Jednadžba - što je to? Definicija pojma, primjeri

U školi matematike, dijete prvo čuje pojam "jednadžba". Što je ovo, pokušajmo shvatiti zajedno. U ovom ćemo članku razmotriti vrste i metode rješavanja.

Matematika. jednačina

Za početak, nudimo razumjeti samo pojam, što je to? Kao što mnogi udžbenici iz matematike kažu, jednadžba su neki izrazi između kojih nužno postoji jednak znak. U tim izrazima postoje slova, tzv. Varijable, čije značenje mora biti pronađeno.

Što je varijabla? To je atribut sustava koji mijenja svoje značenje. Jasni primjer varijabli su:

• temperatura zraka;
• rast djeteta;
• težine i tako dalje.

U matematici su označeni slovima, na primjer, x, a, b, c ... Obično zadatak u matematici zvuči ovako: pronađite vrijednost jednadžbe. To znači da morate pronaći vrijednost tih varijabli.

vrsta

Jednadžba (što je ono što smo rastavili u prethodnom odlomku) može biti sljedeće:

• linearan;
• trg;
• kubični;
• algebarski;
• transcendentalna.

Za detaljnije upoznavanje sa svim vrstama razmotrit ćemo svaku pojedinačnu.

Linearna jednadžba

Ovo je prva vrsta koju učenici upoznaju. Oni su riješeni prilično brzo i jednostavno. Dakle, linearna jednadžba, što je to? Ovo je izraz oblika: ax = c. Dakle, nije baš jasno, stoga dajmo neke primjere: 2x = 26-5x = 40-1.2x = 6.

Pogledajmo primjere jednadžbi. Da biste to učinili, moramo prikupiti sve poznate podatke s jedne strane, a nepoznate u drugom: x = 26 / 2- x = 40 / 5- x = 6 / 1,2. Ovdje smo koristili elementarna pravila matematike: a * c = e, od toga c = e / a - a = e / c. Da bismo dovršili rješenje jednadžbe, izvršavamo jednu radnju (u našem slučaju, podjelu) x = 13-x = 8-x = 5. To su bili primjeri umnožavanja, sada gledajte oduzimanje i dodavanje: x + 3 = 9 - 10x-5 = 15. Poznati podaci prenose se na jednu stranu: x = 9-3-x = 20/10. Izvršavamo posljednju akciju: x = 6-x = 2.

Također su moguće varijante linearnih jednadžbi, gdje se koristi više od jedne varijable: 2x-2y = 4. Kako bi se riješio, potrebno je dodati svaki dio 2Y, dobili smo 2x-2y + 2y = 4-2u, kao što smo vidjeli, na lijevoj strani znaka jednakosti i -2u + 2y smanjen, tako smo s lijeve strane: 2x = 4 -2u. Posljednji korak dijeli svaki dio na dva, dobivamo odgovor: X je jednak dva minus igre.

Problemi s jednadžbama se susreću čak i na Ahmess papyri. Ovdje je jedan od zadataka: broj i četvrti dio daju ukupno 15. Da bi se to riješilo, pišemo sljedeću jednadžbu: x plus četvrtina x jednaka je petnaest. Vidimo još jedan primjer linearna jednadžba, na ishod rješavanja dobivamo odgovor: x = 12. Ali taj se problem može riješiti na drugi način, naime egipatski ili, kako se zove na drugi način, način pretpostavljanja. U papirusu se koristi sljedeća otopina: potrebno je četvrti i četvrti dio, tj. Jedan. Sveukupno, daju pet, sada petnaest mora biti podijeljeno na zbroj, dobivamo tri, zadnju akciju tri pomnožena s četiri. Dobivamo odgovor: 12. Zašto podijelimo petnaestorica po petorici u odluci? Dakle, znamo koliko puta petnaest, to jest, rezultat koji moramo dobiti, manje od pet. To je bio način rješavanja problema u srednjem vijeku, on se naziva metodom laži.

Kvadratne jednadžbe

Osim primjera koji su ranije razmotreni, postoje i drugi. Koje? Kvadratna jednadžba, što je? Imaju oblik sjekire²+bx + c = 0. Da biste ih riješili, morate se upoznati s određenim konceptima i pravilima.

Prvo, moramo pronaći diskriminantnu formulu: b²-4ac. Postoje tri mogućnosti za ishod rješenja:

• diskriminator je veći od nule;
• manje od nule;
• jednak je nuli.

U prvoj verziji možemo dobiti odgovor iz dva korijena, koji se prema formuli: -B + korijen diskriminantnoj podijeljena dvostruko prvi koeficijent, odnosno 2a.

U drugom slučaju, jednadžba nema korijene. U trećem slučaju, korijen se nalazi u formuli: -b / 2a.

Razmotrite primjer kvadratne jednadžbe za detaljnije upoznavanje: tri x-kvadrata minus 14 x minus 5 jednaka nuli. Za početak, kako je gore napisano, izgleda diskriminacijska, u našem slučaju to je jednaka 256. Imajte na umu da dobiveni broj veći od nule, dakle, trebali bismo dobili odgovor koji se sastoji od dva korijena. Zamijenili smo primljene diskriminante u formulu za pronalaženje korijena. Kao rezultat toga imamo: X je jednak pet i minus jedne trećine.

Posebni slučajevi u kvadratnim jednadžbama

To su primjeri u kojima su neke vrijednosti nula (a, b ili c), a možda i nekoliko.

Na primjer, uzmimo sljedeću jednadžbu koja je kvadratna: dva x na trgu jednaka nuli, ovdje vidimo da su b i c nula. Pokušajmo je riješiti, jer podijelimo oba dijela jednadžbe u dva, imamo: x²= 0. Kao rezultat, dobivamo x = 0.

