijelnom trokutu? Da biste riješili slične probleme, preporučljivo je koristiti drugačiju formulu:

H = a / sin alfa,

gdje je H visina usmjerena na bazu,

ali - strana,

alfa je kut na dnu.

Ako zadatak daje vrijednost kuta na vrhu, visina u jednodijelnom trokutu je sljedeća:

H = a / cos (beta- / 2),

gdje je H visina ispuštena na bazu,

beta- je kut na vrhu,

a je strana.

Pravokutni isosceles trokut

Vrlo zanimljiva nekretnina je trokut, čiji vrh je 90 stupnjeva. uzeti u obzir desni trokut ABC. Kao iu prethodnim slučajevima, VD je visina usmjerena na bazu.

Kutovi u podnožju su jednaki. Izračunajte njihov veliki posao neće biti:

alfa = (180 - 90) / 2.

Dakle, kutovi u podnožju uvijek su 45 stupnjeva. Sada razmislite o trokutu ADV. Također je pravokutna. Neka nam nađemo kut ABD-a. Jednostavnim izračunima dobivamo 45 stupnjeva. I, posljedično, taj trokut nije samo pravokutni, već i isoscelan. Stranke AD i VD su bočne strane i međusobno su jednake.

Ali strana BP-a istodobno je pola strane AU-a. Ispada da je visina u jednodijelnom trokutu pola baze, a ako je napisana u obliku formule dobivamo sljedeći izraz:

H = B / 2.

Treba imati na umu da je ova formula isključivo konkretan slučaj, a može se koristiti samo za pravokutne jednodijelne trokuta.

Zlatni trokuti

Vrlo zanimljivo je zlatni trokut. Na ovoj slici, omjer bočnog prema bazi jednak je vrijednosti nazvanoj Phidias broj. Kut na vrhu je 36 stupnjeva, u podnožju - 72 stupnja. Taj je trokut bio cijenjen od strane Pitagoreja. Načela zlatnog trokuta temelj su mnogih besmrtnih remek-djela. Poznat svima zvijezda s pet šiljaka je izgrađen na sjecištu jednodijelnih trokuta. Za mnoge kreacije, Leonardo da Vinci koristio je princip "zlatnog trokuta". Sastav "Gioconda" temelji se upravo na slikama koje stvaraju redovite zvijezde peterokuta.

Slika „kubizam”, jedan od Pablo Picasso djela, fascinantan pogled čini osnovu jednakokračnog trokuta.