Extremes funkcije - u jednostavnom jeziku o kompleksu

Da biste razumjeli što je ekstremne točke

• ekstremnosti funkcije maksimiziraju ili, obrnuto, minimiziraju vrijednost funkcije u proizvoljno malom susjedstvu;
• na ekstremnoj točki ne bi trebalo postojati diskontinuitet funkcije.

I sada isto, samo na jednostavnom jeziku. Pogledaj vrh štapića kemijske olovke. Ako je ručka vertikalno postavljena, pisanje završava, a sredina lopte će biti ekstrem - najviša točka. U ovom slučaju govorimo o maksimalnom. Sada, ako okrenete olovku s krajem pisanja, na sredini lopte već će postojati minimalna funkcija. Koristeći ovdje prikazanu sliku, možemo zamisliti navedene manipulacije za olovku. Dakle, krajnosti funkcije uvijek su kritične točke: njegove maksimalne ili minimalne. Susjedni dio grafa može biti proizvoljno oštar ili glatki, ali mora postojati na obje strane, samo u ovom slučaju točka je ekstrem. Ako je grafikon prisutan samo s jedne strane, taj se krajnji izraz neće pojaviti čak ni ako su ekstremni uvjeti zadovoljeni na jednoj strani. Sada proučavamo ekstremitete funkcije sa znanstvenog stajališta. Kako bi se ta točka smatrala ekstremnim, potrebno je i dostatno da:

• prvi derivat je bio nula ili nije postojao na točki;
• prvi derivat promijenio je svoj znak u ovom trenutku.

Uvjeti tretirane nešto drugačije u smislu derivata funkcije višeg reda koji je diferencijabilan na mjestu dovoljno je da bude derivat čudno reda, različit od nule, unatoč činjenici da su svi derivati ​​nižeg reda i ne bi trebalo biti nula. Ovo je najjednostavnija interpretacija teorema iz udžbenika visoka matematika. Ali za većinu običnih ljudi to vrijedi objasniti ovom primjeru. Kao osnova, uzima se uobičajena parabola. Odmah rezervira, na nultoj točki, ima minimalnu vrijednost. Vrlo malo matematike:

• prvi derivat (X²)^{| |} = 2X, za nultu točku 2X = 0;
• drugi derivat (2X)^{| |} = 2, za nultu točku 2 = 2.

Na ovaj jednostavan način ilustrirani su uvjeti koji određuju ekstremnost funkcije za derivate prvog reda i derivate višeg reda. Može se dodati tome da je drugi derivat upravo isti derivat čudnih redova, koji nije jednak nuli, što je gore spomenuto. Kada je riječ o ekstremima funkcije dvije varijable, uvjeti moraju biti zadovoljeni za oba argumenta. Kada postoji generalizacija, koriste se privatni derivati. To jest, potrebno je imati krajnost u točki, tako da su oba derivata prvog reda jednaka nuli, ili barem jedan od njih ne postoji. Zbog dostatnosti prisutnosti ekstremuma smatra se izraz koji je razlika produkta derivata drugog reda i kvadrat miješanog drugog reda derivata funkcije. Ako je taj izraz veći od nule, onda se vrši ekstrem, a ako postoji ravnoteža na nulu, pitanje ostaje otvoreno i potrebno je više istraživanja.