Još jedan slučaj od 16x²-9 = 0. Ovdje samo b = 0. Riješimo jednadžbu, prenesemo slobodni koeficijent na desnu stranu: 16x²= 9, sada dijelimo svaki dio u šesnaest: x²= devetnaesto. Budući da imamo x na trgu, korijen 9/16 može biti negativan ili pozitivan. Odgovor je napisan kako slijedi: X je jednak plus / minus tri četvrtine.

Moguća je varijanta odgovora, budući da korijenska jednadžba ne. Pogledajmo primjer: 5x²+80 = 0, ovdje b = 0. Da biste riješili slobodni termin, bacite ga na desnu stranu, nakon ovih akcija dobivamo: 5x²= -80, sada podijeli svaki dio u pet dijelova: x²= minus šesnaest. Ako je bilo koji broj kvadrata, onda ne dobivamo negativnu vrijednost. Stoga je naš odgovor: korijenska jednadžba ne.

Raspadanje trinomijuma

Zadatak kvadratnih jednadžbi također može zvučati na drugi način: razvrgnuti kvadratni trinomi u multiplikatore. To se može učiniti pomoću sljedeće formule: a (x-x₁) (x-x₂). Zbog toga, kao u drugoj varijanti zadatka, potrebno je pronaći diskriminantan.

Razmotrite sljedeći primjer: 3x²-14x-5, proširite trinomial u multiplikatore. Pronađite diskriminacijske pomoću već poznatu formulu, to se utvrdi da je 256. Sada, imajte na umu da je 256 veći od nule, dakle, jednadžba će imati dva korijena. Našli smo ih, kao u prethodnom stavku, imamo: x = pet i minus jednu trećinu. Upotrebljavamo formulu za proširenje trinomijuma u multiplikatore: 3 (x-5) (x + 1/3). U drugom nosaču imamo znak jednakosti, jer formula vrijedi minus, a korijen, također, je negativan, koristite osnovno znanje o matematici, u iznosu imamo znak plus. Za jednostavnost, pomnožimo prvi i treći pojam jednadžbe kako bismo dobili osloboditi od frakcije: (x-5) (x + 1).

Jednadžbe koje smanjuju kvadrat

U ovom ćemo odlomku naučiti riješiti složenije jednadžbe. Počnimo s primjerom:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Možemo vidjeti duple elemente: (x² - 2x), pogodan za nas za rješenja da ga zamijeniti s drugom varijablom, a zatim riješiti običnu kvadratnu jednadžbu, samo imajte na umu da se u taj zadatak smo dobili četiri korijene, to ne bi trebalo uplašiti. Označavamo ponavljanje varijable a. Dobivamo: a²-2a-3 = 0. Naš sljedeći korak je pronaći razliku nove jednadžbe. Imamo 16, imamo dva korijena: minus jedan i tri. Sjećamo se da smo napravili zamjenu, zamjenjujemo te vrijednosti, na kraju imamo jednadžbe: x² - 2x = -1 - x² - 2x = 3. Riješimo ih u prvom odgovoru: x je jednak jedan, u drugom: x je jednak minus jedan i tri. Odgovor na pitanje pišemo na sljedeći način: plus / minus jedan i tri. U pravilu, odgovor se napiše uzlaznim redoslijedom.

Kubne jednadžbe

Razmotrimo još jednu moguću varijantu. Razmotrit ćemo kubične jednadžbe. Imaju oblik: sjekira ³ + b x ² + cx + d = 0. Primjeri jednadžbi koje ćemo razmotriti u nastavku, ali za početak malo teorije. Mogu imati tri korijena, jer postoji formula za pronalaženje diskriminanta za kubičnu jednadžbu.

Razmotrite primjer: 3x³+4²+2x = 0. Kako to riješiti? Da biste to učinili, stavili smo x u zagrade: x (3x²+4x + 2) = 0. Sve što trebamo učiniti je izračunati korijene jednadžbe u zagradama. Diskriminanta kvadratne jednadžbe u zagradama je manja od nule, na temelju toga, izraz ima korijen: x = 0.

Algebra. jednačina

Idemo do sljedećeg obrasca. Sada ćemo kratko razmotriti algebarske jednadžbe. Jedan od zadataka glasi kako slijedi: metoda grupiranja raspadaju se u multiplikatore 3x⁴+2³+8x²+2x + 5. Najjednostavniji način je sljedeća grupacija: (3x⁴+3²) + (2x³+2x) + (5x²+5). Napominjemo da je Sx² od prvog izraza, prikazali smo zbroj 3x² i 5x². Sada uklonimo iz svakog zagrada zajednički faktor 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) + 5 (x²+1). Vidimo da imamo zajednički množitelj: x na kvadrat plus jedan, izvadimo ga iz zagrada: (x²+1) (3x²+2x + 5). Daljnja razgradnja nije moguća, jer obje jednadžbe imaju negativni diskriminant.

Transcendentalne jednadžbe

Predlažemo da se bavimo sljedećom vrstom. To su jednadžbe koje sadrže transcendentalne funkcije, naime, logaritamske, trigonometrijske ili eksponencijalne. Primjeri: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 i tako dalje. Kako su riješeni, naučit ćete iz tijeka trigonometrije.

funkcija

Posljednji korak je razmotriti koncept funkcijske jednadžbe. Za razliku od prethodnih verzija, ova vrsta nije riješena, a na njemu je izrađen grafikon. Zbog toga je jednadžba dobro analizirana, da se pronađu sve potrebne točke za konstrukciju, kako bi se izračunale minimalne i maksimalne točke.