Kako pronaći minimalne i maksimalne točke funkcije: značajke, metode i primjeri

Funkcija i proučavanje njegovih značajki zauzimaju jedno od ključnih poglavlja moderne matematike. Glavna komponenta bilo koje funkcije su grafikoni koji ne predstavljaju samo njegova svojstva, već i parametre izvedenice ove funkcije. Pogledajmo ovu tešku temu. Dakle, kako najbolje pronaći maksimalne i minimalne točke funkcije?

Funkcija: Definicija

Svaka varijabla koja na neki način ovisi o vrijednosti druge količine može se nazvati funkcijom. Na primjer, funkcija f (x²) je kvadratni i određuje vrijednosti za cijeli skup x. Pretpostavimo da je x = 9, tada će vrijednost naše funkcije biti 9²= 81.

Funkcije mogu biti svake vrste: logičke, vektorske, logaritamske, trigonometrijske, numeričke i druge. Proučavali su takve izvanredne umove kao Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli. Njihova djela služe kao uporište u suvremenim načinima proučavanja funkcija. Prije pronalaženja minimalnih bodova, vrlo je važno razumjeti samo značenje funkcije i njegovog derivata.

Derivativ i njegova uloga

Sve funkcije ovise o njihovim varijablama, što znači da mogu promijeniti vrijednost u bilo kojem trenutku. Na grafikonu to će biti prikazano kao krivulja koja se zatim ispušta, a zatim se uzdiže duž ordinata (ovo je cijeli skup brojeva "y" duž vertikale grafikona). Dakle, definicija točke maksimalne i minimalne funkcije samo se odnosi na te "fluktuacije". Objasnit ćemo što je taj odnos.

Na grafikonu je prikazan derivat svake funkcije kako bi proučio njene glavne karakteristike i izračunao koliko brzo funkcija mijenja (tj. Mijenja vrijednost ovisno o varijabli "x"). U vrijeme kada se funkcija povećava, grafikon njenog derivata također će se povećati, ali u bilo kojem drugom trenutku funkcija može početi smanjivati, a zatim će se derivatni grafikon smanjiti. Točke na kojima se derivat odlazi od znaka minus do znaka plus nazivaju se minimalnim bodovima. Da biste saznali kako pronaći najmanji broj bodova, trebali biste bolje razumjeti pojam derivata.

Kako izračunati izvedenicu?

Definicija i računanje derivata funkcija podrazumijeva nekoliko koncepata iz diferencijalni račun. Općenito, sama definicija derivata može se izraziti na sljedeći način: to je vrijednost koja označava brzinu promjene funkcije.

Matematički način da ga definira za mnoge studente izgleda komplicirano, ali u stvari sve je puno jednostavnije. Potrebno je samo slijediti standardni plan za pronalaženje derivata bilo koje funkcije. U nastavku opisujemo kako možete pronaći minimalnu točku funkcije, bez primjene pravila diferencijacije i bez učenja izvedene tablice.

1. Izračunajte derivat funkcije pomoću grafikona. Da biste to učinili, morate sami predstaviti samu funkciju, a zatim uzeti jednu točku (točka A na slici). Okomito prema dolje nacrtajte liniju prema aksijalnoj os (točka x₀), a na točki A nacrtajte tangent na grafikon funkcije. Osovina apscisa i tangenta čine kut a. Za izračunavanje vrijednosti koliko brzo funkcija raste, potrebno je izračunati tangent ovog kuta a.
2. Ispada da je tangenta kuta između tangente i smjera x-osi derivat izvedbe na malom odjeljku s točkom A. Ova se metoda smatra geometrijskim načinom određivanja derivata.

Metode ispitivanja funkcije

U školskom programu matematike moguće je pronaći minimalnu funkcijsku točku na dva načina. Prva metoda pomoću grafikona koji smo rastavili, ali kako odrediti numeričku vrijednost derivata? Da biste to učinili, morate naučiti nekoliko formula koje opisuju svojstva derivata i pomažu pretvoriti varijable tipa "x" u brojeve. Sljedeća je metoda univerzalna pa se može primijeniti na gotovo sve vrste funkcija (geometrijski i logaritamski).

1. Potrebno je izjednačiti funkciju s funkcijom izvedenice, a zatim pojednostaviti izraz pomoću pravila diferencijacije.
2. U nekim slučajevima, kada je dao funkcija, u kojoj je „x” varijabilni troškovi u nazivniku, morate identificirati raspon dopuštenih vrijednosti, brisanje točke „0” (iz jednostavnog razloga što u matematici u svakom slučaju ne možete podijeliti s nulom).
3. Nakon toga, potrebno je transformirati izvorni oblik funkcije u jednostavnu jednadžbu, izjednačavajući cijeli izraz na nulu. Na primjer, ako je funkcija izgledala ovako: f (x) = 2x³+38x, dakle, prema pravilima diferencijacije, njegov derivat je f `(x) = 3x²+1. Tada pretvaramo ovaj izraz u jednadžbu sljedećeg oblika: 3x²+1 = 0.
4. Nakon rješavanja jednadžbe i pronalaženja točaka "x", trebali biste ih predstaviti na apscisi i odrediti je li derivat u ovim odjeljcima između označenih točaka pozitivan ili negativan. Nakon zapisivanja, postaje jasno u kojem trenutku funkcija počinje smanjivati, tj. Mijenja znak s negativnog na negativan. Na taj način možete pronaći i minimalne i maksimalne bodove.

Pravila diferencijacije

Najosnovnija komponenta u proučavanju funkcije i njenog derivata je poznavanje pravila diferencijacije. Samo pomoću njihove pomoći možete pretvoriti glomazne izraze i velike složene funkcije. Upoznajmo ih, puno ih je, ali sve su to vrlo jednostavne zbog redovitih svojstava snage i logaritamskih funkcija.

1. Derivat svake konstante je jednak nuli (f (x) = 0). To jest, derivat f (x) = x⁵+ x - 160 ima oblik: f `(x) = 5x⁴+1.
2. Derivat je zbroja dva izraza: (f + w) `= f`w + fw`.
3. Derivat logaritamske funkcije: (logd) `= d / ln a * d. Ova je formula primjenjiva na sve vrste logaritmi.
4. Izvedeni stupanj: (xⁿ) `= n * x<sup>n-1</sup>. Na primjer, (9x<sup>2</sup>) `= 9 x 2x = 18x.
5. Derivat sinusoidalne funkcije: (sin a) `= cos a. Ako je grijeh kuta a 0.5, onda je njegov derivat Radic-3/2.

Ekstremne točke

Već smo analizirali kako pronaći minimalne točke, ali postoji koncept maksimalnih točaka funkcije. Ako minimum označava one točke na kojima se ova funkcija mijenja od znaka minus do znaka plus, točke maksimalnog su one točke na apscisiji na kojoj se derivat funkcije mijenja od plus do negativne minus.

Maksimalne točke možete pronaći prema gore opisanoj metodi, ali napominjemo da oni označavaju one dijelove na kojima funkcija počinje smanjivati, tj. Derivat će biti manji od nule.

U matematici je uobičajeno generalizirati oba pojma, zamjenjujući ih izrazom "extremum points". Kada se od poslodavca traži da odrede ove točke, to znači da je potrebno izračunati derivat određene funkcije i pronaći minimalne i maksimalne bodove.